Toán 10 Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ Giải SGK Toán 10 trang 46 - Tập 2 sách Kết nối tri thức với cuộc sống

Bài trước

Mục lục

Bài sau

Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 trang 46, 47 giúp các em học sinh lớp 10 có thêm nhiều gợi ý tham khảo để giải các câu hỏi phần Hoạt động và bài tập trong SGK bài 21 Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ dễ dàng hơn.

Toán 10 tập 2 trang 46, 47 hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa rất chi tiết. Hy vọng rằng tài liệu sẽ giúp các em học sinh học tốt môn Toán 10 Kết nối tri thức. Đồng thời các thầy cô giáo, bậc phụ huynh có thể sử dụng tài liệu để hướng dẫn các em khi tự học ở nhà được thuận tiện hơn. Vậy sau đây là trọn bộ tài liệu giải Toán 10 trang 46, 47 tập 2 mời các bạn cùng theo dõi.

Giải Toán 10: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Phần Hoạt động

Hoạt động 1

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C), tâm I(a; b), bán kính R. Khi đó, một điểm M(x; y) thuộc đường tròn (C) khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn điều kiện đại số nào?

Hướng dẫn giải:

Điểm M(x; y) thuộc đường tròn (C) khi và chỉ khi khoảng cách IM = R.

Hay: $\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}=R$ $\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}=R$

Hoạt động 2

Cho đường tròn (C): (x - 1)² + (y - 2)² = 25 và điểm M(4; -2).

a. Chứng minh điểm M(4; -2) thuộc đường tròn (C).

b. Xác định tâm và bán kính của (C).

c. Gọi $\Delta$ $\Delta$ là tiếp tuyến của (C) tại M. Hãy chỉ ra một vecto pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ $\Delta$. Từ đó, viết phương trình đường thẳng $\Delta$ $\Delta$.

Hướng dẫn giải:

a. Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường tròn ta có:

(4 - 1)² + (-2 - 2)² = 25

Vậy M thuộc đường tròn (C).

b. Đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R = 5.

c. Đường thẳng $\Delta$ $\Delta$ có vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{IM}(3; -4)$ $\overrightarrow{IM}(3; -4)$ do IM vuông góc với đường thẳng $\Delta$ $\Delta$ (tính chất đường tiếp tuyến của đường tròn).

phương trình tông quát của đường thẳng $\Delta$ $\Delta$ là: 3.(x - 4) - 4.(y +2) = 0, hay 3x - 4 y - 20 = 0.

Phần Bài tập

Bài 7.13 trang 46

Tìm tâm và tính bán kính của đường tròn: (x + 3)² + (y - 3)² = 36

Gợi ý đáp án

Đường tròn có tâm I(-3; 3) và bán kính $R = \sqrt{36}=6.$ $R = \sqrt{36}=6.$

Bài 7.14 trang 46

Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình của một đường tròn và tìm tâm, bán kính của đường tròn tương ứng.

a. x²+ y² + xy + 4x - 2 = 0

b. x²+ y² - 2y - 4x + 5 = 0

c. x²+ y² + 6x - 8y + 1 = 0

Gợi ý đáp án

a. x²+ y² + xy + 4x - 2 = 0 không phải là phương trình đường tròn do không đúng với dạng tổng quát của phương trình đường tròn.

b. x²+ y² - 2y - 4x + 5 = 0

Ta có: a = 1, b = 2, c = 5

Xét: a² + b² - c = 0

⇒ Phương trình trên không là phương trình đường tròn.

c. x²+ y² + 6x - 8y + 1 =0

Ta có: a = -3, b = 4, c = 1

Xét: a² + b² - c = 24 > 0.

⇒ Phương trình trên là phương trình đường tròn, có tâm I(-3; 4) và bán kính R = 24

Bài 7.15 trang 47

Viết phương trình của đường tròn (C) trong mỗi trường hợp sau:

a. Có tâm I(-2; 5) và bán kính R = 7.

b. Có tâm I(1; -2) và đi qua điểm A(-2; 2)

c. Có đường kính AB, với A(-1; -3), B(-3; 5)

d. Có tâm I(1; 3) và tiếp xúc với đường thẳng x + 2y + 3 = 0.

Gợi ý đáp án

a. Phương trình đường tròn là: (x +2)² + (y -5)² = 49.

b. Đường tròn có bán kính $R = IA = \sqrt{(1+2)^{2}+(-2-2)^{2}}=5$ $R = IA = \sqrt{(1+2)^{2}+(-2-2)^{2}}=5$

$\Rightarrow$ $\Rightarrow$ Phương trình đường tròn là: (x -1)² + (y + 2)² = 25.

Đường tròn có đường kính: $AB = \sqrt{(-3+1)^{2}+(5+3)^{2}}=\sqrt{68}$ $AB = \sqrt{(-3+1)^{2}+(5+3)^{2}}=\sqrt{68}$

$\Rightarrow$ $\Rightarrow$ Đường tròn có bán kính $R = \frac{AB}{2}=\sqrt{17}$ $R = \frac{AB}{2}=\sqrt{17}$

Tâm của đường tròn là trung điểm I của đoạn thẳng AB, nên $I\left ( \frac{-1-3}{2};\frac{-3+5}{2} \right )=(-2;1)$ $I\left ( \frac{-1-3}{2};\frac{-3+5}{2} \right )=(-2;1)$

$\Rightarrow$ $\Rightarrow$ Phương trình đường tròn là: (x +2)² + (y - 1)² = 17.

d. Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng (d): x + 2y + 3 = 0, nên bán kính đường tròn bằng khoảng cách từ tầm I đến đường thẳng.

Ta có: $d_{(I;d)}=\frac{|1+2.3+3|}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}}=2\sqrt{5} = R.$ $d_{(I;d)}=\frac{|1+2.3+3|}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}}=2\sqrt{5} = R.$

$\Rightarrow$ $\Rightarrow$ Phương trình đường tròn là: (x - 1)² + (y - 3)² = 20.

Bài 7.16 trang 47

Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC với A(6; -2), B(4; 2), C(5; -5). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Gợi ý đáp án

Gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I(x; y)

Do I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên I cách đều 3 đỉnh A, B, C. Hay IA = IB = IC

$IA=\sqrt{(x-6)^{2}+(y+2)^{2}},$ $IA=\sqrt{(x-6)^{2}+(y+2)^{2}},$

$IB= \sqrt{(x-4)^{2}+(y-2)^{2}},$ $IB= \sqrt{(x-4)^{2}+(y-2)^{2}},$

$IC= \sqrt{(x-5)^{2}+(y+5)^{2}}$ $IC= \sqrt{(x-5)^{2}+(y+5)^{2}}$

Vì IC = IA = IB, nên ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}(x-6)^{2}+(y+2)^{2}=(x-4)^{2}+(y-2)^{2}\\ (x-4)^{2}+(y-2)^{2}=(x-5)^{2}+(y+5)^{2}\end{matrix}\right.\\\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}-12x+36+4y+4=-8x+16-4y+4\\ -8x+16-4y+4=-10x+25+10y+25\end{matrix}\right.$ $\left\{\begin{matrix}(x-6)^{2}+(y+2)^{2}=(x-4)^{2}+(y-2)^{2}\\ (x-4)^{2}+(y-2)^{2}=(x-5)^{2}+(y+5)^{2}\end{matrix}\right.\\\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}-12x+36+4y+4=-8x+16-4y+4\\ -8x+16-4y+4=-10x+25+10y+25\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=1\\ y=-2\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=1\\ y=-2\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow$ $\Rightarrow$ Đường tròn có tâm I(1; -2)

Tính $IA = \sqrt{(1-6)^{2}+(-2+2)^{2}} = 5$ $IA = \sqrt{(1-6)^{2}+(-2+2)^{2}} = 5$

Vậy phương trình đường tròn là: (x -1)² + (y+2)² = 25.

Bài 7.17 trang 47

Cho đường tròn (C): x ² + y ² + 2x - 4y + 4 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm M(0; 2).

Gợi ý đáp án

Do 0² + 2² + 2.0 - 4.2 + 4 = 0, nên M thuộc đường tròn (C).

Đường tròn (C) có tâm I(-1; 2). Tiếp tuyến của (C) tại M có vectơ pháp tuyến là I $\overrightarrow{IM}(1; 0)$ $\overrightarrow{IM}(1; 0)$ nên phương trình là:

1(x - 0) + 0.(y - 2) = 0 hay x =0.

Bài 7.18 trang 47

Chuyển động của một vật thể trong khoảng thời gian 180 phút được thể hiện trong mặt phẳng tọa độ. Theo đó, tại thời điểm t ( $0\leq t\leq 180$ $0\leq t\leq 180$) vật thể ở vị trí có tọa độ (2 + sin t^o; 4 + cost^o).

a. Tìm vị trí ban đầu và vị trí kết thúc của vật thể.

b. Tìm quỹ đạo chuyển động của vật thể.

Gợi ý đáp án

a. Vị trí ban đầu của vật thể là tại thời điểm t = 0, nên tọa độ của điểm là: (2 + sin 0^o; 4 + cos 0^o) = (2; 5)

Vị trí kết thúc của vật thể là tại thời điểm t = 180, nên tọa độ của điểm là: (2 + sin 180^o; 4 + cos 180^o) = (2; 3)

b. Gọi điểm M(x; y) thuộc vào quỹ đạo chuyển động của vật thể.

Ta có: x = 2 + sin to và y = 4 + costo

$\Rightarrow x - 2 = sin to$ $\Rightarrow x - 2 = sin to$ và y - 4 = costo

Mà $sin^{2}t^{o}+cos^{2}t^{o}=1$ $sin^{2}t^{o}+cos^{2}t^{o}=1$

Nên (x - 2)² + (y - 4)2 =1

Vậy quỹ đạo chuyển động của vật thể là đường tròn có tâm I(2; 4) và bán kính bằng 1.