Toán 10 Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác Giải SGK Toán 10 trang 42 - Tập 1 sách Kết nối tri thức với cuộc sống

Bài trước

Mục lục

Bài sau

Toán 10 trang 42 Kết nối tri thức - Tập 1 giúp các em học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để giải các câu hỏi Luyện tập vận dụng và 7 bài tập trong SGK Hệ thức lượng trong tam giác được nhanh chóng và dễ dàng hơn.

Giải Toán 10 Kết nối tri thức trang 42 tập 1 hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa rất chi tiết. Hy vọng rằng tài liệu sẽ giúp các em học sinh lớp 10 học tốt bài 6 Toán 10 Kết nối tri thức. Đồng thời các thầy cô giáo, bậc phụ huynh có thể sử dụng tài liệu để hướng dẫn các em khi tự học ở nhà được thuận tiện hơn. Vậy sau đây là trọn bộ tài liệu giải Toán 10 Kết nối tri thức trang 42 mời các bạn cùng theo dõi.

Toán 10 Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

Phần Mở đầu Toán 10 Bài 6

Ngắm tháp rùa từ bờ, chỉ với những dụng cụ đơn giản, dễ chuẩn bị, ta cũng có thể xác định được khoảng cách từ vị trí ta đứng tới Tháp Rùa. Em có biết vì sao?

Gợi ý đáp án

Sau bài này ta sẽ trả lời được:

Theo các bước sau, ta có thể xác định được khoảng cách từ vị trí A trên bờ hồ Hoàn Kiếm đến Tháp Rùa.

Bước 1. Trên bờ, đặt một cọc tiêu tại vị trí A và một cọc tiêu tại vị trí B nào đó. Đo khoảng cách AB.

Bước 2. Đứng tại A, ngắm Tháp Rùa và một cọc tiêu tại ví trí B nào đó để đo góc tạo bởi hai hướng ngắm đó.

Bước 3. Đứng tại B, ngắm Tháp Rùa và một cọc tiêu tại ví trí A để đo góc tạo bởi hai hướng ngắm đó.

Bước 4. Gọi C là vị trí của Tháp Rùa. Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC để tính độ dài cạnh AC.

Luyện tập Toán 10 Bài 6 Kết nối tri thức

Luyện tập 1

Cho tam giác ABC, có AB = 5, AC = 8 và góc A = 45°. Tính độ dài các cạnh và độ lớn các góc còn lại của tam giác.

Gợi ý đáp án

Hình vẽ minh họa:

Xét tam giác ABC

Theo định lí cosin, ta có:

BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cos A

BC² = 5² + 8² – 2.5.8.cos45⁰

$B{C^2} = 89 - 40\sqrt 2$ $B{C^2} = 89 - 40\sqrt 2$

BC ≈ 5,7 cm

Ta có:

$\begin{matrix} \cos C = \dfrac{{A{B^2} - A{C^2} - B{C^2}}}{{2.AC.BC}} = \dfrac{{{5^2} - {8^2} - {{5.7}^2}}}{{2.8.5,7}} \approx - 0,78 \hfill \\ \Rightarrow \widehat C \approx 114,{26^0} \hfill \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} \cos C = \dfrac{{A{B^2} - A{C^2} - B{C^2}}}{{2.AC.BC}} = \dfrac{{{5^2} - {8^2} - {{5.7}^2}}}{{2.8.5,7}} \approx - 0,78 \hfill \\ \Rightarrow \widehat C \approx 114,{26^0} \hfill \\ \end{matrix}$

$\begin{matrix} \cos B = \dfrac{{A{C^2} - A{B^2} - B{C^2}}}{{2.AC.BC}} = \dfrac{{{8^2} - {5^2} - {{5.7}^2}}}{{2.5.5,7}} \approx 0,11 \hfill \\ \Rightarrow \widehat B \approx 83,{44^0} \hfill \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} \cos B = \dfrac{{A{C^2} - A{B^2} - B{C^2}}}{{2.AC.BC}} = \dfrac{{{8^2} - {5^2} - {{5.7}^2}}}{{2.5.5,7}} \approx 0,11 \hfill \\ \Rightarrow \widehat B \approx 83,{44^0} \hfill \\ \end{matrix}$

Luyện tập 2

Cho tam giác ABC có b = 8; c = 5 và $\widehat B = {80^0}$ $\widehat B = {80^0}$ . Tính số đo các góc, bán kính đường tròn ngoại tiếp và độ dài các cạnh còn lại của tam giác.

Gợi ý đáp án

Hình vẽ minh họa:

Xét tam giác ABC ta có:

Theo định lý Cos, ta có:

BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cosA

= 5² + 8² – 2.5.8.cos80⁰ ≈ 75

BC ≈ 8,7

Áp dụng định lý sin trong tam giác ta có:

$\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R$ $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R$

$\Rightarrow \frac{{8,7}}{{\sin {{80}^0}}} = \frac{8}{{\sin B}} = \frac{5}{{\sin C}} = 2R$ $\Rightarrow \frac{{8,7}}{{\sin {{80}^0}}} = \frac{8}{{\sin B}} = \frac{5}{{\sin C}} = 2R$

$\Rightarrow R = \frac{{8,7}}{{2.\sin {{80}^0}}} = 4,42$ $\Rightarrow R = \frac{{8,7}}{{2.\sin {{80}^0}}} = 4,42$

$\Rightarrow \sin B = \frac{{8.\sin {{80}^0}}}{{8,7}} \approx 0,91$ $\Rightarrow \sin B = \frac{{8.\sin {{80}^0}}}{{8,7}} \approx 0,91$

$\Rightarrow \widehat B \approx {65^0}$ $\Rightarrow \widehat B \approx {65^0}$

=> $\widehat C = {180^0} - {80^0} - {65^0} = {35^0}$ $\widehat C = {180^0} - {80^0} - {65^0} = {35^0}$

Vậy BC = 8,7; $\hat B = {65^0};\widehat C = {35^0}$ $\hat B = {65^0};\widehat C = {35^0}$

Luyện tập 3

Giải tam giác ABC biết a = 32, c = 45 và $\widehat A = {87^0}$ $\widehat A = {87^0}$

Gợi ý đáp án

Hình vẽ minh họa:

Xét tam giác ABC ta có:

Theo định lý Cos, ta có:

BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cosA

= 32² + 45² – 2.32.45.cos87⁰ ≈ 2898,27

BC ≈ 53,84

Áp dụng định lý sin trong tam giác ta có:

$\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R$ $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R$

$\Rightarrow \frac{{53,84}}{{\sin {{87}^0}}} = \frac{{32}}{{\sin B}} = \frac{{45}}{{\sin C}}$ $\Rightarrow \frac{{53,84}}{{\sin {{87}^0}}} = \frac{{32}}{{\sin B}} = \frac{{45}}{{\sin C}}$

$\Rightarrow \frac{{53,84}}{{\sin {{87}^0}}} = \frac{{32}}{{\sin B}}$ $\Rightarrow \frac{{53,84}}{{\sin {{87}^0}}} = \frac{{32}}{{\sin B}}$

$\Rightarrow \sin B = 0,59 \Rightarrow \hat B = 36,{4^0}$ $\Rightarrow \sin B = 0,59 \Rightarrow \hat B = 36,{4^0}$

=> $\widehat C = {180^0} - {87^0} - 36,{4^0} = 56,{6^0}$ $\widehat C = {180^0} - {87^0} - 36,{4^0} = 56,{6^0}$

Vậy BC = 53,84;

Giải Toán 10 Kết nối tri thức trang 42, 43 Tập 1

Bài 3.5 trang 42

Cho tam giác ABC có a = 6, b = 5, c =8. Tính cos A, S,r.

Gợi ý đáp án

Từ định lí cosin ta suy ra $\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{5^2} + {8^2} - {6^2}}}{{2.5.8}} = \frac{{53}}{{80}}$ $\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{5^2} + {8^2} - {6^2}}}{{2.5.8}} = \frac{{53}}{{80}}$

Tam giác ABC có nửa chu vi là:

$p = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{6 + 5 + 8}}{2} = 9,5.$ $p = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{6 + 5 + 8}}{2} = 9,5.$

Theo công thức Herong ta có:

$S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \sqrt {9,5.\left( {9,5 - 6} \right).\left( {9,5 - 5} \right).\left( {9,5 - 8} \right)} \approx 14,98$ $S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \sqrt {9,5.\left( {9,5 - 6} \right).\left( {9,5 - 5} \right).\left( {9,5 - 8} \right)} \approx 14,98$

Lại có: $S = pr \Rightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{{14,98}}{{9,5}} = 1,577.$ $S = pr \Rightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{{14,98}}{{9,5}} = 1,577.$

Vậy $\cos A = \frac{{53}}{{80}}; S \approx 14,98 và r = 1,577.$ $\cos A = \frac{{53}}{{80}}; S \approx 14,98 và r = 1,577.$

Bài 3.6 trang 42

Cho tam giác ABC có $a = 10,\widehat A = {45^o},\widehat B = {70^o}.$ $a = 10,\widehat A = {45^o},\widehat B = {70^o}.$ Tính R,b,c.

Gợi ý đáp án

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

$\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}} = 2R$ $\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}} = 2R$

$\Rightarrow R = \dfrac{a}{{2\sin A}};\;\;b = \dfrac{{a.\sin B}}{{\sin A}}$ $\Rightarrow R = \dfrac{a}{{2\sin A}};\;\;b = \dfrac{{a.\sin B}}{{\sin A}}$

Mà $a = 10,\widehat A = {45^o},\widehat B = {70^o}$ $a = 10,\widehat A = {45^o},\widehat B = {70^o}$

$\Rightarrow R = \dfrac{{10}}{{2\sin {{45}^o}}} = 5\sqrt 2 ;\;\;b = \dfrac{{a.\sin {{70}^o}}}{{\sin {{45}^o}}} \approx 13,29$ $\Rightarrow R = \dfrac{{10}}{{2\sin {{45}^o}}} = 5\sqrt 2 ;\;\;b = \dfrac{{a.\sin {{70}^o}}}{{\sin {{45}^o}}} \approx 13,29$

Mặt khác: $\widehat A = {45^o},\widehat B = {70^o} \Rightarrow \widehat C = {65^o}$ $\widehat A = {45^o},\widehat B = {70^o} \Rightarrow \widehat C = {65^o}$

Từ định lí sin ta suy ra: $c = \dfrac{{a.\sin C}}{{\sin A}} = \dfrac{{10.\sin {{65}^o}}}{{\sin {{45}^o}}} \approx 12,82.$ $c = \dfrac{{a.\sin C}}{{\sin A}} = \dfrac{{10.\sin {{65}^o}}}{{\sin {{45}^o}}} \approx 12,82.$

Vậy $R = 5\sqrt 2 ;\;\;b \approx 13,29; c \approx 12,82$ $R = 5\sqrt 2 ;\;\;b \approx 13,29; c \approx 12,82$.

Bài 3.7 trang 42

Giải tam giác ABC và tính diện tích của tam giác đó, biết $\widehat A = {15^o},\;\widehat B = {130^o},\;c = 6.$ $\widehat A = {15^o},\;\widehat B = {130^o},\;c = 6.$

Gợi ý đáp án

Ta có: $\widehat A = {15^o},\;\widehat B = {130^o} \Rightarrow \widehat C = {35^o}$ $\widehat A = {15^o},\;\widehat B = {130^o} \Rightarrow \widehat C = {35^o}$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

$\widehat A = {15^o},\;\widehat B = {130^o} \Rightarrow \widehat C = {35^o}$ $\widehat A = {15^o},\;\widehat B = {130^o} \Rightarrow \widehat C = {35^o}$

$\Rightarrow b = \dfrac{{c.\sin B}}{{\sin C}};\;\;a = \dfrac{{c.\sin A}}{{\sin C}}$ $\Rightarrow b = \dfrac{{c.\sin B}}{{\sin C}};\;\;a = \dfrac{{c.\sin A}}{{\sin C}}$

Mà $\widehat A = {15^o},\;\widehat B = {130^o},\;\widehat C = {35^o},c = 6$ $\widehat A = {15^o},\;\widehat B = {130^o},\;\widehat C = {35^o},c = 6$

$\Rightarrow b = \dfrac{{6.\sin {{130}^o}}}{{\sin {{35}^o}}} \approx 8;\;\;a = \dfrac{{6.\sin {{15}^o}}}{{\sin {{35}^o}}} \approx 2,7$ $\Rightarrow b = \dfrac{{6.\sin {{130}^o}}}{{\sin {{35}^o}}} \approx 8;\;\;a = \dfrac{{6.\sin {{15}^o}}}{{\sin {{35}^o}}} \approx 2,7$

Diện tích tam giác ABC là

$S = \dfrac{1}{2}bc.\sin A = \dfrac{1}{2}.8.6.\sin {15^o} \approx 6,212.$ $S = \dfrac{1}{2}bc.\sin A = \dfrac{1}{2}.8.6.\sin {15^o} \approx 6,212.$

Vậy $a \approx 2,7;\;\,b \approx 8; \widehat C = {35^o}; S \approx 6,212.$ $a \approx 2,7;\;\,b \approx 8; \widehat C = {35^o}; S \approx 6,212.$

Bài 3.8 trang 42

Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng A, đi theo hướng S{70^o}E với vận tốc 70 km/h. Đi được 90 phút thì động cơ của tàu bị hỏng nên tàu trôi tự do theo hướng nam với vận tốc 8 km/h. Sau 2 giờ kể từ khi động cơ bị hỏng, tàu neo đậu được vào một hòn đảo.

a) Tính khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.

b) Xác định hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.

Gợi ý đáp án

Ta có sơ đồ đường đi như sau:

Trong đó: B là nơi động cơ bị hỏng, C là ví trí neo đậu của tàu trên hòn đảo.

Khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu là đoạn AC (hay b).

Ban đầu tàu di chuyển theo hướng $S{70^o}E$ $S{70^o}E$ nên $\widehat {BAS} = {70^o}$ $\widehat {BAS} = {70^o}$. Sau khi động cơ bị hỏng, tàu trôi theo hướng Nam do đó BC song song với AS.

$\Rightarrow \widehat {ABC} = {180^o} - \widehat {BAS} = {110^o}$ $\Rightarrow \widehat {ABC} = {180^o} - \widehat {BAS} = {110^o}$

Quãng đường tàu đi được sau 90 phút hay 1,5 giờ (ngay trước khi hỏng động cơ) là:

70.1,5 = 105 (km) hay c = 105.

Quãng đường tàu trôi tự do là:

8.2 = 16 (km) hay a = 16.

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC ta có:

${b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.\cos B$ ${b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.\cos B$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {b^2} = {16^2} + {105^2} - 2.16.105.\cos {110^o} \approx 12150,632\\ \Rightarrow b \approx 110,23.\end{array}$ $\begin{array}{l} \Rightarrow {b^2} = {16^2} + {105^2} - 2.16.105.\cos {110^o} \approx 12150,632\\ \Rightarrow b \approx 110,23.\end{array}$

Vậy khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu là khoảng 110,23 km.

b) Xác định hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.

Theo sơ đồ, hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu là $S{\alpha ^o}E với {\alpha ^o} = \widehat {CAS}.$ $S{\alpha ^o}E với {\alpha ^o} = \widehat {CAS}.$

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

$\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} \Rightarrow \sin A = \frac{{a.\sin B}}{b}$ $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} \Rightarrow \sin A = \frac{{a.\sin B}}{b}$

Mà $\widehat B = {110^o}; b \approx 110,23; a = 16.$ $\widehat B = {110^o}; b \approx 110,23; a = 16.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sin A = \frac{{16.\sin {{110}^o}}}{{110,23}} \approx 0,136\\ \Rightarrow \widehat A \approx 7,{84^o}(do\;\widehat A < {90^o})\end{array}$ $\begin{array}{l} \Rightarrow \sin A = \frac{{16.\sin {{110}^o}}}{{110,23}} \approx 0,136\\ \Rightarrow \widehat A \approx 7,{84^o}(do\;\widehat A < {90^o})\end{array}$

$\Rightarrow {\alpha ^o} \approx {70^o} - 7,{84^o} = 62,{16^o}.$ $\Rightarrow {\alpha ^o} \approx {70^o} - 7,{84^o} = 62,{16^o}.$

Vậy hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu là $S62,{16^o}E.$ $S62,{16^o}E.$

Bài 3.9 trang 43

Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten cao 5m. Từ một vị trí quan sát A cao 7 m so với mặt đất có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng-ten, với các góc tương ứng là ${50^o}$ ${50^o}$ và ${40^o}$ ${40^o}$ so với phương nằm ngang (H.3.18).

a) Tính các góc của tam giác ABC.

b) Tính chiều cao của tòa nhà.

Gợi ý đáp án

a) Tính các góc của tam giác ABC.

Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng BC.

Ta có: $\widehat {HAB} = {50^o}; \widehat {HAC} = {40^o}$ $\widehat {HAB} = {50^o}; \widehat {HAC} = {40^o}$

$\Rightarrow \widehat {BAC} = {50^o} - {40^o} = {10^o} (1)$ $\Rightarrow \widehat {BAC} = {50^o} - {40^o} = {10^o} (1)$

Xét tam giác ABH, vuông tại H ta có:

$\widehat H = {90^o};\;\widehat {BAH} = {50^o}.$ $\widehat H = {90^o};\;\widehat {BAH} = {50^o}.$

$\Rightarrow \widehat {HBA} = {180^o} - {90^o} - {50^o} = {40^o} hay \widehat {CBA} = {40^o}. (2)$ $\Rightarrow \widehat {HBA} = {180^o} - {90^o} - {50^o} = {40^o} hay \widehat {CBA} = {40^o}. (2)$

Từ (1) và (2), suy ra: $\widehat {BCA} = {180^o} - {40^o} - {10^o} = {130^o}.$ $\widehat {BCA} = {180^o} - {40^o} - {10^o} = {130^o}.$

Vậy ba góc của tam giác ABC lần lượt là: $\widehat A = {10^o};\;\widehat B = {40^o};\;\widehat C = {130^o}.$ $\widehat A = {10^o};\;\widehat B = {40^o};\;\widehat C = {130^o}.$

b) Tính chiều cao của tòa nhà.

Áp dụng định lý sin cho tam giác ABC, ta được:

$\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Rightarrow AB = \frac{{BC.\sin C}}{{\sin A}}$ $\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Rightarrow AB = \frac{{BC.\sin C}}{{\sin A}}$

Mà: $\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Rightarrow AB = \frac{{BC.\sin C}}{{\sin A}}$ $\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Rightarrow AB = \frac{{BC.\sin C}}{{\sin A}}$

$\Rightarrow AB = \frac{{5.\sin {{130}^o}}}{{\sin {{10}^o}}} \approx 22\;(m)$ $\Rightarrow AB = \frac{{5.\sin {{130}^o}}}{{\sin {{10}^o}}} \approx 22\;(m)$

Xét tam giác ABH, vuông tại H ta có:

$\sin \widehat {BAH} = \frac{{BH}}{{AB}} \Rightarrow BH = AB.\,\,\sin \widehat {BAH}$ $\sin \widehat {BAH} = \frac{{BH}}{{AB}} \Rightarrow BH = AB.\,\,\sin \widehat {BAH}$

Mà: $AB \approx 22\;(m);\;\;\widehat {BAH} = {50^o}$ $AB \approx 22\;(m);\;\;\widehat {BAH} = {50^o}$

$\Rightarrow BH \approx 22.\sin {50^o} \approx 16,85\;(m)$ $\Rightarrow BH \approx 22.\sin {50^o} \approx 16,85\;(m)$

Vậy chiều cao của tòa nhà là: $BH-{\rm{ }}BC + 7 = 16,85-5 + 7 = 18,85{\rm{ }}\left( m \right)$ $BH-{\rm{ }}BC + 7 = 16,85-5 + 7 = 18,85{\rm{ }}\left( m \right)$

Bài 3.10 trang 43

Từ bãi biển Vũng Chùa, Quảng Bình, ta có thể ngắm được Đảo Yến. Hãy đề xuất một các xác định bề rộng của hòn đảo (theo chiều ta ngắm được).

Gợi ý đáp án

Bước 1:

Đánh dấu vị trí quan sát tại điểm A, chiều rộng của hòn đảo kí hiệu là đoạn BC.

Gọi H là hình chiếu của A trên BC.

Trên tia đối của tia AH, lấy điểm M, ghi lại khoảng cách AM = a.

Bước 2:

Tại A, quan sát để xác định các góc $\widehat {BAC} = \alpha ,\;\widehat {HAC} = \beta .$ $\widehat {BAC} = \alpha ,\;\widehat {HAC} = \beta .$

Tiếp tục quan sát tại M, xác định góc $\widehat {HMC} = \gamma .$ $\widehat {HMC} = \gamma .$

Bước 3: Giải tam giác AMC, tính AC.

$AM = a, \widehat {AMC} = \widehat {HMC} = \gamma và \widehat {MAC} = {180^o} - \beta$ $AM = a, \widehat {AMC} = \widehat {HMC} = \gamma và \widehat {MAC} = {180^o} - \beta$

$\Rightarrow \widehat {ACM} = {180^o} - \gamma - \left( {{{180}^o} - \beta } \right) = \beta - \gamma$ $\Rightarrow \widehat {ACM} = {180^o} - \gamma - \left( {{{180}^o} - \beta } \right) = \beta - \gamma$

Áp dụng định định lí sin trong tam giác AMC ta có:

$\frac{{AC}}{{\sin AMC}} = \frac{{AM}}{{\sin ACM}} \Rightarrow AC = \sin \gamma .\frac{a}{{\sin \left( {\beta - \gamma } \right)}}$ $\frac{{AC}}{{\sin AMC}} = \frac{{AM}}{{\sin ACM}} \Rightarrow AC = \sin \gamma .\frac{a}{{\sin \left( {\beta - \gamma } \right)}}$

Bước 4:

$\widehat {ABC} = {90^o} - \widehat {HAB} = {90^o} - (\alpha - \beta )$ $\widehat {ABC} = {90^o} - \widehat {HAB} = {90^o} - (\alpha - \beta )$

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

$\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} \Rightarrow BC = \sin \alpha .\frac{{\sin \gamma .\frac{a}{{\sin \left( {\beta - \gamma } \right)}}}}{{\sin \left( {{{90}^o} - (\alpha - \beta )} \right)}}..$ $\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} \Rightarrow BC = \sin \alpha .\frac{{\sin \gamma .\frac{a}{{\sin \left( {\beta - \gamma } \right)}}}}{{\sin \left( {{{90}^o} - (\alpha - \beta )} \right)}}..$

Bài 3.11 trang 43

Để tránh núi, giao thông hiện tại phải đi vòng như mô hình trong Hình 3.19. Để rút ngắn khoảng cách và tránh sạt lở núi, người ta dự định làm đường hầm xuyên núi, nối thẳng từ A tới D. Hỏi độ dài đường mới sẽ giảm bao nhiêu kilômét so với đường cũ?

Gợi ý đáp án

Bước 1:

Áp dụng định lí cos trong tam giác ABC ta có:

$\begin{array}{l}A{C^2} = {6^2} + {8^2} - 2.6.8.\cos {105^o}\\ \Rightarrow AC \approx 11,2\;(km)\end{array}$ $\begin{array}{l}A{C^2} = {6^2} + {8^2} - 2.6.8.\cos {105^o}\\ \Rightarrow AC \approx 11,2\;(km)\end{array}$

Bước 2:

Lại có: Theo định lí sin thì

$\begin{array}{l}\frac{{AB}}{{\sin ACB}} = \frac{{AC}}{{\sin ABC}} \Rightarrow \sin ACB = \frac{{8.\sin {{105}^o}}}{{11,2}}\\ \Rightarrow \widehat {ACB} \approx 43,{6^o}\\ \Rightarrow \widehat {ACD} = {135^o} - 43,{6^o} = 91,{4^o}\end{array}$ $\begin{array}{l}\frac{{AB}}{{\sin ACB}} = \frac{{AC}}{{\sin ABC}} \Rightarrow \sin ACB = \frac{{8.\sin {{105}^o}}}{{11,2}}\\ \Rightarrow \widehat {ACB} \approx 43,{6^o}\\ \Rightarrow \widehat {ACD} = {135^o} - 43,{6^o} = 91,{4^o}\end{array}$

Bước 3:

Áp dụng định lí cos trong tam giác ACD ta có:

$\begin{array}{l}A{D^2} = {12^2} + 11,{2^2} - 2.12.11,2\cos 91,{4^o}\\ \Rightarrow AD \approx 16,6\;(km)\end{array}$ $\begin{array}{l}A{D^2} = {12^2} + 11,{2^2} - 2.12.11,2\cos 91,{4^o}\\ \Rightarrow AD \approx 16,6\;(km)\end{array}$

Bước 4:

Độ dài đường mới giảm số kilomet so với đường cũ là: 12 + 6 + 8 - 16,6 = 9,4 (km)

Lý thuyết Hệ thức lượng trong tam giác

1. Định lý cosin

Định lí: Trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó nhân với cosin của góc xen giữa chúng.

Ta có các hệ thức sau:

$\eqalign{ & {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A \, \, (1) \cr & {b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.\cos B \, \, (2) \cr & {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.\cos C \, \, (3) \cr}$ $\eqalign{ & {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A \, \, (1) \cr & {b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.\cos B \, \, (2) \cr & {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.\cos C \, \, (3) \cr}$

Hệ quả của định lí cosin:

$\cos A = \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$ $\cos A = \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$

$\cos B = \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$ $\cos B = \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$

$\cos C = \dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$ $\cos C = \dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$

Áp dụng: Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác:

Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b và AB = c. Gọi m_a,m_b và m_c là độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B, C của tam giác. Ta có

${m_{a}}^{2} = \dfrac{2.(b^{2}+c^{2})-a^{2}}{4}$ ${m_{a}}^{2} = \dfrac{2.(b^{2}+c^{2})-a^{2}}{4}$

${m_{b}}^{2} = \dfrac{2.(a^{2}+c^{2})-b^{2}}{4}$ ${m_{b}}^{2} = \dfrac{2.(a^{2}+c^{2})-b^{2}}{4}$

${m_{c}}^{2} = \dfrac{2.(a^{2}+b^{2})-c^{2}}{4}$ ${m_{c}}^{2} = \dfrac{2.(a^{2}+b^{2})-c^{2}}{4}$

2. Định lí sin

Định lí: Trong tam giác ABC bất kỳ, tỉ số giữa một cạnh và sin của góc đối diện với cạnh đó bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác, nghĩa là

$\dfrac{a}{\sin A}= \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$ $\dfrac{a}{\sin A}= \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$ với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Chia sẻ bởi: