Toán 10 Bài 17: Dấu của tam thức bậc hai Giải SGK Toán 10 trang 24 - Tập 2 sách Kết nối tri thức với cuộc sống

Bài trước

Mục lục

Bài sau

Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 trang 24 giúp các em học sinh lớp 10 có thêm nhiều gợi ý tham khảo để giải các câu hỏi phần mở đầu, hoạt động và bài tập trong SGK bài 17 Dấu của tam thức bậc hai thuộc chương 6 Hàm số, đồ thị và ứng dụng được thuận tiện hơn.

Toán 10 tập 2 trang 24 hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa rất chi tiết. Hy vọng rằng tài liệu sẽ giúp các em học sinh học tốt môn Toán 10 Kết nối tri thức. Đồng thời các thầy cô giáo, bậc phụ huynh có thể sử dụng tài liệu để hướng dẫn các em khi tự học ở nhà được thuận tiện hơn. Vậy sau đây là trọn bộ tài liệu giải Toán 10 trang 24 tập 2 mời các bạn cùng theo dõi.

Giải Toán 10 Bài 17: Dấu của tam thức bậc hai

Trả lời câu hỏi phần Mở đầu Toán 10 bài 17

Xét bài toán rào vườn ở Bài 16, nhưng ta trả lời câu hỏi: Hai cột góc hàng rào (H.6.8) cần phải cắm cách bờ tường bao nhiêu mét để mảnh đất được rào chắn có diện tích không nhỏ hơn 48 m² ?

Gợi ý đáp án

Theo Bài 16, diện tích mảnh đất được rào chắn là S(x) = – 2x²+ 20x (m²).

Vì mảnh đất được rào chắn có diện tích không nhỏ hơn 48 m² nghĩa là S(x) phải lớn hơn hoặc bằng 48.

Khi đó: – 2x² + 20x ≥ 48 ⇔ 2x² – 20x + 48 ≤ 0 (1).

Ta cần giải bất phương trình (1).

Sau bài học này ta sẽ giải được bất phương trình (1) như sau:

Tam thức bậc hai f(x) = 2x² – 20x + 48 có hai nghiệm x₁ = 4; x₂ = 6 và hệ số a = 2 > 0. Từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình (1) là đoạn [4; 6]. Như vậy khoảng cách từ điểm cắm cột đến bờ tường phải lớn hơn hoặc bằng 4 m và nhỏ hơn hoặc bằng 6 m thì mảnh đất rào chắn của bác Việt sẽ có diện tích không nhỏ hơn 48 m².

Giải Toán 10 Bài 17 phần Hoạt động

Hoạt động 1

Hãy chỉ ra một vài đặc điểm chung của các biểu thức dưới đây:

A = 0,5x²;

B = 1 – x²;

C = x² + x + 1;

D = (1 – x)(2x + 1).

Gợi ý đáp án

Ta có: A = 0,5x² = 0,5x² + 0x + 0;

B = 1 – x² = – x² + 0x + 1;

C = x² + x + 1;

D = (1 – x)(2x + 1) = 2x + 1 – 2x² – x = – 2x² + x + 1.

Các biểu thức trên đều có dạng ax² + bx + c, trong đó a, b, c là các số thực và a ≠ 0.

Hoạt động 2

Cho hàm số bậc hai y = f(x) = x² – 4x + 3.

a) Xác định hệ số a. Tính f(0), f(1), f(2), f(3), f(4) và nhận xét về dấu của chúng so với dấu của hệ số a.

b) Cho đồ thị hàm số y = f(x) (H.6.17). Xét trên từng khoảng (– ∞; 1), (1; 3), (3; +∞), đồ thị nằm phía trên hay nằm phía dưới trục Ox?

c) Nhận xét về dấu của f(x) và dấu của hệ số a trên từng khoảng đó.

Gợi ý đáp án

a) Hàm số bậc hai y = f(x) = x² – 4x + 3.

Hệ số a = 1 > 0.

Ta có: f(0) = 0² – 4 . 0 + 3 = 3 > 0, f(0) cùng dấu với hệ số a.

f(1) = 1² – 4 . 1 + 3 = 0, f(1) không mang dấu.

f(2) = 2² – 4 . 2 + 3 = – 1 < 0, f(2) trái dấu với hệ số a.

f(3) = 3² – 4 . 3 + 3 = 0, f(3) không mang dấu.

f(4) = 4² – 4 . 4 + 3 = 3 > 0, f(4) cùng dấu với hệ số a.

b) Quan sát đồ thị H.6.17, ta thấy:

+ Trên các khoảng (– ∞; 1) và (3; +∞), đồ thị hàm số nằm hoàn toàn phía trên trục Ox.

+ Trên khoảng (1; 3), đồ thị hàm số nằm hoàn toàn phía dưới trục Ox.

c) Khi đồ thị hàm số nằm hoàn toàn trên trục Ox thì f(x) > 0, ngược lại khi đồ thị hàm số nằm hoàn toàn phía dưới trục Ox thì f(x) < 0.

Hệ số a = 1 > 0.

Vậy trên các khoảng (– ∞; 1) và (3; +∞), f(x) cùng dấu với hệ số a; trên khoảng (1; 3), f(x) trái dấu với hệ số a.

Hoạt động 4

Ta điền vào bảng như sau:

• Trường hợp a < 0

∆

∆ < 0

∆ = 0

∆ > 0

Dạng đồ thị

Vị trí của đồ thị so với trục Ox

Đồ thị nằm hoàn toàn phía dưới trục Ox.

Đồ thị nằm phía trên trục Ox và tiếp xúc với trục Ox tại điểm có hoành độ x= -b/2a

- Đồ thị nằm phía dưới trục Ox khi x < x₁ hoặc x > x₂.

- Đồ thị nằm phía trên trục Ox khi x₁ < x < x₂.

Hoạt động 5

Trở lại tình huống mở đầu. Với yêu cầu mảnh đất được rào chắn có diện tích không nhỏ hơn 48 m², hãy viết đẳng thức thể hiện sự so sánh biểu thức tính diện tích S(x) = – 2x² + 20x với 48.

Lời giải:

Diện tích mảnh đất được rào chắn là S(x) = – 2x²+ 20x (m²).

Vì mảnh đất được rào chắn có diện tích không nhỏ hơn 48 m² nghĩa là S(x) phải lớn hơn hoặc bằng 48.

Khi đó: – 2x² + 20x ≥ 48.

Giải Toán 10 trang 24 Kết nối tri thức - Tập 2

Bài 6.15 trang 24

Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

$a. 3x^{2}-4x+1$ $a. 3x^{2}-4x+1$

$b. x^{2}+2x+1$ $b. x^{2}+2x+1$

$c. -x^{2}+3x-2$ $c. -x^{2}+3x-2$

$d. -x^{2}+x-1$ $d. -x^{2}+x-1$

Gợi ý đáp án

$a. f(x) = 3x^{2}-4x+1, \Delta >0, a>0,$ $a. f(x) = 3x^{2}-4x+1, \Delta >0, a>0,$ có 2 nghiệm phân biệt lần lượt là 1 và $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$

Bảng xét dấu:

Vậy f(x) > 0 với mọi $x\in \left ( -\infty ;\frac{1}{3} \right )\cup \left ( 1;+\infty \right )$ $x\in \left ( -\infty ;\frac{1}{3} \right )\cup \left ( 1;+\infty \right )$ và f(x) < 0 với mọi $\left ( \frac{1}{3};1 \right )$ $\left ( \frac{1}{3};1 \right )$

b. $f(x)=x^{2}+2x+1, \Delta =0, a>0$ $f(x)=x^{2}+2x+1, \Delta =0, a>0$, có nghiệm kép x = -1.

Vậy f(x) > 0 với mọi $x \neq -1.$ $x \neq -1.$

$c. f(x)=-x^{2}+3x-2, \Delta >0, a<0,$ $c. f(x)=-x^{2}+3x-2, \Delta >0, a<0,$ có 2 nghiệm phân biệt lần lượt là 1 và 2.

Bảng xét dấu:

Vậy f(x) < 0 với mọi $x\in \left ( -\infty ;1 \right )\cup \left ( 2;+\infty \right ) và f(x) > 0$ $x\in \left ( -\infty ;1 \right )\cup \left ( 2;+\infty \right ) và f(x) > 0$ với mọi $\left ( 1;2 \right )$ $\left ( 1;2 \right )$

$d. f(x)=-x^{2}+x-1, \Delta <0, a<0$ $d. f(x)=-x^{2}+x-1, \Delta <0, a<0$. Suy ra f(x) luôn âm với mọi số thực x.

Bài 6.16 trang 24

Giải các bất phương trình bậc hai:

$a. x^{2}-1\geq 0$ $a. x^{2}-1\geq 0$

$b. x^{2}-2x-1<0$ $b. x^{2}-2x-1<0$

$c. -3x^{2}+12x+10\leq 0$ $c. -3x^{2}+12x+10\leq 0$

$d. 5x^{2}+x+1\geq 0$ $d. 5x^{2}+x+1\geq 0$

Gợi ý đáp án

a. $x^{2}-1$ $x^{2}-1$ có $\Delta >0$ $\Delta >0$, a>0, 2 nghiệm phân biệt lần lượt là -1 và 1.

$x^{2}-1\geq 0 \Leftrightarrow x\in \left ( -\infty;-1 \right )\cup \left ( 1;+\infty \right )$ $x^{2}-1\geq 0 \Leftrightarrow x\in \left ( -\infty;-1 \right )\cup \left ( 1;+\infty \right )$

Vậy tập nghiệm là $S = \left ( -\infty;-1 \right )\cup \left ( 1;+\infty \right )$ $S = \left ( -\infty;-1 \right )\cup \left ( 1;+\infty \right )$

b. $x^{2}-2x-1$ $x^{2}-2x-1$ có $\Delta =0$ $\Delta =0$, a>0, nghiệm kép là $x = -1, có x^{2}-2x-1>0$ $x = -1, có x^{2}-2x-1>0$ với mọi $x \neq -1$ $x \neq -1$

Nên bất phương trình $x^{2}-2x-1<0$ $x^{2}-2x-1<0$ vô nghiệm.

Vậy bất phương trình vô nghiệm.

$c. -3x^{2}+12x+10 có \Delta >0, a<0 2$ $c. -3x^{2}+12x+10 có \Delta >0, a<0 2$ nghiệm phân biệt lần lượt là $\sqrt{\frac{13}{3}}+2$ $\sqrt{\frac{13}{3}}+2$ và $-\sqrt{\frac{13}{3}}+2$ $-\sqrt{\frac{13}{3}}+2$

$-3x^{2}+12x+10\leq 0 \Leftrightarrow x\in \left ( -\infty; \sqrt{\frac{13}{3}}+2 \right ]\cup \left [\sqrt{\frac{13}{3}}+2 ;+\infty \right )$ $-3x^{2}+12x+10\leq 0 \Leftrightarrow x\in \left ( -\infty; \sqrt{\frac{13}{3}}+2 \right ]\cup \left [\sqrt{\frac{13}{3}}+2 ;+\infty \right )$

Vậy tập nghiệm là $S = \left ( -\infty; \sqrt{\frac{13}{3}}+2 \right ]\cup \left [\sqrt{\frac{13}{3}}+2 ;+\infty \right )$ $S = \left ( -\infty; \sqrt{\frac{13}{3}}+2 \right ]\cup \left [\sqrt{\frac{13}{3}}+2 ;+\infty \right )$

$d. 5x^{2}+x+1 có \Delta <0, a>0 nên 5x^{2}+x+1 >0$ $d. 5x^{2}+x+1 có \Delta <0, a>0 nên 5x^{2}+x+1 >0$ với mọi số thực x.

Vậy tập nghiệm là $S = \mathbb{R}$ $S = \mathbb{R}$

Bài 6.17 trang 24

Tìm các giá trị của tham số m để tam thức bậc hai sau dương với mọi $x\in \mathbb{R}.$ $x\in \mathbb{R}.$

$x^{2}+(m+1)x+2m+3$ $x^{2}+(m+1)x+2m+3$

Gợi ý đáp án

$x^{2}+(m+1)x+2m+3>0$ $x^{2}+(m+1)x+2m+3>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ $x\in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\Delta =(m+1)^{2}-4.(2m+3)<0\\ a=1>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m^{2}-6m-11<0$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\Delta =(m+1)^{2}-4.(2m+3)<0\\ a=1>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m^{2}-6m-11<0$

Bài 6.18 trang 24

Một vật được ném theo phương thẳng đứng xuống dưới từ độ cao 320 m với vận tốc ban đầu vQ = 20m/s. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu giấy, vật đó cách mặt đất không quá 100m? Giả thiết rằng sức cản của không khí là không đáng kể.

Gợi ý đáp án

Chọn trục Oy thẳng đứng, chiều dương hướng xuống, gốc tọa độ O tại điểm ném và gốc thời gian là lúc ném.

có $y= v_{o}t-g\frac{t^{2}}{2}=20t+5t^{2}$ $y= v_{o}t-g\frac{t^{2}}{2}=20t+5t^{2}$, với g là gia tốc tự do, lấy g = 10

Nếu vật cách mặt đất 100m thì quãng đường vật đã đi được là y = 320 - 100 = 220 m.

Để vật đó cách mặt đất không quá 100m, thì quãng đường y đi được của vật phải lớn hơn 220.

Ta có bất phương trình: $20t+5t^{2}>220$ $20t+5t^{2}>220$

$\Leftrightarrow 5t^{2}+20t-220>0$ $\Leftrightarrow 5t^{2}+20t-220>0$

$\Leftrightarrow t>-2+4\sqrt{3}\approx 4,93$ $\Leftrightarrow t>-2+4\sqrt{3}\approx 4,93$ hoặc $t<-2-4\sqrt{3}\approx -8,93$ $t<-2-4\sqrt{3}\approx -8,93$ (loại)

Vậy sau ít nhất 4,93 giấy thì vật đó cách mặt đất không quá 100m.

Bài 6.19 trang 24

Xét đường tròn đường kính AB = 4 và một điểm M di chuyển trên đoạn AB, đặt AM = x. Xét hai đường tròn đường kính AM và MB. Kí hiệu S(x) là diện tích phần hình phẳng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ. Xác định các giá trị của x để diện tích S(x) không vượt quá một nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ.

Gợi ý đáp án

AM = x, AB = 4 => MB = 4 -x, nên bán kính đường tròn đường kính AM là $\frac{x}{2}$ $\frac{x}{2}$, bán kính đường tròn đường kính MB là $\frac{4-x}{2}.$ $\frac{4-x}{2}.$

Diện tích hình tròn đường kính AM là: $S_{1}=\pi \frac{x^{2}}{4}.$ $S_{1}=\pi \frac{x^{2}}{4}.$

Diện tích hình tròn đường kính MB là: $S_{2}=\pi \frac{(4-x)^{2}}{4}.$ $S_{2}=\pi \frac{(4-x)^{2}}{4}.$

Diện tích hình tròn đường kính AB là: $S=\pi .16.$ $S=\pi .16.$

Diện tích $S(x) = \pi .16- \pi \frac{x^{2}}{4}-\pi \frac{(4-x)^{2}}{4} = \pi \frac{-2x^{2}+8x+48}{4}$ $S(x) = \pi .16- \pi \frac{x^{2}}{4}-\pi \frac{(4-x)^{2}}{4} = \pi \frac{-2x^{2}+8x+48}{4}$

Theo đề bài S(x) $\leq \frac{1}{2}(S_{1}+S_{2})$ $\leq \frac{1}{2}(S_{1}+S_{2})$

$\Leftrightarrow \pi \frac{-2x^{2}+8x+48}{4}\leq \frac{1}{2}(\pi \frac{x^{2}}{4} +\pi \frac{(4-x)^{2}}{4})$ $\Leftrightarrow \pi \frac{-2x^{2}+8x+48}{4}\leq \frac{1}{2}(\pi \frac{x^{2}}{4} +\pi \frac{(4-x)^{2}}{4})$

$\Leftrightarrow -2x^{2}+8x+48 \leq \frac{1}{2}(x^{2}+(4-x)^{2}$ $\Leftrightarrow -2x^{2}+8x+48 \leq \frac{1}{2}(x^{2}+(4-x)^{2}$

$\Leftrightarrow -2x^{2}+8x+48 \leq x^{2}-x+8$ $\Leftrightarrow -2x^{2}+8x+48 \leq x^{2}-x+8$

$\Leftrightarrow -2,45 \leq x \leq 5,45$ $\Leftrightarrow -2,45 \leq x \leq 5,45$

Mà x > 0 nên ta có: $0 < x \leq 5,45$ $0 < x \leq 5,45$

Chia sẻ bởi: