Toán 10 Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180 độ Giải SGK Toán 10 trang 37 - Tập 1 sách Kết nối tri thức với cuộc sống

Toán 10 Bài 5 Kết nối tri thức trang 37 giúp các bạn học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để trả lời các câu hỏi Luyện tập và 4 bài tập trong SGK bài Giá trị lượng giác của một góc từ 0^o đến 180^o.

Giải Toán 10 Kết nối tri thức bài 5 trang 37 được biên soạn với các lời giải chi tiết, đầy đủ và chính xác bám sát chương trình sách giáo khoa môn Toán 10 tập 1. Giải Toán 10 bài 5 Kết nối tri thức là tài liệu cực kì hữu ích hỗ trợ các em học sinh lớp 10 trong quá trình giải bài tập. Đồng thời phụ huynh có thể sử dụng để hướng dẫn con em học tập và đổi mới phương pháp giải phù hợp hơn. Vậy sau đây là nội dung chi tiết giải Toán 10 Bài 5 Giá trị lượng giác của một góc từ 0^o đến 180^o mời các bạn cùng theo dõi.

Toán 10 Bài 5 Giá trị lượng giác của một góc từ 0^o đến 180^o

• Luyện tập Toán 10 Bài 5 Kết nối tri thức
• Giải Toán 10 Kết nối tri thức trang 37 Tập 1
• Lý thuyết Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180 độ

Luyện tập Toán 10 Bài 5 Kết nối tri thức

Luyện tập 1

Tìm các giá trị lượng giác của góc 120 ⁰ (H.3.4).

Gợi ý đáp án

Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho \(\widehat {xOM} = {120^0}\)

Gọi H, K tương ứng là hình chiếu vuông của M lên các trục Ox, Oy.

Vì \(\widehat {xOM} = {120^0} => \widehat {NOM} = {60^0}\)

Xét tam giác vuông MON ta có:

\(ON = \cos {60^0} = \frac{1}{2}.NM = OP = \sin {60^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Điểm M nằm bên trái trục tung => \(M\left( { - \frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\)

=> \(\sin {120^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

=> \(\cos {120^0} = \frac{{-1 }}{2}\)

=> \(\tan {120^0} = \sqrt 3\)

=> \(\cot {120^0} = \frac{{-1}}{\sqrt 3 }\)

Luyện tập 2

Trong Hình 3.6 hai điểm M, N ứng với hai góc phụ nhau α và 90° - α (\(\widehat {xOM} = \alpha ;\widehat {xON} = {90^0} - \alpha\)). Chứng minh rằng ΔMOP = ΔNOQ.

Từ đó nêu mối quan hệ giữa cosα và sin(90° - α)

Gợi ý đáp án

Ta có: \(\widehat {QON} + \widehat {xON} = {90^0}\)

Mà \(\widehat {xON} = {90^0} - \alpha \Rightarrow \widehat {QON} = \alpha\)

=> \(\widehat {QON} = \widehat {POM} = \alpha\)

Xét ΔMOP và ΔNOQ ta có:

OM = ON = 1

\(\widehat {OQN} = \widehat {MPO} = {90^0}\)

\(\widehat {QON} = \widehat {POM} = \alpha\)

=> ΔMOP = ΔNOQ (ch – gn)

=> OP = OQ (hai cạnh tương ứng)

Ta có: OP = cos α; OQ = sin(90⁰ – α)

=> sin(90⁰ – α) = cos α

Giải Toán 10 Kết nối tri thức trang 37 Tập 1

Bài 3.1 trang 37

Không dùng bảng số hay máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau:

\(a) \left( {2\sin {{30}^o} + \cos {{135}^o} - 3\tan {{150}^o}} \right).\left( {\cos {{180}^o} - \cot {{60}^o}} \right)\)

\(b) {\sin ^2}{90^o} + {\cos ^2}{120^o} + {\cos ^2}{0^o} - {\tan ^2}60 + {\cot ^2}{135^o}\)

\(c) \cos {60^o}.\sin {30^o} + {\cos ^2}{30^o}\)

Gợi ý đáp án

\(a) \left( {2\sin {{30}^o} + \cos {{135}^o} - 3\tan {{150}^o}} \right).\left( {\cos {{180}^o} - \cot {{60}^o}} \right)\)

Đặt \(A = \left( {2\sin {{30}^o} + \cos {{135}^o} - 3\tan {{150}^o}} \right).\left( {\cos {{180}^o} - \cot {{60}^o}} \right)\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos {135^o} = - \cos {45^o};\cos {180^o} = - \cos {0^o}\\\tan {150^o} = - \tan {30^o}\end{array} \right.\)

\(\Rightarrow A = \left( {2\sin {{30}^o} - \cos {{45}^o} + 3\tan {{30}^o}} \right).\left( { - \cos {0^o} - \cot {{60}^o}} \right)\)

Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\sin {30^o} = \frac{1}{2};\tan {30^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\\\cos {45^o} = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\cos {0^o} = 1;\cot {60^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\)

\(\Rightarrow A = \left( {2.\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2} + 3.\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right).\left( { - 1 - \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow A = - \left( {1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \sqrt 3 } \right).\left( {1 + \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)\\ \Leftrightarrow A = - \frac{{2 - \sqrt 2 + 2\sqrt 3 }}{2}.\frac{{3 + \sqrt 3 }}{3}\\ \Leftrightarrow A = - \frac{{\left( {2 - \sqrt 2 + 2\sqrt 3 } \right)\left( {3 + \sqrt 3 } \right)}}{6}\\ \Leftrightarrow A = - \frac{{6 + 2\sqrt 3 - 3\sqrt 2 - \sqrt 6 + 6\sqrt 3 + 6}}{6}\\ \Leftrightarrow A = - \frac{{12 + 8\sqrt 3 - 3\sqrt 2 - \sqrt 6 }}{6}.\end{array}\)

\(b) {\sin ^2}{90^o} + {\cos ^2}{120^o} + {\cos ^2}{0^o} - {\tan ^2}60 + {\cot ^2}{135^o}\)

Đặt \(B = {\sin ^2}{90^o} + {\cos ^2}{120^o} + {\cos ^2}{0^o} - {\tan ^2}60 + {\cot ^2}{135^o}\)

Ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}\cos {120^o} = - \cos {60^o}\\\cot {135^o} = - \cot {45^o}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\cos ^2}{120^o} = {\cos ^2}{60^o}\\{\cot ^2}{135^o} = {\cot ^2}{45^o}\end{array} \right.\)

\(\Rightarrow B = {\sin ^2}{90^o} + {\cos ^2}{60^o} + {\cos ^2}{0^o} - {\tan ^2}60 + {\cot ^2}{45^o}\)

Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\cos {0^o} = 1;\;\;\cot {45^o} = 1;\;\;\cos {60^o} = \frac{1}{2}\\\tan {60^o} = \sqrt 3 ;\;\;\sin {90^o} = 1\end{array} \right.\)

\(\Rightarrow B = {1^2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + {1^2} - {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + {1^2}\)

\(\Leftrightarrow B = 1 + \frac{1}{4} + 1 - 3 + 1 = \frac{1}{4}.\)

\(c) \cos {60^o}.\sin {30^o} + {\cos ^2}{30^o}\)

Đặt \(C = \cos {60^o}.\sin {30^o} + {\cos ^2}{30^o}\)

Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

\(\sin {30^o} = \frac{1}{2};\;\;\cos {30^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{2};\;\cos {60^o} = \frac{1}{2}\;\)

\(\Rightarrow C = \frac{1}{2}.\frac{1}{2} + {\left( {\;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1.\)

Bài 3.2 trang 37

\(a) \sin {100^o} + \sin {80^o} + \cos {16^o} + \cos {164^o};\)

b) \(2\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right).\cot \alpha - \cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right).\tan \alpha .\cot \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) với {0^o} < \alpha < {90^o}.\)

Gợi ý đáp án:

\(a) \sin {100^o} + \sin {80^o} + \cos {16^o} + \cos {164^o};\)

Ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}\sin {100^o} = \sin \left( {{{180}^o} - {{80}^o}} \right) = \sin {80^o}\\\cos {164^o} = \cos \left( {{{180}^o} - {{16}^o}} \right) = - \cos {16^o}\end{array} \right.\)

\(\Rightarrow \sin {100^o} + \sin {80^o} + \cos {16^o} + \cos {164^o} = \sin {80^o} + \sin {80^o} + \cos {16^o} - \cos {16^o} = 2\sin {80^o}.\)

b) \(2\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right).\cot \alpha - \cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right).\tan \alpha .\cot \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) với {0^o} < \alpha < {90^o}.\)

Gợi ý đáp án:

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = \sin \alpha \\\cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \cos \alpha \\\tan \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \tan \alpha \\\cot \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \cot \alpha \end{array} \right.\)

\(= 2\sin \alpha .\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} - \cos \alpha .\left( {\tan \alpha .\cot \alpha } \right) = 2\cos \alpha - \cos \alpha = \cos \alpha .\)

Bài 3.3 trang 37

Chứng minh các hệ thức sau:

\(a) {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1.\)

\(b) 1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\quad (\alpha \ne {90^o})\)

\(c) 1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\quad ({0^o} < \alpha < {180^o})\)

Gợi ý đáp án:

\(a) {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1.\)

Gọi M(x;y) là điểm trên đường tròn đơn vị sao cho \(\widehat {xOM} = \alpha\). Gọi N, P tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \cos \alpha \\y = \sin \alpha \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\cos ^2}\alpha = {x^2}\\{\sin ^2}\alpha = {y^2}\end{array} \right.(1)\)

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}\left| x \right| = ON\\\left| y \right| = OP = MN\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = {\left| x \right|^2} = O{N^2}\\{y^2} = {\left| y \right|^2} = M{N^2}\end{array} \right.(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = O{N^2} + M{N^2} = O{M^2}\) (do \(\Delta\) OMN vuông tại N)

\(\Rightarrow {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) (vì OM =1). (đpcm)

\(b) 1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\quad (\alpha \ne {90^o})\)

Ta có: \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\;\;(\alpha \ne {90^o})\)

\(\Rightarrow 1 + {\tan ^2}\alpha = 1 + \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} + \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}\)

Mà theo ý a) ta có \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) với mọi góc \(\alpha\)

\(\Rightarrow 1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} (đpcm)\)

c) \(1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\quad ({0^o} < \alpha < {180^o})\)

Ta có: \(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\;\;\;({0^o} < \alpha < {180^o})\)

\(\Rightarrow 1 + {\cot ^2}\alpha = 1 + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }}\)

Mà theo ý a) ta có \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) với mọi góc \(\alpha\)

\(\Rightarrow 1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} (đpcm)\)

Bài 3.4 trang 37

Cho góc \(\alpha \;\;({0^o} < \alpha < {180^o})\) thỏa mãn \(\tan \alpha = 3\)

Tính giá trị biểu thức: \(P = \frac{{2\sin \alpha - 3\cos \alpha }}{{3\sin \alpha + 2\cos \alpha }}\)

Gợi ý đáp án

Vì \(\tan \alpha = 3 nên \cos \alpha \ne 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow P = \dfrac{{\frac{{2\sin \alpha - 3\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{\frac{{3\sin \alpha + 2\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}} = \dfrac{{2\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 3}}{{3\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + 2}}\\ \Leftrightarrow P = \dfrac{{2\tan \alpha - 3}}{{3\tan \alpha + 2}} = \dfrac{{2.3 - 3}}{{3.3 + 2}} = \dfrac{3}{{11}}. \end{array}\)

Lý thuyết Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180 độ

1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

+) Với mỗi góc \(\alpha ({0^o} \le \alpha \le {180^o}\)) có duy nhất điểm \(M({x_0};{y_0})\) trên nửa đường tròn đơn vị để \(\widehat {xOM} = \alpha\) .Khi đó:

\(\sin \alpha = {y_0}\) là tung độ của M

\(\cos \alpha = {x_0}\) là hoành độ của M

\(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{{y_0}}}{{{x_0}}}(\alpha \ne {90^o})\)

\(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{{x_0}}}{{{y_0}}}(\alpha \ne {0^o},\alpha \ne {180^o})\)

2. QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GÓC BÙ NHAU

Hai góc bù nhau, \(\alpha\)và \({180^o} - \alpha :\)

\(\begin{array}{l}\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = \sin \alpha \\\cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \cos \alpha \\\tan \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \tan \alpha (\alpha \ne {90^o})\\\cot \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \cot \alpha ({0^o} < \alpha < {180^o})\end{array}\)

Hai góc phụ nhau, \(\alpha\)và \({90^o} - \alpha :\)

\(\begin{array}{l}\sin \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \cos \alpha \\\cos \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \sin \alpha \\\tan \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \cot \alpha (\alpha \ne {90^o},{0^o} < \alpha < {180^o})\\\cot \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \tan \alpha (\alpha \ne {90^o},{0^o} < \alpha < {180^o})\end{array}\)