Toán 10 Bài tập cuối chương III - Kết nối tri thức với cuộc sống Giải SGK Toán 10 trang 44 - Tập 1

Bài trước

Mục lục

Bài sau

Toán 10 trang 44, 45 Kết nối tri thức - Tập 1 giúp các em học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để giải 8 bài tập trong SGK Bài tập cuối chương 3 được nhanh chóng và dễ dàng hơn.

Giải Toán 10 Kết nối tri thức trang 44 tập 1 hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa rất chi tiết. Hy vọng rằng tài liệu sẽ giúp các em học sinh lớp 10 học tốt Toán 10 Kết nối tri thức. Đồng thời các thầy cô giáo, bậc phụ huynh có thể sử dụng tài liệu để hướng dẫn các em khi tự học ở nhà được thuận tiện hơn. Vậy sau đây là trọn bộ tài liệu giải Toán 10 Kết nối tri thức trang 44, 45 mời các bạn cùng theo dõi.

Giải Toán 10 trang 44, 45 Kết nối tri thức tập 1

Bài 3.12 trang 44

Cho tam giác ABC có $\widehat B = {135^o}$ $\widehat B = {135^o}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

$A. S = \frac{1}{2}ca$ $A. S = \frac{1}{2}ca$

$B. S = \frac{{ - \sqrt 2 }}{4}ac$ $B. S = \frac{{ - \sqrt 2 }}{4}ac$

$C. S = \frac{{\sqrt 2 }}{4}bc$ $C. S = \frac{{\sqrt 2 }}{4}bc$

$D. S = \frac{{\sqrt 2 }}{4}ca$ $D. S = \frac{{\sqrt 2 }}{4}ca$

Gợi ý đáp án:

Diện tích tam giác ABC: $S = \frac{1}{2}ac.\sin B$ $S = \frac{1}{2}ac.\sin B$

Mà $\widehat B = {135^o} \Rightarrow \sin B = \sin {135^o} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.$ $\widehat B = {135^o} \Rightarrow \sin B = \sin {135^o} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.$

$\Rightarrow S = \frac{1}{2}ac.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}.ac$ $\Rightarrow S = \frac{1}{2}ac.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}.ac$

Chọn D

LG b

$A. R = \frac{a}{{\sin A}}$ $A. R = \frac{a}{{\sin A}}$

$B. R = \frac{{\sqrt 2 }}{2}b$ $B. R = \frac{{\sqrt 2 }}{2}b$

$C. R = \frac{{\sqrt 2 }}{2}c$ $C. R = \frac{{\sqrt 2 }}{2}c$

$D. R = \frac{{\sqrt 2 }}{2}a$ $D. R = \frac{{\sqrt 2 }}{2}a$

Gợi ý đáp án:

Theo định lí sin, ta có: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = R$ $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = R$

A $A. R = \frac{a}{{\sin A}}$ $A. R = \frac{a}{{\sin A}}$ đúng

$B. R = \frac{{\sqrt 2 }}{2}b$ $B. R = \frac{{\sqrt 2 }}{2}b$

Mà $\sin B = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow R = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{b}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = b\sqrt 2$ $\sin B = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow R = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{b}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = b\sqrt 2$

Vậy B sai.

$C. R = \frac{{\sqrt 2 }}{2}c$ $C. R = \frac{{\sqrt 2 }}{2}c$ (Loại vì không có dữ kiện về góc C nên không thể tính R theo c.)

$D. R = \frac{{\sqrt 2 }}{2}a$ $D. R = \frac{{\sqrt 2 }}{2}a$ (Loại vì không có dữ kiện về góc A nên không thể tính R theo a.)

Chọn A

LG c

$A. {a^2} = {b^2} + {c^2} + \sqrt 2 ab.$ $A. {a^2} = {b^2} + {c^2} + \sqrt 2 ab.$

$B. \frac{b}{{\sin A}} = \frac{a}{{\sin B}}$ $B. \frac{b}{{\sin A}} = \frac{a}{{\sin B}}$

$C. \sin B = \frac{{ - \sqrt 2 }}{2}$ $C. \sin B = \frac{{ - \sqrt 2 }}{2}$

$D. {b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca\cos {135^o}.$ $D. {b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca\cos {135^o}.$

Gợi ý đáp án:

$A. {a^2} = {b^2} + {c^2} + \sqrt 2 ab.$ $A. {a^2} = {b^2} + {c^2} + \sqrt 2 ab.$ (Loại)

Vì: Theo định lí cos ta có: ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A$ ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A$

Không đủ dữ kiện để suy ra ${a^2} = {b^2} + {c^2} + \sqrt 2 ab.$ ${a^2} = {b^2} + {c^2} + \sqrt 2 ab.$

$B. \frac{b}{{\sin A}} = \frac{a}{{\sin B}}$ $B. \frac{b}{{\sin A}} = \frac{a}{{\sin B}}$ (Loại)

Theo định lí sin, ta có: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} \nRightarrow \frac{b}{{\sin A}} = \frac{a}{{\sin B}}$ $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} \nRightarrow \frac{b}{{\sin A}} = \frac{a}{{\sin B}}$

$C. \sin B = \frac{{ - \sqrt 2 }}{2}$ $C. \sin B = \frac{{ - \sqrt 2 }}{2}$ (sai vì theo câu a, $\sin B = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ $\sin B = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$)

$D. {b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca\cos {135^o}.$ $D. {b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca\cos {135^o}.$

Theo định lý cos ta có:

${b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca.\cos B (*)$ ${b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca.\cos B (*)$

Mà $\widehat B = {135^o} \Rightarrow \cos B = \cos {135^o}.$ $\widehat B = {135^o} \Rightarrow \cos B = \cos {135^o}.$

Thay vào (*) ta được: ${b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca\;\cos {135^o}$ ${b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca\;\cos {135^o}$

=> D đúng.

Chọn D

Bài 3.13 trang 44

Cho tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng?

LG a

$A. S = \frac{{abc}}{{4r}}$ $A. S = \frac{{abc}}{{4r}}$

$B. r = \frac{{2S}}{{a + b + c}}$ $B. r = \frac{{2S}}{{a + b + c}}$

$C. {a^2} = {b^2} + {c^2} + 2bc\;\cos A$ $C. {a^2} = {b^2} + {c^2} + 2bc\;\cos A$

$D. S = r\,(a + b + c)$ $D. S = r\,(a + b + c)$

Gợi ý đáp án:

a) Chọn đáp án B

$A. S = \frac{{abc}}{{4r}}$ $A. S = \frac{{abc}}{{4r}}$

Ta có: $S = \frac{{abc}}{{4R}}$ $S = \frac{{abc}}{{4R}}$. Mà r < Rnên suy ra $S = \frac{{abc}}{{4R}} < \frac{{abc}}{{4r}}$ $S = \frac{{abc}}{{4R}} < \frac{{abc}}{{4r}}$

Vậy A sai.

$B. r = \frac{{2S}}{{a + b + c}}$ $B. r = \frac{{2S}}{{a + b + c}}$

Ta có: $S = pr \Rightarrow r = \frac{S}{p}$ $S = pr \Rightarrow r = \frac{S}{p}$

Mà $p = \frac{{a + b + c}}{2}\;\; \Rightarrow r = \frac{S}{p}\; = \frac{S}{{\frac{{a + b + c}}{2}}} = \frac{{2S}}{{a + b + c}}\;$ $p = \frac{{a + b + c}}{2}\;\; \Rightarrow r = \frac{S}{p}\; = \frac{S}{{\frac{{a + b + c}}{2}}} = \frac{{2S}}{{a + b + c}}\;$

Vậy B đúng

$C. {a^2} = {b^2} + {c^2} + 2bc\;\cos A$ $C. {a^2} = {b^2} + {c^2} + 2bc\;\cos A$

Sai vì theo định lí cos ta có: ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\;\cos A$ ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\;\cos A$

D. $S = r\,(a + b + c)$ $S = r\,(a + b + c)$

Sai vì $S = pr = r.\frac{{a + b + c}}{2}$ $S = pr = r.\frac{{a + b + c}}{2}$

b) Chọn đáp án A

$A. \sin A = \sin \,(B + C)$ $A. \sin A = \sin \,(B + C)$

Ta có: $\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^o}$ $\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^o}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat B + \widehat C = {180^o} - \widehat A\\ \Rightarrow \sin \,(B + C) = \sin A\end{array}$ $\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat B + \widehat C = {180^o} - \widehat A\\ \Rightarrow \sin \,(B + C) = \sin A\end{array}$

Vậy A đúng.

$B. \cos A = \cos \,(B + C)$ $B. \cos A = \cos \,(B + C)$

Sai vì $\cos \,(B + C) = - \cos A(Do \widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^o})$ $\cos \,(B + C) = - \cos A(Do \widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^o})$

$C. \;\cos A > 0$ $C. \;\cos A > 0$

Không đủ dữ kiện để kết luận.

Nếu ${0^o} < \widehat A < {90^o} thì \cos A > 0$ ${0^o} < \widehat A < {90^o} thì \cos A > 0$

Nếu ${90^o} < \widehat A < {180^o}$ ${90^o} < \widehat A < {180^o}$ thì $\cos A < 0$ $\cos A < 0$

$D. \sin A\,\, \le 0$ $D. \sin A\,\, \le 0$

Ta có $S = \frac{1}{2}bc.\sin A > 0$ $S = \frac{1}{2}bc.\sin A > 0$

Mà b,c > 0

$\Rightarrow \sin A > 0$ $\Rightarrow \sin A > 0$

Vậy D sai.

LG b

$A. \sin A = \sin \,(B + C)$ $A. \sin A = \sin \,(B + C)$

$B. \cos A = \cos \,(B + C)$ $B. \cos A = \cos \,(B + C)$

$C. \;\cos A > 0$ $C. \;\cos A > 0$

$D. \sin A\,\, \le 0$ $D. \sin A\,\, \le 0$

Gợi ý đáp án:

$A. \sin A = \sin \,(B + C)$ $A. \sin A = \sin \,(B + C)$

Ta có: $(\widehat A + \widehat C) + \widehat B= {180^o}$ $(\widehat A + \widehat C) + \widehat B= {180^o}$

$\Rightarrow \sin \,(B + C) = \sin A$ $\Rightarrow \sin \,(B + C) = \sin A$

=> A đúng.

$B. \cos A = \cos \,(B + C)$ $B. \cos A = \cos \,(B + C)$

Sai vì $\cos \,(B + C) = - \cos A$ $\cos \,(B + C) = - \cos A$

$C. \;\cos A > 0$ $C. \;\cos A > 0$ Không đủ dữ kiện để kết luận.

Nếu ${0^o} < \widehat A < {90^o}$ ${0^o} < \widehat A < {90^o}$ thì $\cos A > 0$ $\cos A > 0$

Nếu ${90^o} < \widehat A < {180^o}$ ${90^o} < \widehat A < {180^o}$ thì $\cos A < 0$ $\cos A < 0$

$D. \sin A\,\, \le 0$ $D. \sin A\,\, \le 0$

Ta có $S = \frac{1}{2}bc.\sin A > 0.$ $S = \frac{1}{2}bc.\sin A > 0.$ Mà b,c > 0

$\Rightarrow \sin A > 0$ $\Rightarrow \sin A > 0$

=> D sai.

Chọn A

Bài 3.14 trang 44

Tính giá trị của các biểu thức sau:

$a) M = \sin {45^o}.\cos {45^o} + \sin {30^o}$ $a) M = \sin {45^o}.\cos {45^o} + \sin {30^o}$

$b) N = \sin {60^o}.\cos {30^o} + \frac{1}{2}.\sin {45^o}.\cos {45^o}$ $b) N = \sin {60^o}.\cos {30^o} + \frac{1}{2}.\sin {45^o}.\cos {45^o}$

$c) P = 1 + {\tan ^2}{60^o}$ $c) P = 1 + {\tan ^2}{60^o}$

$d) Q = \frac{1}{{{{\sin }^2}{{120}^o}}} - {\cot ^2}{120^o}.$ $d) Q = \frac{1}{{{{\sin }^2}{{120}^o}}} - {\cot ^2}{120^o}.$

Gợi ý đáp án

$a) M = \sin {45^o}.\cos {45^o} + \sin {30^o}$ $a) M = \sin {45^o}.\cos {45^o} + \sin {30^o}$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\sin {45^o} = \cos {45^o} = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\;\\\sin {30^o} = \frac{1}{2}\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}\sin {45^o} = \cos {45^o} = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\;\\\sin {30^o} = \frac{1}{2}\end{array} \right.$

Thay vào M, ta được: $M = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{1}{2} = \frac{2}{4} + \frac{1}{2} = 1$ $M = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{1}{2} = \frac{2}{4} + \frac{1}{2} = 1$

$b) N = \sin {60^o}.\cos {30^o} + \frac{1}{2}.\sin {45^o}.\cos {45^o}$ $b) N = \sin {60^o}.\cos {30^o} + \frac{1}{2}.\sin {45^o}.\cos {45^o}$

Ta có: $\sin {60^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{2};\;\;\cos {30^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{2};\;\sin {45^o} = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\, \cos {45^o}= \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ $\sin {60^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{2};\;\;\cos {30^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{2};\;\sin {45^o} = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\, \cos {45^o}= \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

Thay vào N, ta được: $N = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$ $N = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$

$c) P = 1 + {\tan ^2}{60^o}$ $c) P = 1 + {\tan ^2}{60^o}$

Ta có: $\tan {60^o} = \sqrt 3$ $\tan {60^o} = \sqrt 3$

Thay vào P, ta được: $Q = 1 + {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = 4.$ $Q = 1 + {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = 4.$

d) $Q = \frac{1}{{{{\sin }^2}{{120}^o}}} - {\cot ^2}{120^o}.$ $Q = \frac{1}{{{{\sin }^2}{{120}^o}}} - {\cot ^2}{120^o}.$

Ta có: $\sin {120^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{2};\;\;\cot {120^o} = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }}$ $\sin {120^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{2};\;\;\cot {120^o} = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }}$

Thay vào P, ta được: $Q = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} - \;{\left( {\frac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} = \frac{1}{{\frac{3}{4}}} - \;\frac{1}{3} = \;\frac{4}{3} - \;\frac{1}{3} = 1.$ $Q = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} - \;{\left( {\frac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} = \frac{1}{{\frac{3}{4}}} - \;\frac{1}{3} = \;\frac{4}{3} - \;\frac{1}{3} = 1.$

Bài 3.15 trang 44

Cho tam giác ABC có $\widehat B = {60^o},\;\,\widehat C = {45^o},AC = 10. Tính a,R,S,r.$ $\widehat B = {60^o},\;\,\widehat C = {45^o},AC = 10. Tính a,R,S,r.$

Gợi ý đáp án

Theo định lí sin: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = R$ $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = R$

+) Ta có: $R = \frac{b}{{\sin B}}$ $R = \frac{b}{{\sin B}}$

Mà $b = AC = 10,\;\;\widehat B = {60^o}$ $b = AC = 10,\;\;\widehat B = {60^o}$

$\Rightarrow R = \frac{{10}}{{\sin {{60}^o}}} = \frac{{10}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{20}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{20\sqrt 3 }}{3}.$ $\Rightarrow R = \frac{{10}}{{\sin {{60}^o}}} = \frac{{10}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{20}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{20\sqrt 3 }}{3}.$

+) Mặt khác: $R = \frac{a}{{\sin A}} \Rightarrow a = R.\sin A$ $R = \frac{a}{{\sin A}} \Rightarrow a = R.\sin A$

Mà $R = \frac{{20\sqrt 3 }}{3},\;\widehat A = {180^o} - \left( {\widehat B + \;\widehat C} \right) = {180^o} - \left( {{{60}^o} + {{45}^o}} \right) = {75^o}$ $R = \frac{{20\sqrt 3 }}{3},\;\widehat A = {180^o} - \left( {\widehat B + \;\widehat C} \right) = {180^o} - \left( {{{60}^o} + {{45}^o}} \right) = {75^o}$

$\Rightarrow a = \frac{{20\sqrt 3 }}{3}.\sin {75^o} \approx 11,154$ $\Rightarrow a = \frac{{20\sqrt 3 }}{3}.\sin {75^o} \approx 11,154$

+) Diện tích tam giác ABC là: $S = \frac{1}{2}ab.\sin \,\widehat C \approx \frac{1}{2}.11,154.10.\sin {60^o} \approx 48,3$ $S = \frac{1}{2}ab.\sin \,\widehat C \approx \frac{1}{2}.11,154.10.\sin {60^o} \approx 48,3$

+) Lại có: $R = \frac{c}{{\sin C}}$ $R = \frac{c}{{\sin C}}$

$\Rightarrow c = \frac{{20\sqrt 3 }}{3}.\sin {45^o} = \frac{{10\sqrt 6 }}{3} \approx 8,165$ $\Rightarrow c = \frac{{20\sqrt 3 }}{3}.\sin {45^o} = \frac{{10\sqrt 6 }}{3} \approx 8,165$

$\Rightarrow p = \frac{{a + b + c}}{2} \approx \frac{{11,154 + 10 + 8,165}}{2} \approx 14,66$ $\Rightarrow p = \frac{{a + b + c}}{2} \approx \frac{{11,154 + 10 + 8,165}}{2} \approx 14,66$

$\Rightarrow r = \frac{S}{p} \approx \frac{{48,3}}{{14,66}} \approx 3,3$ $\Rightarrow r = \frac{S}{p} \approx \frac{{48,3}}{{14,66}} \approx 3,3$

Bài 3.16 trang 44

Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh rằng:

$a) \cos \widehat {AMB} + \cos \widehat {AMC} = 0$ $a) \cos \widehat {AMB} + \cos \widehat {AMC} = 0$

b) $M{A^2} + M{B^2} - A{B^2} = 2.MA.MB.\cos \widehat {AMB}$ $M{A^2} + M{B^2} - A{B^2} = 2.MA.MB.\cos \widehat {AMB}$

và $M{A^2} + M{C^2} - A{C^2} = 2.MA.MC.\cos \widehat {AMC}$ $M{A^2} + M{C^2} - A{C^2} = 2.MA.MC.\cos \widehat {AMC}$

$c) M{A^2} = \frac{{2\left( {A{B^2} + A{C^2}} \right) - B{C^2}}}{4}$ $c) M{A^2} = \frac{{2\left( {A{B^2} + A{C^2}} \right) - B{C^2}}}{4}$ (công thức đường trung tuyến).

Hướng dẫn giải

Định lí cosin:

a² = b² + c² – 2bc.cosA

b² = a² + c² – 2ac.cosB

c² = a² + b² – 2ab.cosC

Định lí sin:

Trong tam giác ABC có: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R$ $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R$

Học sinh xem lại các công thức tính diện tích tam giác đã được học.

Gợi ý đáp án

a) Ta có: $\widehat {AMB} + \widehat {AMC} = {180^o}$ $\widehat {AMB} + \widehat {AMC} = {180^o}$

$\Rightarrow \cos \widehat {AMB} = - \cos \widehat {AMC}$ $\Rightarrow \cos \widehat {AMB} = - \cos \widehat {AMC}$

Hay $\cos \widehat {AMB} + \cos \widehat {AMC} = 0$ $\cos \widehat {AMB} + \cos \widehat {AMC} = 0$

b) Áp dụng định lí cos trong tam giác AMB ta có:

$\begin{array}{l}A{B^2} = M{A^2} + M{B^2} - 2MA.MB\;\cos \widehat {AMB}\\ \Leftrightarrow M{A^2} + M{B^2} - A{B^2} = 2MA.MB\;\cos \widehat {AMB}\;\;(1)\end{array}$ $\begin{array}{l}A{B^2} = M{A^2} + M{B^2} - 2MA.MB\;\cos \widehat {AMB}\\ \Leftrightarrow M{A^2} + M{B^2} - A{B^2} = 2MA.MB\;\cos \widehat {AMB}\;\;(1)\end{array}$

Tương tự, Áp dụng định lí cos trong tam giác AMB ta được:

$\begin{array}{l}A{C^2} = M{A^2} + M{C^2} - 2MA.MC\;\cos \widehat {AMC}\\ \Leftrightarrow M{A^2} + M{C^2} - A{C^2} = 2MA.MC\;\cos \widehat {AMC}\;\;(2)\end{array}$ $\begin{array}{l}A{C^2} = M{A^2} + M{C^2} - 2MA.MC\;\cos \widehat {AMC}\\ \Leftrightarrow M{A^2} + M{C^2} - A{C^2} = 2MA.MC\;\cos \widehat {AMC}\;\;(2)\end{array}$

c) Từ (1), suy ra $M{A^2} = A{B^2} - M{B^2} + 2MA.MB\;\cos \widehat {AMB}\;$ $M{A^2} = A{B^2} - M{B^2} + 2MA.MB\;\cos \widehat {AMB}\;$

Từ (2), suy ra $M{A^2} = A{C^2} - M{C^2} + 2MA.MC\;\cos \widehat {AMC}\;$ $M{A^2} = A{C^2} - M{C^2} + 2MA.MC\;\cos \widehat {AMC}\;$

Cộng vế với vế ta được:

$2M{A^2} = \left( {A{B^2} - M{B^2} + 2MA.MB\;\cos \widehat {AMB}} \right)\; + \left( {A{C^2} - M{C^2} + 2MA.MC\;\cos \widehat {AMC}} \right)\;$ $2M{A^2} = \left( {A{B^2} - M{B^2} + 2MA.MB\;\cos \widehat {AMB}} \right)\; + \left( {A{C^2} - M{C^2} + 2MA.MC\;\cos \widehat {AMC}} \right)\;$

$\Leftrightarrow 2M{A^2} = A{B^2} + A{C^2} - M{B^2} - M{C^2} + 2MA.MB\;\cos \widehat {AMB} + 2MA.MC\;\cos \widehat {AMC}$ $\Leftrightarrow 2M{A^2} = A{B^2} + A{C^2} - M{B^2} - M{C^2} + 2MA.MB\;\cos \widehat {AMB} + 2MA.MC\;\cos \widehat {AMC}$

Mà: $MB = MC = \frac{{BC}}{2}$ $MB = MC = \frac{{BC}}{2}$ (do AM là trung tuyến)

$\Rightarrow 2M{A^2} = A{B^2} + A{C^2} - {\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} - {\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} + 2MA.MB\;\cos \widehat {AMB} + 2MA.MB\;\cos \widehat {AMC}$ $\Rightarrow 2M{A^2} = A{B^2} + A{C^2} - {\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} - {\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} + 2MA.MB\;\cos \widehat {AMB} + 2MA.MB\;\cos \widehat {AMC}$

$\Leftrightarrow 2M{A^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.{\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} + 2MA.MB\;\left( {\cos \widehat {AMB} + \;\cos \widehat {AMC}} \right)$ $\Leftrightarrow 2M{A^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.{\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} + 2MA.MB\;\left( {\cos \widehat {AMB} + \;\cos \widehat {AMC}} \right)$

$\Leftrightarrow 2M{A^2} = A{B^2} + A{C^2} - {\frac{{BC}}{2}^2}$ $\Leftrightarrow 2M{A^2} = A{B^2} + A{C^2} - {\frac{{BC}}{2}^2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow M{A^2} = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - {{\frac{{BC}}{2}}^2}}}{2}\\ \Leftrightarrow M{A^2} = \frac{{2\left( {A{B^2} + A{C^2}} \right) - B{C^2}}}{4}\end{array}$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow M{A^2} = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - {{\frac{{BC}}{2}}^2}}}{2}\\ \Leftrightarrow M{A^2} = \frac{{2\left( {A{B^2} + A{C^2}} \right) - B{C^2}}}{4}\end{array}$(đpcm)

Bài 3.17 trang 44

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) Nếu góc A nhọn thì ${b^2} + {c^2} > {a^2}$ ${b^2} + {c^2} > {a^2}$

b) Nếu góc A tù thì ${b^2} + {c^2} < {a^2}$ ${b^2} + {c^2} < {a^2}$

c) Nếu góc A vuông thì ${b^2} + {c^2} = {a^2}$ ${b^2} + {c^2} = {a^2}$

Hướng dẫn giải

Định lí cosin:

a² = b² + c² – 2bc.cosA

b² = a² + c² – 2ac.cosB

c² = a² + b² – 2ab.cosC

Định lí sin:

Trong tam giác ABC có: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R$ $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R$

Học sinh xem lại các công thức tính diện tích tam giác đã được học.

Gợi ý đáp án

Theo định lí cos ta có: ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\;\cos A$ ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\;\cos A$

$\Rightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} = 2bc\;\cos A(1)$ $\Rightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} = 2bc\;\cos A(1)$

a) Nếu góc A nhọn thì $\cos A > 0$ $\cos A > 0$

Từ (1), suy ra ${b^2} + {c^2} > {a^2}$ ${b^2} + {c^2} > {a^2}$

b) Nếu góc A tù thì $\cos A < 0$ $\cos A < 0$

Từ (1), suy ra ${b^2} + {c^2} < {a^2}$ ${b^2} + {c^2} < {a^2}$

c) Nếu góc A vuông thì $\cos A = 0$ $\cos A = 0$

Từ (1), suy ra ${b^2} + {c^2} = {a^2}$ ${b^2} + {c^2} = {a^2}$

Bài 3.18 trang 45

Trên biển, tàu B ở vị trí cách tàu A 53 km về hương N340E. Sau đó, tàu B chuyển động thẳng đều với vận tốc có độ lớn 30km/h về hướng đông và tàu A chuyển động thẳng đều với vận tốc có độ lớn 50km/h để đuổi kịp tàu B.

a) Hỏi tàu A cần phải chuyển động theo hướng nào?

b) Với hướng chuyển động đó thì sau bao lâu tàu A đuổi kịp tàu B?

Hướng dẫn giải

Định lí cosin:

a² = b² + c² – 2bc.cosA

b² = a² + c² – 2ac.cosB

c² = a² + b² – 2ab.cosC

Định lí sin:

Trong tam giác ABC có: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R$ $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R$

Học sinh xem lại các công thức tính diện tích tam giác đã được học.

Gợi ý đáp án

a) Gọi thời gian tàu A đuổi kịp tàu B ở vị trí C là x (giờ) (x > 0)

Vì tàu B chuyển động thẳng đều với vận tốc có độ lớn 30km/h đến C nên quãng đường BC là 30x (km)

Vì tàu A chuyển động thẳng đều với vận tốc có độ lớn 50km/h để đuổi kịp tàu B nên quãng đường AC là 50x (km)

Xét tam giác ABC ta có:

AC² = BC² + AB² – 2AB.BC.cosB

=> 2500x² = 900x² + 53² – 2.53.30x.cos124⁰

=> 1600x² – 1778x – 2809 = 0

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \approx 1,99\left( {tm} \right)} \\ {x \approx - 0,88\left( {ktm} \right)} \end{array}} \right.$ $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \approx 1,99\left( {tm} \right)} \\ {x \approx - 0,88\left( {ktm} \right)} \end{array}} \right.$

Do đó tàu A mất 1,99 giờ đuổi kịp tàu B.

=> BC = 30.x = 30.1,99 = 59,7; AC = 50.x = 50.1,99 = 99,5

Ta lại có:

$\begin{matrix} \dfrac{{BC}}{{\sin A}} = \dfrac{{AC}}{{\sin B}} \Rightarrow \dfrac{{59,7}}{{\sin A}} = \dfrac{{99,5}}{{\sin {{124}^0}}} \hfill \\ \Rightarrow \sin A \approx 0,497 \Rightarrow \widehat B \approx 29,{83^0} \hfill \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} \dfrac{{BC}}{{\sin A}} = \dfrac{{AC}}{{\sin B}} \Rightarrow \dfrac{{59,7}}{{\sin A}} = \dfrac{{99,5}}{{\sin {{124}^0}}} \hfill \\ \Rightarrow \sin A \approx 0,497 \Rightarrow \widehat B \approx 29,{83^0} \hfill \\ \end{matrix}$

=> AC hợp với phương nam một góc 34⁰ + 29,83⁰ = 63,83⁰

Vậy tàu A chuyển động theo hướng N63,83⁰E

Bài 3.19 trang 45

Trên sân bóng chày dành cho nam, các vị trí gôn nhà (Home plate), gôn 1 (First base), gôn 2(Second base), gôn 3 (Third base) là bốn đỉnh của một hình vuông có cạnh dài 27,4m. Vị trí đứng ném bóng (Pitcher’s mound) nằm trên đường nối gôn Nhà với gôn 2 và cách gôn nhà 18,44m. Tính các khoảng cách từ vị trí đứng ném bóng tới các gôn 1 và gôn 3.

Hướng dẫn giải

Định lí cosin:

a² = b² + c² – 2bc.cosA

b² = a² + c² – 2ac.cosB

c² = a² + b² – 2ab.cosC

Định lí sin:

Trong tam giác ABC có: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R$ $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R$

Học sinh xem lại các công thức tính diện tích tam giác đã được học.

Gợi ý đáp án

A là vị trí gôn nhà, B là vị trí gôn 1, C là vị trí gôn 2, D là vị trí gôn 3, E là vị trí ném bóng.

Xét tam giác ABE ta có:

BE² = AB² + AE² – 2.AB.AE.cos

=> BE² = 27,4² + 18,44² – 2.27,4.18,44.cos45⁰

=> BE² ≈ 376,25

=> BE ≈ 19,4 m.

Xét tam giác ABE và tam giác ADE ta có:

AB = AD (gt)

AE chung

=> ΔABE = ΔCDE (c – g – c)