Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm Giải Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 trang 105, 106, 107, 108, 109

Bài trước

Mục lục

Bài sau

Giải Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm là tài liệu vô cùng hữu ích giúp các em học sinh lớp 11 có thêm nhiều gợi ý tham khảo để giải các bài tập trong SGK Toán 11 Kết nối tri thức với cuộc sống tập 2 trang 105, 106, 107, 108, 109.

Giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 trang 105, 106, 107, 108, 109 được trình bày rõ ràng, cẩn thận, dễ hiểu nhằm giúp học sinh nhanh chóng biết cách làm bài. Đồng thời, cũng là tài liệu hữu ích giúp giáo viên thuận tiện trong việc hướng dẫn học sinh ôn tập Bài tập ôn tập cuối năm.

Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm

A. Trắc nghiệm

Bài 1

Khẳng định nào sau đây sai?

A. cos(α + β) = cosαcosβ + sinαsinβ

B. sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ

C. sin( $\frac{\pi }{2}$ $\frac{\pi }{2}$ + a) = cosα

D. cos2α = cos²α − sin²α

Gợi ý đáp án

Đáp án C

Bài 2

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kì π.

B. Hàm số y = cosx tuần hoàn với chu kì 2π

C. Hàm số y = tanx tuần hoàn với chu kì 2π

D. Hàm số y = cotx tuần hoàn với chu kỉ 2π

Gợi ý đáp án

Đáp án B

Bài 3

Cho biết dãy số (U_n) với U_n = 5ⁿ. Số hạng U_2n bằng

A. 2.5ⁿ

B. 25ⁿ

C. 10ⁿ

D. $5^{n^{2} }$ $5^{n^{2} }$

Gợi ý đáp án

Đáp án B

Bài 4

Hãy cho biết dãy số $(U_{n})$ $(U_{n})$ nào dưới dây là dãy số tăng, nếu biết công thức só hạn tộng quát của nó là

A. $\frac{1}{n^{2}+1}$ $\frac{1}{n^{2}+1}$

B. $2^{-n}$ $2^{-n}$

C. $\log_{\frac{1}{2}}n$ $\log_{\frac{1}{2}}n$

D. $\frac{n}{n+1}$ $\frac{n}{n+1}$

Gợi ý đáp án

Đáp án D

Bài 5

Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Nếu $\lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x)= L \geq 0$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x)= L \geq 0$ thì $\lim_{x\rightarrow x_{0}}\sqrt{f(x)}=\sqrt{L}$ $\lim_{x\rightarrow x_{0}}\sqrt{f(x)}=\sqrt{L}$

B. $\lim_{x\rightarrow x_{0}} \frac{1}{x} = -\infty$ $\lim_{x\rightarrow x_{0}} \frac{1}{x} = -\infty$

C. Nếu $|q| \leq 1$ $|q| \leq 1$ thì $\lim_{n\rightarrow +\infty} q^{n} = 0$ $\lim_{n\rightarrow +\infty} q^{n} = 0$

D. $\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{sin n}{n+1}=0$ $\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{sin n}{n+1}=0$

Gợi ý đáp án

Đáp án B

Bài 6

Hàm số nào dưới đây không liên tục trên $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$?

A. y = tan x

B. $y=\frac{2x^{2}3x-1}{x^{2}+1}$ $y=\frac{2x^{2}3x-1}{x^{2}+1}$

C. y = sinx

D. y =|x|

Gợi ý đáp án

Đáp án D

Bài 7

Cho $0< a\neq 1$ $0< a\neq 1$. Giá trị của biểu thức $\log_{a}(a^{3} . \sqrt[4]{a}) + (\sqrt[3]{a})^{\log_{a}8}$ $\log_{a}(a^{3} . \sqrt[4]{a}) + (\sqrt[3]{a})^{\log_{a}8}$ bằng

A. $\frac{19}{4}$ $\frac{19}{4}$

B. 9

C. $\frac{21}{4}$ $\frac{21}{4}$

D. $\frac{47}{12}$ $\frac{47}{12}$

Gợi ý đáp án

Đáp án C

Bài 8

Cho đồ thị ba hàm số mũ y = a^x, y = b^xvà y = c^x như trong hinh vẽ dưới đây. Khẳng định nào đúng?

A. a > c > b

B. b > a > c

C. c > a > b

D. c > b > a

Gợi ý đáp án

Đáp án C

Bài 9

Nếu f(x) = sin²x + xe^2x thì f"(0) bằng

A. 4

B. 5

C. 6

D. 0

Gợi ý đáp án

Đáp án A

Bài 10

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = −2x³ + 6x² − 5 tại điểm M(3; -5) thuộc đồ thị là

A. y = 18x + 49

B. y = 18x - 49

C. y = -18x - 49

D. y = -18x + 49

Gợi ý đáp án

Đáp án D

Bài 11

Cho hình hộp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và SA $\perp$ $\perp$ (ABC), SA = $a \sqrt{2}$ $a \sqrt{2}$. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng

A. $\frac{6a}{11}$ $\frac{6a}{11}$

B. $\frac{a \sqrt{66}}{11}$ $\frac{a \sqrt{66}}{11}$

C. $\frac{a\sqrt{6}}{11}$ $\frac{a\sqrt{6}}{11}$

D. $\frac{a\sqrt{11}}{11}$ $\frac{a\sqrt{11}}{11}$

Gợi ý đáp án

Đáp án D

Bài 12

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AC = AA' = 2a. Giá trị lớn nhất của thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D' bằng

A. 8a³

B. 6a³

C. 4a³

D. a³

Gợi ý đáp án

Đáp án C

Bài 13

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AC và cạnh AD. Thể tích khối chóp B.CMND bằng

A. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$ $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{16}$ $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{16}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{24}$ $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{24}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{8}$ $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{8}$

Gợi ý đáp án

Đáp án C

Bài 14

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB = 1 AA' = 2. Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C bằng

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{6}$ $\frac{\sqrt{3}}{6}$

C. $\frac{\sqrt{3}}{4}$ $\frac{\sqrt{3}}{4}$

D. $\frac{\sqrt{3}}{8}$ $\frac{\sqrt{3}}{8}$

Gợi ý đáp án

Đáp án B

Bài 15

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có AC' = $\sqrt{3}$ $\sqrt{3}$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB' và BC' bằng

A. $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$

D. $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$

Gợi ý đáp án

Đáp án C

Bài 16

Gợi ý đáp án

Đáp án C

Bài 17

Gợi ý đáp án

Đáp án C

Bài 18

Gợi ý đáp án

Đáp án A

Bài 19

Gợi ý đáp án

Đáp án B

Bài 20

Gợi ý đáp án

Đáp án C

B. Tự luận

Bài 21

Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A=\frac{1-2sin^{2}x}{1+sin^{2}2x} - \frac{1-tan x}{1+tan x}$ $A=\frac{1-2sin^{2}x}{1+sin^{2}2x} - \frac{1-tan x}{1+tan x}$

b) $B=\frac{sin 4x}{1+cos 4x}.\frac{cos2x}{1+cos2x}- cot(frac{3 \pi}{2} - x)$ $B=\frac{sin 4x}{1+cos 4x}.\frac{cos2x}{1+cos2x}- cot(frac{3 \pi}{2} - x)$

c) $C = 2(cos^{4} x - sin ^{4} x) sin2x$ $C = 2(cos^{4} x - sin ^{4} x) sin2x$

Gợi ý đáp án

a) $A=\frac{1-2sin^{2}x}{1+sin^{2}2x} - \frac{1-tan x}{1+tan x}$ $A=\frac{1-2sin^{2}x}{1+sin^{2}2x} - \frac{1-tan x}{1+tan x}$

$= \frac{1-2sin^{2}x}{cos^{2}2x+sin^{2}2x.sin^{2}x} - \frac{cosx-sinx}{cosx+sinx}$ $= \frac{1-2sin^{2}x}{cos^{2}2x+sin^{2}2x.sin^{2}x} - \frac{cosx-sinx}{cosx+sinx}$

$=\frac{(cos^2 2x + sin^2 2x.sin^2 x)(1-2sin^2 x)}{(cos^2 2x + sin^2 2x.sin^2 x)}-\frac{(cosx-sinx)^2}{(cosx+sinx)(cosx-sinx)}$ $=\frac{(cos^2 2x + sin^2 2x.sin^2 x)(1-2sin^2 x)}{(cos^2 2x + sin^2 2x.sin^2 x)}-\frac{(cosx-sinx)^2}{(cosx+sinx)(cosx-sinx)}$

$=\frac{cos^2 2x + sin^2 2x.sin^2 x - 2sin^2 x - cos^2 x - sin^2 x + 2cosx sinx}{cos^2 2x + sin^2 2x.sin^2 x}$ $=\frac{cos^2 2x + sin^2 2x.sin^2 x - 2sin^2 x - cos^2 x - sin^2 x + 2cosx sinx}{cos^2 2x + sin^2 2x.sin^2 x}$

$= \frac{cos^2 2x - cos^2 x + 2sin^2 x - sin^2 x + 2cosx sinx}{cos^2 2x + sin^2 2x.sin^2 x}$ $= \frac{cos^2 2x - cos^2 x + 2sin^2 x - sin^2 x + 2cosx sinx}{cos^2 2x + sin^2 2x.sin^2 x}$

$= \frac{cos^2 x (2cos^2 x - cos^2 2x + 2sin^2 x) + sin^2 x (2cosx sinx)}{cos^2 2x + sin^2 2x.sin^2 x}$ $= \frac{cos^2 x (2cos^2 x - cos^2 2x + 2sin^2 x) + sin^2 x (2cosx sinx)}{cos^2 2x + sin^2 2x.sin^2 x}$

$= \frac{cos^2 x (2 - 2sin^2 x) + sin^2 x (sin2x)}{cos^2 2x + sin^2 2x.sin^2 x}$ $= \frac{cos^2 x (2 - 2sin^2 x) + sin^2 x (sin2x)}{cos^2 2x + sin^2 2x.sin^2 x}$

$= \frac{2cos^2 x - 2cos^2 x sin^2 x + sin^2 x sin2x}{cos^2 2x + sin^2 2x.sin^2 x} = \frac{2cos^2 x (1-sin^2 x) + sin^2 x sin2x}{cos^2 2x + sin^2 2x.sin^2 x}$ $= \frac{2cos^2 x - 2cos^2 x sin^2 x + sin^2 x sin2x}{cos^2 2x + sin^2 2x.sin^2 x} = \frac{2cos^2 x (1-sin^2 x) + sin^2 x sin2x}{cos^2 2x + sin^2 2x.sin^2 x}$

$= \frac{2cos^2 x cos^2 x + sin^2 x sin2x}{cos^2 2x + sin^2 2x.sin^2 x}$ $= \frac{2cos^2 x cos^2 x + sin^2 x sin2x}{cos^2 2x + sin^2 2x.sin^2 x}$

$= \frac{cos^2 x(2cos^2 x + sin^2 2x)}{cos^2 2x + sin^2 2x.sin^2 x}$ $= \frac{cos^2 x(2cos^2 x + sin^2 2x)}{cos^2 2x + sin^2 2x.sin^2 x}$

$= \frac{cos^2 x}{1+sin^2 2x}$ $= \frac{cos^2 x}{1+sin^2 2x}$

$B = \frac{sin 4x}{1+cos 4x}.\frac{cos2x}{1+cos2x}- cot(\frac{3 \pi}{2} - x)$ $B = \frac{sin 4x}{1+cos 4x}.\frac{cos2x}{1+cos2x}- cot(\frac{3 \pi}{2} - x)$

$= \frac{2sin2x cos2x}{2cos^2 2x}.\frac{cos2x}{1+cos2x} + tanx$ $= \frac{2sin2x cos2x}{2cos^2 2x}.\frac{cos2x}{1+cos2x} + tanx$

$= \frac{sin 2x}{cos^2 2x}. \frac{cos2x}{1+cos2x} + tanx$ $= \frac{sin 2x}{cos^2 2x}. \frac{cos2x}{1+cos2x} + tanx$

$= \frac{2sinx cosx}{(1+cos2x)(1-cos2x)}.\frac{1+cos2x}{2} + tanx$ $= \frac{2sinx cosx}{(1+cos2x)(1-cos2x)}.\frac{1+cos2x}{2} + tanx$

$= \frac{sinx}{cos^2 x} + tanx$ $= \frac{sinx}{cos^2 x} + tanx$

$= \frac{sin^2 x}{sin x cos^2 x} + \frac{sinx}{cosx}$ $= \frac{sin^2 x}{sin x cos^2 x} + \frac{sinx}{cosx}$

$= \frac{1}{cos^2 x} + \frac{sinx}{cosx}$ $= \frac{1}{cos^2 x} + \frac{sinx}{cosx}$

$= sec^2 x + tanx$

$C= 2( cos^{4}x - sin^{4}x)sin2x$ $C= 2( cos^{4}x - sin^{4}x)sin2x$

$= 2cos^{4}xsin2x - 2sin^{4}x.sin2x$ $= 2cos^{4}xsin2x - 2sin^{4}x.sin2x$

$= 2cos^{4}xsin2x - 2sin^{2}x(1-cos^{2}x)sin2x$ $= 2cos^{4}xsin2x - 2sin^{2}x(1-cos^{2}x)sin2x$

$=2cos^{2}x(cos^{2}x-sin^{2}x)sin2x$ $=2cos^{2}x(cos^{2}x-sin^{2}x)sin2x$

$=2cos^{2}x.cos2x.sin2x$ $=2cos^{2}x.cos2x.sin2x$

$=4cos^{2}x.cos2xsinx$ $=4cos^{2}x.cos2xsinx$

Bài 22

Mùa xuân ở hội Lim (tỉnh Bắc Ninh) thường có trò chơi đu. Khi người chơi đu nhún cây đu sẽ đưa người chơi dao động qua lại quanh vị trí cân bằng. Giả sử khoảng cách h (tính bằng mét) từ người chơi đu đến vị trí cân bằng được tính theo thời gian t (t ≥ 0và được tính bằng giây) bởi hệ thức h = |d| với d = 3cos[ $\frac{\pi }{3}$ $\frac{\pi }{3}$(2t − 1)] trong đó ta quy ước rằng d > 0 khi vị trí cân bằng ở về phía sau lưng người chơi đu và d < 0 trong trường hợp ngược lại.

a) Tìm các thời điểm trong vòng 2 giây đầu tiên mà người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất.

b) Tìm các thời điểm trong vòng 2 giây đầu tiên mà người chơi đu cách vị trí cân bằng 2 m (tính chính xác đến 0,01 giây).

Gợi ý đáp án

a) Ta có

$cos[\frac{ \pi}{3}(2t-1)] = \pm 1 \Leftrightarrow sin[\frac{ \pi}{3} (2t -1)]=0$ $cos[\frac{ \pi}{3}(2t-1)] = \pm 1 \Leftrightarrow sin[\frac{ \pi}{3} (2t -1)]=0$

$\Leftrightarrow \frac{\pi}{3}(2t-1) =k \pi \Leftrightarrow t=\frac{1}{2}(3k+1)$ $\Leftrightarrow \frac{\pi}{3}(2t-1) =k \pi \Leftrightarrow t=\frac{1}{2}(3k+1)$

Ta cần tìm k nguyên để 0 ≤ t ≤ 2

$0 \leq t\leq 2 \Leftrightarrow 0 \frac{1}{2} (3k+1)\leq 2$ $0 \leq t\leq 2 \Leftrightarrow 0 \frac{1}{2} (3k+1)\leq 2$

$\Leftrightarrow -\frac{1}{3}\leq k\leq 1\Leftrightarrow k \in \left \{ 0;1 \right \}$ $\Leftrightarrow -\frac{1}{3}\leq k\leq 1\Leftrightarrow k \in \left \{ 0;1 \right \}$

Với k = 0 thì t = $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$. Với k = 1 thì t = 2. Vậy trong 2 giây đầu tiên, người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất vào các thời điểm $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$giây và 2 giây.

$3cos [\frac{\pi}{3}(2t-1)]=\pm 2$ $3cos [\frac{\pi}{3}(2t-1)]=\pm 2$

$\Leftrightarrow cos^{2}[\frac{\pi}{3}(2t-1)]=\frac{4}{9}$ $\Leftrightarrow cos^{2}[\frac{\pi}{3}(2t-1)]=\frac{4}{9}$

$\Leftrightarrow 1+cos [\frac{2 \pi}{3}(2t-1)]=\frac{9}{8}$ $\Leftrightarrow 1+cos [\frac{2 \pi}{3}(2t-1)]=\frac{9}{8}$

$\Leftrightarrow cos [\frac{2 \pi}{3}(2t-1)]=-\frac{1}{9}$ $\Leftrightarrow cos [\frac{2 \pi}{3}(2t-1)]=-\frac{1}{9}$

$\Leftrightarrow \frac{2\pi }{3}(2t-1)=\pm \alpha +k2 \pi$ $\Leftrightarrow \frac{2\pi }{3}(2t-1)=\pm \alpha +k2 \pi$

$\Leftrightarrow t =\pm \frac{3\alpha }{4 \pi}+\frac{1}{2}+\frac{3k}{2}$ $\Leftrightarrow t =\pm \frac{3\alpha }{4 \pi}+\frac{1}{2}+\frac{3k}{2}$

Ta tìm k nguyên để 0 ≤ t ≤ 2

Với $t = \frac{3\alpha }{4 \pi}+\frac{1}{2}+\frac{3k}{2}$ $t = \frac{3\alpha }{4 \pi}+\frac{1}{2}+\frac{3k}{2}$

$\Leftrightarrow -\frac{1}{3} -\frac{\alpha}{2 \pi} \leq k \leq 1-\frac{\alpha}{2 \pi}$ $\Leftrightarrow -\frac{1}{3} -\frac{\alpha}{2 \pi} \leq k \leq 1-\frac{\alpha}{2 \pi}$

Với $cos \alpha = -\frac{1}{9}$ $cos \alpha = -\frac{1}{9}$

$\Leftrightarrow k =0$ $\Leftrightarrow k =0$ và $t \approx 0,90$ $t \approx 0,90$

Với $-t = \frac{3\alpha }{4 \pi}+\frac{1}{2}+\frac{3k}{2}$ $-t = \frac{3\alpha }{4 \pi}+\frac{1}{2}+\frac{3k}{2}$tương tự

Trong khoảng 2 giây đầu tiên, có ba thời điểm mà người chơi đu cách vị trí cân bằng 2 mét, đó là t $\approx$ $\approx$ 0,10 giây $\approx$ $\approx$ 0,90 giây và t $\approx$ $\approx$ 0,60 giây.

Chia sẻ bởi: