Toán 11 Bài 16: Giới hạn của hàm số Giải Toán 11 Kết nối tri thức trang 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118

Bài trước

Mục lục

Bài sau

Giải Toán 11 Bài 16: Giới hạn của hàm số là tài liệu vô cùng hữu ích giúp các em học sinh lớp 11 có thêm nhiều gợi ý tham khảo để giải các bài tập trong SGK Toán 11 Kết nối tri thức với cuộc sống tập 1 trang 111→118.

Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 trang 118 được biên soạn đầy đủ, chi tiết trả lời các câu hỏi từ bài 5.7 đến 5.13 giúp các bạn có thêm nhiều nguồn ôn tập đối chiếu với kết quả mình đã làm. Vậy sau đây là nội dung chi tiết giải Toán 11 tập 1 Bài 16 Giới hạn của hàm số Kết nối tri thức, mời các bạn cùng theo dõi tại đây.

Giải Toán 11 Bài 16: Giới hạn của hàm số

1. Toán lớp 11 Kết nối tri thức tập 1 trang 118

Bài 5.7 trang 118

Cho hai hàm số $f(x)=\frac{x^{2}-1}{x-1} và g(x) = x + 1$ $f(x)=\frac{x^{2}-1}{x-1} và g(x) = x + 1$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

a) f(x) = g(x)

b) $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 1}{lim}g(x)$ $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 1}{lim}g(x)$

Gợi ý đáp án

Ta có:

- tập xác định của f(x): D = R \{1}

- tập xác định của g(x): R

$\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=2$ $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=2$

$\underset{x\rightarrow 1}{lim}g(x)=2$ $\underset{x\rightarrow 1}{lim}g(x)=2$

Vậy khẳng định b đúng

Bài 5.8 trang 118

Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{(x+2)^{2}-4}{x}$ $\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{(x+2)^{2}-4}{x}$

b) $\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{\sqrt{x^{2}+9}-3}{x^{2}}$ $\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{\sqrt{x^{2}+9}-3}{x^{2}}$

Gợi ý đáp án

a) $\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{(x+2)^{2}-4}{x}=\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{x^{2}+4x}{x}=\underset{x\rightarrow 0}{lim}(x+4)=4$ $\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{(x+2)^{2}-4}{x}=\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{x^{2}+4x}{x}=\underset{x\rightarrow 0}{lim}(x+4)=4$

b) $\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{\sqrt{x^{2}+9}-3}{x^{2}}=\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+9}+3}=\frac{1}{6}$ $\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{\sqrt{x^{2}+9}-3}{x^{2}}=\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+9}+3}=\frac{1}{6}$

Bài 5.9 trang 118

Cho hàm số $H(t) = \left\{\begin{matrix} 0 nếu t < 0 \\ 1 nếu t \geq 0 \end{matrix}\right.$ $H(t) = \left\{\begin{matrix} 0 nếu t < 0 \\ 1 nếu t \geq 0 \end{matrix}\right.$. (hàm Heaviside, thường được dùng để mô tả việc chuyển trạng thái tắt/ mở của dòng điện tại thời điểm t = 0)

Tính $\underset{t\rightarrow 0^{+}}{lim}H(t)$ $\underset{t\rightarrow 0^{+}}{lim}H(t)$ và $\underset{t\rightarrow 0^{-}}{lim}H(t)$ $\underset{t\rightarrow 0^{-}}{lim}H(t)$

Gợi ý đáp án

$\underset{t\rightarrow 0^{+}}{lim}H(t)=1$ $\underset{t\rightarrow 0^{+}}{lim}H(t)=1$

$\underset{t\rightarrow 0^{+}}{lim}H(t)=0$ $\underset{t\rightarrow 0^{+}}{lim}H(t)=0$

Bài 5.10 trang 118

Tính các giới hạn một bên:

a) $\underset{t\rightarrow 1^{+}}{lim}\frac{x-2}{x-1}$ $\underset{t\rightarrow 1^{+}}{lim}\frac{x-2}{x-1}$

b) $\underset{t\rightarrow 4^{-}}{lim}\frac{x^{2}-x+1}{4-x}$ $\underset{t\rightarrow 4^{-}}{lim}\frac{x^{2}-x+1}{4-x}$

Gợi ý đáp án

a) $\underset{t\rightarrow 1^{+}}{lim}(x-2)=-1<0$ $\underset{t\rightarrow 1^{+}}{lim}(x-2)=-1<0$

$\underset{t\rightarrow 1^{+}}{lim}(x-1)>0$ $\underset{t\rightarrow 1^{+}}{lim}(x-1)>0$

$\Rightarrow \underset{t\rightarrow 1^{+}}{lim}\frac{x-2}{x-1}=-\infty$ $\Rightarrow \underset{t\rightarrow 1^{+}}{lim}\frac{x-2}{x-1}=-\infty$

b) $\underset{t\rightarrow 4^{-}}{lim}(x^{2}-x+1)=13>0$ $\underset{t\rightarrow 4^{-}}{lim}(x^{2}-x+1)=13>0$

$\underset{t\rightarrow 4^{-}}{lim}(4-x)>0$ $\underset{t\rightarrow 4^{-}}{lim}(4-x)>0$

$\Rightarrow \underset{t\rightarrow 4^{-}}{lim}\frac{x^{2}-x+1}{4-x}=+\infty$ $\Rightarrow \underset{t\rightarrow 4^{-}}{lim}\frac{x^{2}-x+1}{4-x}=+\infty$

Bài 5.11 trang 118

Cho hàm số $g(x)=\frac{x^{2}-5x+6}{|x-2|}$ $g(x)=\frac{x^{2}-5x+6}{|x-2|}$

Tìm $\underset{t\rightarrow 2^{+}}{lim}g(x)$ $\underset{t\rightarrow 2^{+}}{lim}g(x)$ và $\underset{t\rightarrow 2^{-}}{lim}g(x)$ $\underset{t\rightarrow 2^{-}}{lim}g(x)$

Gợi ý đáp án

Khi $x\rightarrow 2^{-}\Rightarrow |x-2|=2-x$ $x\rightarrow 2^{-}\Rightarrow |x-2|=2-x$

Ta có: $\underset{x\rightarrow 2^{-}}{lim}\frac{x^{2}-5x+6}{|x-2|}=\underset{x\rightarrow 2^{-}}{lim}\frac{x^{2}-5x+6}{2-x}=\underset{x\rightarrow 2^{-}}{lim}\frac{(x-2)(x-3)}{-(x-2)}=\underset{x\rightarrow 2^{-}}{lim}[-(x-3)]=3-2=1$ $\underset{x\rightarrow 2^{-}}{lim}\frac{x^{2}-5x+6}{|x-2|}=\underset{x\rightarrow 2^{-}}{lim}\frac{x^{2}-5x+6}{2-x}=\underset{x\rightarrow 2^{-}}{lim}\frac{(x-2)(x-3)}{-(x-2)}=\underset{x\rightarrow 2^{-}}{lim}[-(x-3)]=3-2=1$

Khi $x\rightarrow 2^{+}\Rightarrow |x-2|=x-2$ $x\rightarrow 2^{+}\Rightarrow |x-2|=x-2$

Ta có:

$\underset{x\rightarrow 2^{+}}{lim}\frac{x^{2}-5x+6}{|x-2|}=\underset{x\rightarrow 2^{+}}{lim}\frac{x^{2}-5x+6}{x-2}=\underset{x\rightarrow 2^{+}}{lim}\frac{(x-2)(x-3)}{x-2}=\underset{x\rightarrow 2^{-}}{lim}[x-3]=2-3=-1$ $\underset{x\rightarrow 2^{+}}{lim}\frac{x^{2}-5x+6}{|x-2|}=\underset{x\rightarrow 2^{+}}{lim}\frac{x^{2}-5x+6}{x-2}=\underset{x\rightarrow 2^{+}}{lim}\frac{(x-2)(x-3)}{x-2}=\underset{x\rightarrow 2^{-}}{lim}[x-3]=2-3=-1$

Bài 5.12 trang 118

Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\frac{1-2x}{\sqrt{x^{2}+1}}$ $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\frac{1-2x}{\sqrt{x^{2}+1}}$

b) $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}(\sqrt{x^{2}+x+2}-x)$ $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}(\sqrt{x^{2}+x+2}-x)$

Gợi ý đáp án

a) $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\frac{1-2x}{\sqrt{x^{2}+1}}=\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\frac{\frac{1}{x}-2}{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}=-2$ $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\frac{1-2x}{\sqrt{x^{2}+1}}=\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\frac{\frac{1}{x}-2}{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}=-2$

$\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}(\sqrt{x^{2}+x+2}-x)=\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+x+2}+x}=\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\frac{1+\frac{2}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}}}+1}=\frac{1}{2}$ $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}(\sqrt{x^{2}+x+2}-x)=\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+x+2}+x}=\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\frac{1+\frac{2}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}}}+1}=\frac{1}{2}$

Bài 5.13 trang 118

Cho hàm số $f(x)=\frac{2}{(x-1)(x-2)}$ $f(x)=\frac{2}{(x-1)(x-2)}$

Tìm $\underset{x\rightarrow 2^{+} }{lim}f(x) và \underset{x\rightarrow 2^{-} }{lim}f(x)$ $\underset{x\rightarrow 2^{+} }{lim}f(x) và \underset{x\rightarrow 2^{-} }{lim}f(x)$

Gợi ý đáp án

Khi $x\rightarrow 2^{+}\Rightarrow (x-1)(x-2)>0$ $x\rightarrow 2^{+}\Rightarrow (x-1)(x-2)>0$

$\Rightarrow \underset{x\rightarrow 2^{+}}{lim}\frac{2}{(x-1)(x-2)}=+\infty$ $\Rightarrow \underset{x\rightarrow 2^{+}}{lim}\frac{2}{(x-1)(x-2)}=+\infty$

Khi $x\rightarrow 2^{-}\Rightarrow (x-1)(x-2)<0$ $x\rightarrow 2^{-}\Rightarrow (x-1)(x-2)<0$

$\Rightarrow \underset{x\rightarrow 2^{-}}{lim}\frac{2}{(x-1)(x-2)}=-\infty$ $\Rightarrow \underset{x\rightarrow 2^{-}}{lim}\frac{2}{(x-1)(x-2)}=-\infty$