Toán 11 Bài 30: Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập Giải Toán 11 Kết nối tri thức trang 76, 77, 78 - Tập 2

Giải Toán 11 Bài 30: Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập là tài liệu vô cùng hữu ích giúp các em học sinh lớp 11 có thêm nhiều gợi ý tham khảo để giải các bài tập trong SGK Toán 11 Kết nối tri thức với cuộc sống tập 2 trang 76, 77, 78.

Toán 11 Kết nối tri thức trang 78 tập 2 được biên soạn đầy đủ, chi tiết trả lời các câu hỏi từ bài 8.11 đến 8.15 giúp các bạn có thêm nhiều nguồn ôn tập đối chiếu với kết quả mình đã làm. Vậy sau đây là nội dung chi tiết giải Toán 11 trang 78 Kết nối tri thức với cuộc sống tập 2 mời các bạn cùng theo dõi tại đây.

Giải Toán 11 trang 78 Kết nối tri thức - Tập 2

Bài 8.11

Cho hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc với P(A) > 0, P(B) > 0. Chứng tỏ rằng hai biến cố A và B không độc lập.

Gợi ý đáp án

Giả sử rằng hai biến cố A và B là độc lập. Điều này có nghĩa là xác suất của A xảy ra không bị ảnh hưởng bởi việc B xảy ra và ngược lại. Khi đó, xác suất của biến cố A và B xảy ra cùng lúc là tích của xác suất của A và xác suất của B, tức là:

P(A ∩ B) = P(A).P(B)

Tuy nhiên, nếu A và B là hai biến cố xung khắc, tức là không thể xảy ra cùng một lúc, thì xác suất của biến cố A và B xảy ra cùng lúc phải bằng 0, tức là:

P(A∩) = 0

Ta có

P(A).P(B) = 0

Do đó, ít nhất một trong hai xác suất P(A) hoặc P(B) phải bằng 0. Tuy nhiên, giả thiết ban đầu đã chỉ ra rằng cả hai xác suất này đều lớn hơn 0, vì vậy giả định ban đầu là sai. Do đó, hai biến cố A và B không độc lập.

Bài 8.12

Một thùng đựng 60 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 60. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong thùng. Xét hai biến cố sau:

A: “Số ghi trên tấm thẻ là ước của 60" và B: “Số ghi trên tấm thẻ là ước của 48".

Chứng tỏ rằng A và B là hai biến cố không độc lập.

Gợi ý đáp án

Tổng số các số ước của 60 là 12.

Tổng số các số ước của 48 là 8.

Tổng số ước của cả 60 và 48 là 5

Xác suất để một số được rút ra từ thùng là ước của 60 là \(\frac{5}{60}\) = \(\frac{1}{12}\)

Xác suất để một số được rút ra từ thùng là ước của 48 là \(\frac{5}{48}\).

Xác suất để số được rút ra là một số ước của 60 và 48 và là ước của 12 là \(\frac{1}{12}\).

Xác suất để số được rút ra từ thùng là ước của 48, biết rằng số đó cũng là ước của 12 là \(\frac{2}{12}\) = \(\frac{1}{6}\).

Vì vậy, xác suất của biến cố B phụ thuộc vào việc số đó có phải là một số ước của 60 hay không.

Do đó, hai biến cố A và B không độc lập.

Bài 8.13

Có hai túi đựng các viên bị có cùng kích thước và khối lượng. Túi I có 3 viên bi màu xanh và 7 viên bị màu đỏ. Túi II có 10 viên bi màu xanh và 6 viên bi màu đỏ. Từ mỗi túi, lấy ngẫu nhiên ra một viên bị. Tính xác suất để xanh

a) Hai viên bi được lấy có cùng màu xanh;

b) Hai viên bi được lấy có cùng màu đỏ;

c) Hai viên bi được lấy có cùng màu;

d) Hai viên bi được lấy không cùng màu.

Gợi ý đáp án

a) Xác suất để lấy được hai viên bi màu xanh từ hai túi là tích của hai xác suất đó:

P(Hai viên bi được lấy có cùng màu xanh) = P(bi xanh từ túi I) . P(bi xanh túi II)

= \(\frac{3}{10}\).\(\frac{5}{8}\) = \(\frac{3}{16}\)

b) Xác suất Hai viên bi được lấy có cùng màu đỏ:

P(Hai viên bi được lấy có cùng màu đỏ) = P(bi đỏ từ túi I) . P(bi đỏ túi II) = \(\frac{7}{10}\).\(\frac{3}{8}\) = \(\frac{21}{80}\)

c) Xác suất Hai viên bi được lấy có cùng màu

P(Hai viên bi được lấy có cùng màu) = P(bi đỏ từ túi I) + P(bi đỏ túi II) = \(\frac{3}{16}\) + \(\frac{21}{80}\) = \(\frac{33}{80}\)

d) Xác suất Hai viên bi được lấy không cùng màu.

P(Hai viên bi được lấy không cùng màu) = P(bi xanh từ túi I) + P(bi đỏ túi II) . P(bi đỏ từ túi I) + P(bi đỏ túi II)

= \(\frac{3}{10}\) . \(\frac{3}{8}\) + \(\frac{7}{10}\) . \(\frac{5}{8}\) = \(\frac{3}{5}\)

Bài 8.14

Gợi ý đáp án 

Gọi A là biến cố: “Hai quả cầu lấy ra không có quả cầu nào ghi số 1”,

A₁ là biến cố: “Quả cầu lấy ra từ túi I không ghi số 1”,

A₂ là biến cố: “Quả cầu lấy ra từ túi II không ghi số 1”.

Ta có A = A₁A₂. Hai biến cố A₁ và A₂ độc lập nên P(A) = P(A₁) . P(A₂).

Lại có P(A₁) = P(A₂) =\(\frac{9}{10}\)

= 0,9. Do đó P(A) = (0,9)².

Gọi B là biến cố: “Hai quả cầu lấy ra không có quả cầu nào ghi số 5”,

B₁ là biến cố: “Quả cầu lấy ra từ túi I không ghi số 5”,

B₂ là biến cố: “Quả cầu lấy ra từ túi II không ghi số 5”.

Ta có B = B₁B₂. Hai biến cố B₁ và B₂ độc lập nên P(B) = P(B₁) . P(B₂).

Lại có P(B₁) = P(B₂) =\(\frac{9}{10}\)

= 0,9. Do đó P(B) = (0,9)².

Gọi E là biến cố: “Trong hai quả cầu lấy ra không có quả cầu nào ghi số 1 hoặc ghi số 5”.

Ta có E = A ∪ B.

Theo công thức cộng xác suất ta có P(E) = P(A) + P(B) – P(AB).

Ta có AB là biến cố: “Hai quả cầu lấy ra không có quả nào ghi số 1 và ghi số 5”.

Gọi H₁ là biến cố: “Quả cầu lấy ra từ túi I không ghi số 1 và số 5”,

H₂ là biến cố: “Quả cầu lấy ra từ túi II không ghi số 1 và số 5”.

Ta có AB = H₁H₂. Hai biến cố H₁ và H₂ độc lập nên P(AB) = P(H₁) . P(H₂).

Lại có P(H₁) = P(H₂) = 8/10

Từ đó P(AB) = (0,8)².

Do đó, P(E) = P(A) + P(B) – P(AB) = (0,9)² + (0,9)² – (0,8)² = 0,98.

Vậy xác suất để trong hai quả cầu được lấy ra không có quả cầu nào ghi số 1 hoặc ghi số 5 là 0,98.

Bài 8.15

Trong đợt kiểm tra cuối học kì II lớp 11 của các trường trung học phổ thông, thống kê cho thấy có 93% học sinh tỉnh X đạt yêu cầu; 87% học sinh tỉnh Y đạt yêu cầu. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của tỉnh X và một học sinh của tỉnh Y. Giả thiết rằng chất lượng học tập của hai tỉnh là độc lập. Tính xác suất để:

a) Cả hai học sinh được chọn đều đạt yêu cầu;

b) Cả hai học sinh được chọn đều không đạt yêu cầu;

c) Chỉ có đúng một học sinh được chọn đạt yêu cầu;

d) Có ít nhất một trong