Toán 11 Bài tập cuối chương V Giải Toán 11 Kết nối tri thức trang 123

Bài trước

Mục lục

Bài sau

Giải Toán 11 Bài tập cuối chương V là tài liệu vô cùng hữu ích giúp các em học sinh lớp 11 có thêm nhiều gợi ý tham khảo để giải các bài tập trong với cuộc sống tập 1 trang 123.

Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 trang 123 được biên soạn đầy đủ, chi tiết trả lời các câu hỏi từ bài 3.18 đến 3.30 chương Giới hạn - Hàm số liên tục giúp các bạn có thêm nhiều nguồn ôn tập đối chiếu với kết quả mình đã làm. Vậy sau đây là nội dung chi tiết giải Toán 11 tập 1 Bài tập cuối chương V Kết nối tri thức trang 123, mời các bạn cùng theo dõi tại đây.

Mục lục bài viết

1. Giải Toán lớp 11 Kết nối tri thức tập 1 trang 123

Bài 5.18 trang 123

Cho dãy số $(u_{n})$ $(u_{n})$ với $u_{n}=\sqrt{n^{2}+1}-\sqrt{n}$ $u_{n}=\sqrt{n^{2}+1}-\sqrt{n}$. Mệnh đề đúng là:

A. $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}=-\infty$ $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}=-\infty$

B. $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}=1$ $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}=1$

C. $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}=+\infty$ $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}=+\infty$

D. $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}=0$ $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}=0$

Lời giải

Đáp án: C

Bài 5.19 trang 123

Cho $u_{n}=\frac{2+2^{2}+...+2^{n}}{2^{n}}$ $u_{n}=\frac{2+2^{2}+...+2^{n}}{2^{n}}$. Giới hạn của dãy số $(u_{n})$ $(u_{n})$ bằng

A. 1

B. 2

C. -1

D. 0

Lời giải

Đáp án: D

Bài 5.20 trang 123

Cho cấp số nhân lùi vô hạn (u_n) với u_n = $\frac{2}{3^{n} }$ $\frac{2}{3^{n} }$ . Tổng của cấp số nhân này bằng

A. 3

B. 2

C. 1

D. 6

Lời giải

Đáp án: C

Bài 5.21 trang 123

Cho hàm số $f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}$ $f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}$. Mệnh đề đúng là:

A. $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}f(x)=-\infty$ $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}f(x)=-\infty$

B. $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}f(x)=0$ $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}f(x)=0$

C. $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}f(x)=-1$ $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}f(x)=-1$

D. $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}f(x)=-\frac{1}{2}$ $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}f(x)=-\frac{1}{2}$

Lời giải

Đáp án: B

Bài 5.22 trang 123

Cho hàm số $f(x)=\frac{x-x^{2}}{|x|}$ $f(x)=\frac{x-x^{2}}{|x|}$. Khi đó $\underset{x\rightarrow 0^{+} }{lim}f(x)$ $\underset{x\rightarrow 0^{+} }{lim}f(x)$ bằng

A. 0

B. 1

C. $+\infty$ $+\infty$

D. -1

Lời giải

Đáp án: B

Bài 5.23 trang 123

Cho hàm số f(x) = $\frac{x+1}{|x+1|}$ $\frac{x+1}{|x+1|}$. Hàm số f(x) liên tục trên

A. (−∞; +∞)

B. (−∞; 1]

C. (−∞;−1) ∪ (−1;+∞)

D. [−1;+∞)

Lời giải

Đáp án: C

Bài 5.24 trang 123

Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{x^{2}+x-2}{x-1} nếu x\neq 1\\ a nếu x = 1 \end{matrix}\right.$ $f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{x^{2}+x-2}{x-1} nếu x\neq 1\\ a nếu x = 1 \end{matrix}\right.$. Hàm số f(x) liên tục tại x = 1 khi

A. a = 0

B. a = 3

C. a = -1

D. a = 1

Lời giải

$\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{x^{2}+x-2}{x-1}=\underset{x\rightarrow 1}{lim}(x+2)=3$ $\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{x^{2}+x-2}{x-1}=\underset{x\rightarrow 1}{lim}(x+2)=3$

Để f(x) liên tục tại x = 1 thì $\underset{x\rightarrow 1}{lim}=f(1)$ $\underset{x\rightarrow 1}{lim}=f(1)$ suy ra a = 3

Đáp án: B

Bài 5.25 trang 124

Cho dãy số (u_n) có tính chất | u_n − 1 | < $\frac{2}{n}$ $\frac{2}{n}$ . Có kết luận gì về giới hạn của dãy số này?

Lời giải

|u_n− 1 < $\frac{2}{n}$ $\frac{2}{n}$ ⇔ $\frac{-2}{n}$ $\frac{-2}{n}$ < u_n − 1 < $\frac{2}{n}$ $\frac{2}{n}$ ⇔ $\frac{-2}{n}$ $\frac{-2}{n}$ + 1 < u_n < $\frac{2}{n}$ $\frac{2}{n}$ + 1

lim( $\frac{-2}{n}$ $\frac{-2}{n}$ + 1) = 1; lim( $\frac{2}{n}$ $\frac{2}{n}$ + 1) = 1

⇒ limu_n = 1

Bài 5.26 trang 124

Tìm giới hạn của các dãy số sau:

a) $u_{n}=\frac{n^{2}}{3n^{2}+7n-2}$ $u_{n}=\frac{n^{2}}{3n^{2}+7n-2}$

b) $v_{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{3^{k}+5^{k}}{6^{k}}$ $v_{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{3^{k}+5^{k}}{6^{k}}$

c) $w_{n}=\frac{sin n}{4n}$ $w_{n}=\frac{sin n}{4n}$

Lời giải

a) $lim u_{n}=lim\frac{n^{2}}{3n^{2}+7n-2}=lim\frac{1}{3+\frac{7}{n}-\frac{2}{n^{2}}}=\frac{1}{3}$ $lim u_{n}=lim\frac{n^{2}}{3n^{2}+7n-2}=lim\frac{1}{3+\frac{7}{n}-\frac{2}{n^{2}}}=\frac{1}{3}$

b) $lim\sum_{k=0}^{n}\frac{3^{k}+5^{k}}{6^{k}}=lim\sum_{k=0}^{n}\frac{(\frac{1}{2})^{k}+(\frac{5}{6})^{k}}{1^{k}}=0$ $lim\sum_{k=0}^{n}\frac{3^{k}+5^{k}}{6^{k}}=lim\sum_{k=0}^{n}\frac{(\frac{1}{2})^{k}+(\frac{5}{6})^{k}}{1^{k}}=0$

c) $lim\frac{sinn}{4}=lim[(\frac{sinn}{n})\times \frac{1}{4}]=\frac{1}{4}$ $lim\frac{sinn}{4}=lim[(\frac{sinn}{n})\times \frac{1}{4}]=\frac{1}{4}$

Bài 5.27 trang 124

Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số

a) 1.(01)

b) 5.(132)

Lời giải

a) Ta có: 1.(01) = 1 + 0.01 + 0.0001 + 0.000001 +...

= 1 + 1 × 10⁻² + 1 × 10⁴ + 1 × 10⁶ +...

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u₁ = 1, q = 10⁻² nên 1.(01) = $\frac{u_{1} }{1 - q}$ $\frac{u_{1} }{1 - q}$ = $\frac{1}{1 - 10^{-2} }$ $\frac{1}{1 - 10^{-2} }$ = $\frac{100}{99}$ $\frac{100}{99}$

b) Ta có: 5.(132) = 5 + 0.132 + 0.000132 + 0.000000132 +...

$=5+132\times 10^{-3}+132\times 10^{-6}+132\times 10^{-9}+...$ $=5+132\times 10^{-3}+132\times 10^{-6}+132\times 10^{-9}+...$

$132\times 10^{-3}+132\times 10^{-6}+132\times 10^{-9}+...$ $132\times 10^{-3}+132\times 10^{-6}+132\times 10^{-9}+...$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với $u_{1}=132\times 10^{-3}, q=10^{-3}$ $u_{1}=132\times 10^{-3}, q=10^{-3}$ nên $5.(132)=5+\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{132\times 10^{-3}}{1-10^{-3}}=\frac{1709}{333}$ $5.(132)=5+\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{132\times 10^{-3}}{1-10^{-3}}=\frac{1709}{333}$

Bài 5.28 trang 124

Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\rightarrow 7}{lim}\frac{\sqrt{x+2}-3}{x-7}$ $\underset{x\rightarrow 7}{lim}\frac{\sqrt{x+2}-3}{x-7}$

b) $\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{x^{3}-1}{x^{2}-1}$ $\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{x^{3}-1}{x^{2}-1}$

c) $\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{2-x}{(1-x)^{2}}$ $\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{2-x}{(1-x)^{2}}$

d) $\underset{x\rightarrow -\infty }{lim}\frac{x+2}{\sqrt{4x^{2}+1}}$ $\underset{x\rightarrow -\infty }{lim}\frac{x+2}{\sqrt{4x^{2}+1}}$

Lời giải

a) $\underset{x\rightarrow 7}{lim}\frac{\sqrt{x+2}-3}{x-7}=\underset{x\rightarrow 7}{lim}\frac{1}{\sqrt{x+2}+3}=\frac{1}{6}$ $\underset{x\rightarrow 7}{lim}\frac{\sqrt{x+2}-3}{x-7}=\underset{x\rightarrow 7}{lim}\frac{1}{\sqrt{x+2}+3}=\frac{1}{6}$

b) $\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{x^{3}-1}{x^{2}-1}=\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{x^{2}+x+1}{x+1}=\frac{3}{2}$ $\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{x^{3}-1}{x^{2}-1}=\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{x^{2}+x+1}{x+1}=\frac{3}{2}$

c) $\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{2-x}{(1-x)^{2}}=\underset{x\rightarrow 1}{lim}[(2-x)(\frac{1}{(1-x)^{2}})]$ $\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{2-x}{(1-x)^{2}}=\underset{x\rightarrow 1}{lim}[(2-x)(\frac{1}{(1-x)^{2}})]$

$\underset{x\rightarrow 1}{lim}(2-x)=1$ $\underset{x\rightarrow 1}{lim}(2-x)=1$

$\underset{x\rightarrow 1}{lim}(\frac{1}{(1-x)^{2}})=+\infty$ $\underset{x\rightarrow 1}{lim}(\frac{1}{(1-x)^{2}})=+\infty$

$\Rightarrow \underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{2-x}{(1-x)^{2})}=+\infty$ $\Rightarrow \underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{2-x}{(1-x)^{2})}=+\infty$

d) $\underset{x\rightarrow -\infty }{lim}\frac{x+2}{\sqrt{4x^{2}+1}}=\underset{x\rightarrow -\infty }{lim}\frac{1+\frac{2}{x}}{-\sqrt{4+\frac{1}{x^{2}}}}=-\frac{1}{2}$ $\underset{x\rightarrow -\infty }{lim}\frac{x+2}{\sqrt{4x^{2}+1}}=\underset{x\rightarrow -\infty }{lim}\frac{1+\frac{2}{x}}{-\sqrt{4+\frac{1}{x^{2}}}}=-\frac{1}{2}$

Bài 5.29 trang 124

Tính các giới hạn một bên

a) $\underset{x\rightarrow 3^{+}}{lim}\frac{x^{2}-9}{|x-3|}$ $\underset{x\rightarrow 3^{+}}{lim}\frac{x^{2}-9}{|x-3|}$

b) $\underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}\frac{x}{\sqrt{1-x}}$ $\underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}\frac{x}{\sqrt{1-x}}$

Lời giải

a) $x\rightarrow 3^{+}\Rightarrow x-3>0$ $x\rightarrow 3^{+}\Rightarrow x-3>0$

$\underset{x\rightarrow 3^{+}}{lim}\frac{x^{2}-9}{|x-3|}=\underset{x\rightarrow 3^{+}}{lim}\frac{x^{2}-9}{x-3}=\underset{x\rightarrow 3^{+}}{lim}(x+3)=6$ $\underset{x\rightarrow 3^{+}}{lim}\frac{x^{2}-9}{|x-3|}=\underset{x\rightarrow 3^{+}}{lim}\frac{x^{2}-9}{x-3}=\underset{x\rightarrow 3^{+}}{lim}(x+3)=6$

b) $\underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}x=1$ $\underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}x=1$

$\underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}\frac{1}{\sqrt{1-x}}=+\infty$ $\underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}\frac{1}{\sqrt{1-x}}=+\infty$

$\Rightarrow \underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}\frac{x}{\sqrt{1-x}}=+\infty$ $\Rightarrow \underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}\frac{x}{\sqrt{1-x}}=+\infty$

Bài 5.30 trang 124

Chứng minh rằng giới hạn $\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{|x|}{x}$ $\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{|x|}{x}$ không tồn tại

Lời giải

$f(x)=\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{|x|}{x}$ $f(x)=\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{|x|}{x}$

Ta lấy hai dãy của biến hội tụ về 0 $x_{n}^{(1)}=\frac{1}{n};x_{n}^{(2)}=\frac{-1}{n}$ $x_{n}^{(1)}=\frac{1}{n};x_{n}^{(2)}=\frac{-1}{n}$

Khi đó: $limf(x_{n}^{(1)})=lim\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}=1$ $limf(x_{n}^{(1)})=lim\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}=1$

$limf(x_{n}^{(2)})=lim\frac{\frac{1}{n}}{-\frac{1}{n}}=-1$ $limf(x_{n}^{(2)})=lim\frac{\frac{1}{n}}{-\frac{1}{n}}=-1$

$\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}(x_{n}^{(1)})\neq \underset{x\rightarrow \infty }{lim}(x_{n}^{(2)})$ $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}(x_{n}^{(1)})\neq \underset{x\rightarrow \infty }{lim}(x_{n}^{(2)})$

Vậy không tồn tại $\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{|x|}{x}$ $\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{|x|}{x}$

Bài 5.31 trang 124

Giải thích tại sao các hàm số sau đây gián đoạn tại điểm đã cho

a) $f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x} nếu x\neq 0\\ 1 nếu x =0\end{matrix}\right. tại điểm x = 0$ $f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x} nếu x\neq 0\\ 1 nếu x =0\end{matrix}\right. tại điểm x = 0$

b) $g(x)=\left\{\begin{matrix}1+x nếu x <1\\ 2-x nếu x\geq 1\end{matrix}\right. tại điểm x = 1$ $g(x)=\left\{\begin{matrix}1+x nếu x <1\\ 2-x nếu x\geq 1\end{matrix}\right. tại điểm x = 1$

Lời giải

a) $\underset{x\rightarrow 0}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{1}{x}=+\infty$ $\underset{x\rightarrow 0}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{1}{x}=+\infty$

f(0) = 1

Vì $f(0)\neq \underset{x\rightarrow 0}{lim}f(x)$ $f(0)\neq \underset{x\rightarrow 0}{lim}f(x)$ suy ra hàm số gián đoạn tại x = 0

b) $\underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}g(x)=\underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}(1+x)=2$ $\underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}g(x)=\underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}(1+x)=2$

$\underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim}g(x)=\underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim}(2-x)=1$ $\underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim}g(x)=\underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim}(2-x)=1$

$\underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}(gx)\neq \underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim}$ $\underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}(gx)\neq \underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim}$ do đó không tồn tại $\underset{x\rightarrow 1}{lim}(gx)$ $\underset{x\rightarrow 1}{lim}(gx)$

Vậy hàm số gián đoạn tại x = 1