Toán 11 Bài 7: Cấp số nhân Giải Toán 11 Kết nối tri thức trang 52, 53, 54, 55

Bài trước

Mục lục

Bài sau

Giải Toán lớp 11 trang 55 tập 1 Kết nối tri thức giúp các bạn học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để trả lời các câu hỏi Luyện tập và các bài tập trong SGK bài 7 Cấp số nhân.

Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 trang 55 được biên soạn với các lời giải chi tiết, đầy đủ và chính xác bám sát chương trình sách giáo khoa môn Toán lớp 11. Giải Toán lớp 11 trang 55 là tài liệu cực kì hữu ích hỗ trợ các em học sinh trong quá trình giải bài tập. Đồng thời phụ huynh có thể sử dụng để hướng dẫn con em học tập và đổi mới phương pháp giải phù hợp hơn.

Giải Toán 11 Bài 6: Cấp số cộng

1. Trả lời câu hỏi Luyện tập Toán 11 Bài 7

Luyện tập 1

Cho dãy số (u _n ) với u _n = 2.5 ⁿ . Chứng minh rằng dãy số này là một cấp số nhân. Xác định số hạng đầu và công bội của nó.

Gợi ý đáp án

Với mọi n ≥ 2, ta có: $\frac{u_n}{u_{n-1}} =\frac{2.5^n}{2.5^{n-1}}=5$ $\frac{u_n}{u_{n-1}} =\frac{2.5^n}{2.5^{n-1}}=5$

Tức là: u_n = 5 . u_{n - 1} với mọi n ≥ 2.

Vậy (u_n) là một cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 2 . 5¹ = 10 và công bội q = 5.

Luyện tập 2

Trong một lọ nuôi cấy vi khuẩn, ban đầu có 5 000 con vi khuẩn và số lượng vi khuẩn tăng lên thêm 8% mỗi giờ. Hỏi sau 5 giờ thì số lượng vi khuẩn là bao nhiêu?

Gợi ý đáp án

Ban đầu u₁ = 5000

Sau 1 giờ, số lượng vi khuẩn là: u₂ = 5000 + 5000 . 0,08 = 5000 . 1,08

Sau 2 giờ, số lượng vi khuẩn là: u₃ = 5000 . 1,08 + 5000 . 1,08 . 0,08 = 5000 . 1,08²

...

Số lượng vi khuẩn mỗi giờ lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 5 000 và công bội q = 1,08

Sau 5 giờ, số lượng vi khuẩn là: u₆ = 5000 . 1,08⁵ = 7346,64 (con).

2. Toán lớp 11 Kết nối tri thức tập 1 trang 55

Bài 2.15 trang 55

Xác định công bội, số hạng thứ 5, số hạng tổng quát và số hạng thứ 100 của mỗi cấp số nhân sau:

a) 1, 4, 16, ...;

b) $2, -\frac{1}{2},\frac{1}{8},..$ $2, -\frac{1}{2},\frac{1}{8},..$

Gợi ý đáp án

a) Ta có: 4 : 1 = 4, 16 : 4 = 4

Do đó công bội q = 4

Số hạng tổng quát: $u_{n}=4^{n-1}$ $u_{n}=4^{n-1}$

Số hạng thứ 5: $u_{5}=4^{5-1}=256$ $u_{5}=4^{5-1}=256$

Số hạng thứ 100: $u_{100}=4^{100-1}=4.017\times 10^{59}$ $u_{100}=4^{100-1}=4.017\times 10^{59}$

b) Ta có: $(-\frac{1}{2}):2=-\frac{1}{4};\frac{1}{8}:(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{4}$ $(-\frac{1}{2}):2=-\frac{1}{4};\frac{1}{8}:(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{4}$

Do đó công bội $q = -\frac{1}{4}$ $q = -\frac{1}{4}$

Số hạng tổng quát: $u_{n}=2\times (-\frac{1}{4})^{n-1}$ $u_{n}=2\times (-\frac{1}{4})^{n-1}$

Số hạng thứ 5: $u_{5}=2\times (-\frac{1}{4})^{5-1}=\frac{1}{128}$ $u_{5}=2\times (-\frac{1}{4})^{5-1}=\frac{1}{128}$

Số hạng thứ 100: $u_{100}=2\times (-\frac{1}{4})^{100-1}=-4.978\times 10^{-60}$ $u_{100}=2\times (-\frac{1}{4})^{100-1}=-4.978\times 10^{-60}$

Bài 2.16 trang 55

Viết năm số hạng đầu của dãy số (un) sau và xem nó có phải là cấp số nhân không. Nếu nó là cấp số hân, hãy tìm công bội q và viết công thức số hạng tổng quát của nó dưới dạng u_n= u₁ × qⁿ⁻¹

a) u_n = 5n

b) u_n = 5ⁿ

c) u₁ = 1; u_n = nu_n−1

d) u₁= 1, u_n = 5u_n−1

Gợi ý đáp án

a) Năm số hạng đầu của dãy: 5; 10; 15; 20; 25

Ta có: 10 : 5 = 2 $\neq$ $\neq$ 15 : 10 = $\frac{3}{2}$ $\frac{3}{2}$ suy ra $( u_{n} )$ $( u_{n} )$ không phải cấp số nhân

b) Năm số hạng đầu của dãy: 5; 25; 125; 625; 3125

Ta có $u_{n}=5^{n}$ $u_{n}=5^{n}$ nên $u_{n+1}=5^{n+1}\Rightarrow \frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{5^{n+1}}{5^{n}}=5(\forall n\geq 2)$ $u_{n+1}=5^{n+1}\Rightarrow \frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{5^{n+1}}{5^{n}}=5(\forall n\geq 2)$

Do đó $( u_{n} )$ $( u_{n} )$ là cấp số nhân có công bội q = 5

Số hạng tổng quát: $u_{n}=5\times 5^{n-1}$ $u_{n}=5\times 5^{n-1}$

c) Năm số hạng đầu của dãy: 1; 2; 6; 24; 120

Ta có: 2 : 1 = 2 $\neq$ $\neq$ 6:2=3 nên $(u_{n})$ $(u_{n})$ không phải là cấp số nhân

d) Năm số hạng đầu của dãy: 1; 5; 25; 125; 625

Ta có: $u_{n}=5u_{n-1}$ $u_{n}=5u_{n-1}$ nên $\frac{u_{n}}{u_{n-1}}=5(\forall n\geq 2)$ $\frac{u_{n}}{u_{n-1}}=5(\forall n\geq 2)$

Do đó $(u_{n})$ $(u_{n})$ là cấp số nhân với cong sai q = 5

Số hnagj tổng quát: $u_{n}=5^{n-1}$ $u_{n}=5^{n-1}$

Bài 2.17 trang 55

Một cấp số nhân có số hạng thứ 6 bằng 96 và số hạng thứ 3 bằng 12. Tìm số hạng thứ 50 của cấp số nhân này

Gợi ý đáp án

Gọi số hạng tổng quát của cấp số nhân là: $u_{n}=u_{1}\times q^{n-1}$ $u_{n}=u_{1}\times q^{n-1}$

Ta có: $u_{6}=u_{1}\times q^{5}=96;u_{3}=u_{1}\times q^{2}=12$ $u_{6}=u_{1}\times q^{5}=96;u_{3}=u_{1}\times q^{2}=12$

Nên $\frac{u_{1}q^{5}}{u_{1}q^{2}}=\frac{96}{12}\Rightarrow q^{3}=8\Rightarrow q=2$ $\frac{u_{1}q^{5}}{u_{1}q^{2}}=\frac{96}{12}\Rightarrow q^{3}=8\Rightarrow q=2$

Do đó: $u_{1}=3$ $u_{1}=3$

Suy ra công thức số hạng tổng quát của dãy là: $u_{n}=3\times 2^{n-1}$ $u_{n}=3\times 2^{n-1}$

Vậy $u_{50}=3\times 2^{50-1}=1.689\times 10^{15}$ $u_{50}=3\times 2^{50-1}=1.689\times 10^{15}$

Bài 2.18 trang 55

Một cấp số nhân có số hạng đầu bằng 5 và công sai bằng 2. Hỏi phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số nhân này để có tổng bằng 5115?

Gợi ý đáp án

Ta có số hạng tổng quát của dãy là $u_{n}=5\times 2^{n-1}$ $u_{n}=5\times 2^{n-1}$

Gọi n là số các số hạng cần lấy tổng:

$5115=S_{n}=\frac{5(1-2^{n})}{1-2}=-5+5\times 2^{n}\Rightarrow 2^{n}=1024\Rightarrow n=10$ $5115=S_{n}=\frac{5(1-2^{n})}{1-2}=-5+5\times 2^{n}\Rightarrow 2^{n}=1024\Rightarrow n=10$

Vậy số các số hạng cần lấy tổng là 10

Bài 2.19 trang 55

Một công ty xây dựng mua một chiếc máy ủi với giá 3 tỉ đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá trị của chiếc máy ủi này lại giảm 20% so với giá trị của nó trong năm liền trước đó. Tìm giá trị còn lại của chiếc máy ủi đó sau 5 năm sử dụng

Gợi ý đáp án

Giá trị của chiếc máy ủi mỗi năm lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu bằng 3 và công bội q = 0.8.

Giá trị của chiếc máy ủi sau 5 năm sử dụng là: u₅ = 3 × 0.8^{5 − 1} = 0.1875 (tỷ đồng)

Bài 2.20 trang 55

Vào năm 2020, dân số của một quốc gia là khoảng 97 triệu người và tốc độ tăng trưởng dân số là 0.91%. Nếu tốc độ tăng trưởng dân số này được giữ nguyên hằng năm, hãy ước tính dân số của quốc gia đó vào năm 2030

Gợi ý đáp án

Dân số hằng năm lập thành cấp số nhân với số hạng đầu là 97 và công bội q = 1.0091

Dân số của quốc gia đó năm 2030 (tức n = 11) là u₁₁ = 97 × 1.0091¹¹⁻¹ = 106.197 (triệu người)

Bài 2.21 trang 55

Một loại thuốc được dùng mỗi ngày một lần. Lúc đầu nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân tăng nhanh, nhưng mỗi liều kế tiếp có tác dụng ít hơn liều trước đó. Lượng thuốc trong máu ở ngày thứ nhất là 50 mg, và mỗi ngày sau đó giảm chỉ còn một nửa so với ngày kề trước đó. Tính tổng lượng thuốc (tính bằng mg) trong máu của bệnh nhân sau khi dùng thuốc 10 ngày liên tiếp

Gợi ý đáp án

Lượng thuốc trong máu mỗi ngày cảu bệnh nhân lập thành cấp số nhân với số hạng đầu là 50 và công bội q = 0.5

Tổng lượng thuốc trong máu 10 ngày liên tiếp chính là tổng 10 số hạng đầu cảu cấp số nhân này và bằng: $S_{n}=\frac{50[1-(0.5)^{10}]}{1-0.5}=99.902$ $S_{n}=\frac{50[1-(0.5)^{10}]}{1-0.5}=99.902$ (mg)