Toán 11 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản Giải Toán 11 Kết nối tri thức trang 31, 32, 33, 34 ... 39

Bài trước

Mục lục

Bài sau

Giải Toán 11 bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản là tài liệu vô cùng hữu ích giúp các em học sinh lớp 11 có thêm nhiều gợi ý tham khảo để giải các bài tập trong SGK Toán 11 Kết nối tri thức với cuộc sống tập 1 trang 31→39.

Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 trang 39 được biên soạn đầy đủ, chi tiết trả lời các câu hỏi từ bài 1.19 đến 1.22 giúp các bạn có thêm nhiều nguồn ôn tập đối chiếu với kết quả mình đã làm. Vậy sau đây là nội dung chi tiết giải Toán 11 tập 1 bài 4 Phương trình lượng giác cơ bản Kết nối tri thức, mời các bạn cùng theo dõi tại đây.

Giải Toán 11 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

1. Toán lớp 11 Kết nối tri thức tập 1 trang 39

Bài 1.19 trang 39

Giải các phương trình sau:

a) $sinx=\frac{\sqrt{3}}{2}$ $sinx=\frac{\sqrt{3}}{2}$

b) $2cosx=-\sqrt{2}$ $2cosx=-\sqrt{2}$

c) $\sqrt{3}tan(\frac{x}{2}+15^{\circ})=1$ $\sqrt{3}tan(\frac{x}{2}+15^{\circ})=1$

d) $cot(2x-1)=cot\frac{\pi }{5}$ $cot(2x-1)=cot\frac{\pi }{5}$

Gợi ý đáp án

a) $sinx=\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow sinx=sin\frac{\pi }{3}$ $sinx=\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow sinx=sin\frac{\pi }{3}$

$\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{3}+k2\pi hoặc x=\pi -\frac{\pi }{3}+k2\pi (k\in Z)$ $\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{3}+k2\pi hoặc x=\pi -\frac{\pi }{3}+k2\pi (k\in Z)$

$\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{3}+k2\pi hoặc x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi (k\in Z)$ $\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{3}+k2\pi hoặc x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi (k\in Z)$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi (k\in Z)$ $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi (k\in Z)$ và $x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi (k\in Z)$ $x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi (k\in Z)$

b) $2cosx=-\sqrt{2}\Leftrightarrow cosx=-\frac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow cosx=cos\frac{3\pi }{4}$ $2cosx=-\sqrt{2}\Leftrightarrow cosx=-\frac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow cosx=cos\frac{3\pi }{4}$

$\Leftrightarrow x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi hoặc x=-\frac{3\pi }{4}+k2\pi (k\in Z)$ $\Leftrightarrow x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi hoặc x=-\frac{3\pi }{4}+k2\pi (k\in Z)$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi (k\in Z)$ $x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi (k\in Z)$ và $x=-\frac{3\pi }{4}+k2\pi (k\in Z)$ $x=-\frac{3\pi }{4}+k2\pi (k\in Z)$

c) $\sqrt{3}tan(\frac{x}{2}+15^{\circ})=1\Leftrightarrow tan(\frac{x}{2}+15^{\circ})=\frac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow tan(\frac{x}{2}+15^{\circ})=tan30^{\circ}$ $\sqrt{3}tan(\frac{x}{2}+15^{\circ})=1\Leftrightarrow tan(\frac{x}{2}+15^{\circ})=\frac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow tan(\frac{x}{2}+15^{\circ})=tan30^{\circ}$ $\Leftrightarrow \frac{x}{2}+15^{\circ}=30^{\circ}+k180^{\circ},k\in Z\Leftrightarrow x=30^{\circ}+k360^{\circ},k\in Z$ $\Leftrightarrow \frac{x}{2}+15^{\circ}=30^{\circ}+k180^{\circ},k\in Z\Leftrightarrow x=30^{\circ}+k360^{\circ},k\in Z$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=30^{\circ}+k360^{\circ},k\in Z$ $x=30^{\circ}+k360^{\circ},k\in Z$

d) $cot(2x-1)=cot\frac{\pi }{5}\Leftrightarrow 2x-1=\frac{\pi }{5}+k\pi ,k\in Z$ $cot(2x-1)=cot\frac{\pi }{5}\Leftrightarrow 2x-1=\frac{\pi }{5}+k\pi ,k\in Z$

$\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{10}+\frac{1}{2}+k\frac{\pi }{2},k\in Z$ $\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{10}+\frac{1}{2}+k\frac{\pi }{2},k\in Z$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=\frac{\pi }{10}+\frac{1}{2}+k\frac{\pi }{2},k\in Z$ $x=\frac{\pi }{10}+\frac{1}{2}+k\frac{\pi }{2},k\in Z$

Bài 1.20 trang 39

Giải các phương trình sau:

a) sin 2x + cos 4x = 0;

b) cos 3x = – cos 7x.

Gợi ý đáp án

a) sin 2x + cos 4x = 0 ⇔ cos 4x = – sin 2x ⇔ cos 4x = sin(– 2x)

$\Leftrightarrow cos4x=cos(\frac{\pi }{2}-(-2x))\Leftrightarrow cos4x=cos(\frac{\pi }{2}+2x)$ $\Leftrightarrow cos4x=cos(\frac{\pi }{2}-(-2x))\Leftrightarrow cos4x=cos(\frac{\pi }{2}+2x)$

$\Leftrightarrow 4x=\frac{\pi }{2}+2x+k2\pi hoặc 4x=-(\frac{\pi }{2}+2x)+k2\pi (k\in Z)$ $\Leftrightarrow 4x=\frac{\pi }{2}+2x+k2\pi hoặc 4x=-(\frac{\pi }{2}+2x)+k2\pi (k\in Z)$

$\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi$ $\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi$ hoặc $x=-\frac{\pi }{12}+k\frac{\pi }{3}(k\in Z)$ $x=-\frac{\pi }{12}+k\frac{\pi }{3}(k\in Z)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x=\frac{\pi }{4}+k\pi (k\in Z) và x=-\frac{\pi }{12}+k\frac{\pi }{3}(k\in Z)$ $x=\frac{\pi }{4}+k\pi (k\in Z) và x=-\frac{\pi }{12}+k\frac{\pi }{3}(k\in Z)$

b) cos 3x = – cos 7x ⇔ cos 3x = cos(π + 7x)

$\Leftrightarrow 3x=\pi +7x+k2\pi$ $\Leftrightarrow 3x=\pi +7x+k2\pi$ hoặc $3x=-(\pi +7x)+k2\pi (k\in Z)$ $3x=-(\pi +7x)+k2\pi (k\in Z)$

$\Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$ $\Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$ hoặc $x=-\frac{\pi }{10}+k\frac{\pi }{5}(k\in Z)$ $x=-\frac{\pi }{10}+k\frac{\pi }{5}(k\in Z)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x=-\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}(k\in Z)$ $x=-\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}(k\in Z)$ và $x=-\frac{\pi }{10}+k\frac{\pi }{5}(k\in Z)$ $x=-\frac{\pi }{10}+k\frac{\pi }{5}(k\in Z)$

Bài 1.21 trang 39

Một quả đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu v0 = 500 m/s hợp với phương ngang một góc α. Trong Vật lí, ta biết rằng, nếu bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn pháo được bắn ra từ mặt đất thì quỹ đạo của quả đạn tuân theo phương trình $y=\frac{-g}{2v_{0}^{2}cos^{2}\alpha }+xtan\alpha$ $y=\frac{-g}{2v_{0}^{2}cos^{2}\alpha }+xtan\alpha$, ở đó g = 9,8 m/s² là gia tốc trọng trường.

a) Tính theo góc bắn α tầm xa mà quả đạn đạt tới (tức là khoảng cách từ vị trí bắn đến điểm quả đạn chạm đất).

b) Tìm góc bắn α để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháo 22 000 m.

c) Tìm góc bắn α để quả đạn đạt độ cao lớn nhất.

Gợi ý đáp án

Vì v0 = 500 m/s, g = 9,8 m/s ^{2} nên ta có phương trình quỹ đạo của quả đạn là $y=\frac{-9.8}{2\times 500^{2}cos^{2}\alpha }x^{2}+xtan\alpha$ $y=\frac{-9.8}{2\times 500^{2}cos^{2}\alpha }x^{2}+xtan\alpha$ hay $y=\frac{-49}{2500000cos^{2}\alpha }x^{2}+xtan\alpha$ $y=\frac{-49}{2500000cos^{2}\alpha }x^{2}+xtan\alpha$

a) Quả đạn chạm đất khi y = 0, khi đó $y=\frac{-49}{2500000cos^{2}\alpha }x^{2}+xtan\alpha$ $y=\frac{-49}{2500000cos^{2}\alpha }x^{2}+xtan\alpha$

$\Leftrightarrow x(\frac{-49}{2500000cos^{2}\alpha }x+tan\alpha)=0$ $\Leftrightarrow x(\frac{-49}{2500000cos^{2}\alpha }x+tan\alpha)=0$

$\Leftrightarrow x=0 hoặc x=\frac{2500000cos^{2}\alpha \times tan\alpha }{49}$ $\Leftrightarrow x=0 hoặc x=\frac{2500000cos^{2}\alpha \times tan\alpha }{49}$

$\Leftrightarrow x=0 hoặc x=\frac{2500000cos\alpha sin\alpha }{49}$ $\Leftrightarrow x=0 hoặc x=\frac{2500000cos\alpha sin\alpha }{49}$

$\Leftrightarrow x=0 hoặc x=\frac{1250000sin2\alpha }{49}$ $\Leftrightarrow x=0 hoặc x=\frac{1250000sin2\alpha }{49}$

Loại x = 0 (đạn pháo chưa được bắn).

Vậy tầm xa mà quả đạn đạt tới là $x=\frac{1250000sin2\alpha }{49}$ $x=\frac{1250000sin2\alpha }{49}$ (m).

b) Để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháo 22 000 m thì x = 22 000 m.

Khi đó $\frac{1250000sin2\alpha }{49}=22000\Leftrightarrow sin2\alpha =\frac{539}{625}$ $\frac{1250000sin2\alpha }{49}=22000\Leftrightarrow sin2\alpha =\frac{539}{625}$

Gọi $\beta \in [-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$ $\beta \in [-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$ là góc thỏa mãn $\beta =\frac{539}{625}$ $\beta =\frac{539}{625}$. Khi đó ta có: sin 2α = sin β

$\Leftrightarrow 2\alpha =\beta +k2\pi$ $\Leftrightarrow 2\alpha =\beta +k2\pi$ hoặc $2\alpha =\pi -\beta +k2\pi (k\in Z)$ $2\alpha =\pi -\beta +k2\pi (k\in Z)$

$\Leftrightarrow \alpha =\frac{\beta }{2}+k\pi$ $\Leftrightarrow \alpha =\frac{\beta }{2}+k\pi$ hoặc $\alpha =\frac{\pi }{2}-\frac{\beta }{2}+k\pi (k\in Z)$ $\alpha =\frac{\pi }{2}-\frac{\beta }{2}+k\pi (k\in Z)$

c) Hàm số $y=\frac{-49}{2500000cos^{2}\alpha }x^{2}+xtan\alpha$ $y=\frac{-49}{2500000cos^{2}\alpha }x^{2}+xtan\alpha$ là một hàm số bậc hai có đồ thị là một parabol có tọa độ đỉnh I(xI; yI) là

$\left\{\begin{matrix} x_{I}=-\frac{b}{2a}=-\frac{tan\alpha }{2\times \frac{-49}{2500000cos^{2}\alpha }}=\frac{1250000cos\alpha sin\alpha }{49}\\ y_{I}=f(x_{I})=\frac{-49}{2500000cos^{2}\alpha }(\frac{1250000cossin\alpha }{49})^{2}+\frac{1250000cos\alpha sin\alpha }{49}tan\alpha \end{matrix}\right.$ $\left\{\begin{matrix} x_{I}=-\frac{b}{2a}=-\frac{tan\alpha }{2\times \frac{-49}{2500000cos^{2}\alpha }}=\frac{1250000cos\alpha sin\alpha }{49}\\ y_{I}=f(x_{I})=\frac{-49}{2500000cos^{2}\alpha }(\frac{1250000cossin\alpha }{49})^{2}+\frac{1250000cos\alpha sin\alpha }{49}tan\alpha \end{matrix}\right.$

Hay $\left\{\begin{matrix}x_{I}=\frac{1250000cos\alpha sin\alpha }{49}\\ y_{I}=\frac{625000sin^{2}\alpha }{49}\end{matrix}\right.$ $\left\{\begin{matrix}x_{I}=\frac{1250000cos\alpha sin\alpha }{49}\\ y_{I}=\frac{625000sin^{2}\alpha }{49}\end{matrix}\right.$

Do đó, độ cao lớn nhất của quả đạn là $y_{max}=\frac{625000sin^{2}\alpha }{49}$ $y_{max}=\frac{625000sin^{2}\alpha }{49}$

Ta có $y_{max}=\frac{625000sin^{2}\alpha }{49}\leq \frac{625000}{49}$ $y_{max}=\frac{625000sin^{2}\alpha }{49}\leq \frac{625000}{49}$, dấu “=” xảy ra khi sin²α = 1 hay α = 90°.

Như vậy góc bắn α = 90° thì quả đan đạt độ cao lớn nhất

Bài 1.22 trang 39

Giả sử một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình $x=2cos(5t-\frac{\pi }{6})$ $x=2cos(5t-\frac{\pi }{6})$. Ở đây, thời gian t tính bằng giây và quãng đường x tính bằng centimét. Hãy cho biết trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần?

Gợi ý đáp án

Vị trí cân bằng của vật dao động điều hòa là vị trí vật đứng yên, khi đó x = 0, ta có

$2cos(5t-\frac{\pi }{6})=0\Leftrightarrow cos(5t-\frac{\pi }{6})=0$ $2cos(5t-\frac{\pi }{6})=0\Leftrightarrow cos(5t-\frac{\pi }{6})=0$

$\Leftrightarrow 5t-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+k,k\in Z\Leftrightarrow t=\frac{2\pi }{15}+k\frac{\pi }{5},k\in Z$ $\Leftrightarrow 5t-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+k,k\in Z\Leftrightarrow t=\frac{2\pi }{15}+k\frac{\pi }{5},k\in Z$

Trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, tức là 0 ≤ t ≤ 6 hay $0\leq \frac{2\pi }{15}+k\frac{\pi }{5}\leq 6\Leftrightarrow -\frac{2}{3}\leq k\leq \frac{90-2\pi }{3\pi }$ $0\leq \frac{2\pi }{15}+k\frac{\pi }{5}\leq 6\Leftrightarrow -\frac{2}{3}\leq k\leq \frac{90-2\pi }{3\pi }$

Vì k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}.

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng 9 lần.