Toán 11 Bài tập cuối chương II Giải Toán 11 Kết nối tri thức trang 56, 57

Bài trước

Mục lục

Bài sau

Giải Toán lớp 11 trang 56, 57 tập 1 Kết nối tri thức giúp các bạn học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để trả lời các câu hỏi bài tập trong SGK Bài tập cuối chương II.

Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 trang 56, 57 được biên soạn với các lời giải chi tiết, đầy đủ và chính xác bám sát chương trình sách giáo khoa môn Toán lớp 11. Giải Toán lớp 11 trang 56, 57 là tài liệu cực kì hữu ích hỗ trợ các em học sinh trong quá trình giải bài tập. Đồng thời phụ huynh có thể sử dụng để hướng dẫn con em học tập và đổi mới phương pháp giải phù hợp hơn.

Giải Toán 11 Bài tập cuối chương II

1. Toán lớp 11 Kết nối tri thức tập 1 trang 56, 57

Bài 2.22 trang 56

Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Một dãy số tăng thì bị chặn dưới
B. Một dãy số giảm thì bị chặn trên
C. Một dãy số bị chặn thì phải tăng hoặc giảm
D. Một dãy số không đổi thì bị chặn

Gợi ý đáp án

Đáp án: D

Bài 2.23 trang 56

Cho dãy số $1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},$ $1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},$... (số hạng sau bằng một nửa số hạng liền trước nó)

Công thức tổng quát của dãy số đã cho là:

A. $u_{n}=(\frac{1}{2})^{n}$ $u_{n}=(\frac{1}{2})^{n}$
B. $u_{n}=\frac{(-1)^{n}}{2^{n-1}}$ $u_{n}=\frac{(-1)^{n}}{2^{n-1}}$
C. $u_{n}=\frac{1}{2n}$ $u_{n}=\frac{1}{2n}$
D. $u_{n}=(\frac{1}{2})^{n-1}$ $u_{n}=(\frac{1}{2})^{n-1}$

Gợi ý đáp án

Đáp án: D

Bài 2.24 trang 56

Cho dãy số (u_n) với u_n = 3n + 6. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Dãy số $u_{n}$ $u_{n}$ là cấp số cộng với công sai d = 3
B. Dãy số $u_{n}$ $u_{n}$ là cấp số cộng với công sai d = 6
C. Dãy số $u_{n}$ $u_{n}$ là cấp số nhân với công bội q = 3
D. Dãy số $u_{n}$ $u_{n}$ là cấp số nhân với công bội q = 6

Gợi ý đáp án

Ta có: u_n − u_n−1 = (3n + 6) − [3 (n − 1) + 6] = 3

Suy ra dãy số (u_n) là cấp số cộng với công sai d = 3

Đáp án: A

Bài 2.25 trang 56

Trong dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, dãy số nào là cấp số nhân?

A. u₁ = −1, u_n+1 = $u_{n}^{2}$ $u_{n}^{2}$
B. u₁ = −1, u_n+1 = 2u_nC. u₁ = −1, u_n+1 = u_n + 2
D. u₁ − 1, u_n+1 = u_n − 2

Gợi ý đáp án

Đáp án: B

Bài 2.26 trang 56

Tổng 100 số hạng đầu của dãy số (un) với u_n = 2n − 1 là

A. 199
B. 2¹⁰⁰ − 1
C. 10000
D. 9999

Gợi ý đáp án

Ta có: u₁ = 2 × 1 − 1 = 1

u_n − u_n−1 = (2n − 1) − [2 (n − 1) − 1] = 2

Vậy (u_n) là cấp số công với u₁ = 1 và công sai d = 2

Suy ra S₁₀₀ = $\frac{100}{2}$ $\frac{100}{2}$ [2 × 1 + (100 − 1) 2] = 10000

Đáp án: C

Bài 2.27 trang 57

Từ 0 giờ đến 12 giờ trưa, chuông của một chiếc đồng hồ quả lắc sẽ đánh bao nhiêu tiếng, biết rằng nó chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng số giờ?

Gợi ý đáp án

Lúc 1 giờ đồng hồ đánh 1 tiếng chuông.

Lúc 2 giờ đồng hồ đánh 2 tiếng chuông

......

Lúc 12 giờ trưa đồng hồ đánh 12 tiếng chuông.

Do đó, từ 0 giờ đến 12 giờ trưa, đồng hồ đánh số tiếng chuông là:

1 + 2 + 3 + .... + 11 + 12

Đây là tổng 12 số hạng của cấp số cộng có số hạng đầu u₁ = 1, công sai d = 1

Vậy tổng số tiếng chuông đồng hồ trong khoảng thời gian từ 0 đến 12 giờ trưa là:

S₁₂ = $\frac{12 \times (1+12)}{2} = 78$ $\frac{12 \times (1+12)}{2} = 78$

Bài 2.28 trang 57

Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại phân đôi một lần. Hỏi sau 24 giờ, tế bao ban đầu sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào?

Hướng dẫn:

Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát un của nó được xác định bởi công thức

un = u1 . qn - 1 với n ≥ 2.

Gợi ý đáp án

Số tế bào phân chia sau mỗi 20 phút tạo thành cấp số nhân với số hạng đầu là 2, công bội là 2

Sau 24 giờ (tức n = (24 x 60) : 20 = 72) tế bào ban đầu phân chia thành số tế bào là: u₇₂ = 2 × 2⁷¹= 4.722 × 10²¹

Bài 2.29 trang 57

Chứng minh rằng:

a) Trong một cấp số cộng $(u_{n})$ $(u_{n})$ , mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối, nếu có) đều là số trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là $u_{k}=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}$ $u_{k}=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}$ với $k\geq 2$ $k\geq 2$

b) Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối, nếu có) đều là tích của hai số hạng đứng kề nó, nghĩa là $u_{k}^{2}=u_{k-1}\times u_{k-1}$ $u_{k}^{2}=u_{k-1}\times u_{k-1}$ với $k\geq 2$ $k\geq 2$

Gợi ý đáp án

a) Ta có: $u_{n-1}=u_{1}+(n-2)d$ $u_{n-1}=u_{1}+(n-2)d$

$u_{n}=u_{1}+(n-1)d$ $u_{n}=u_{1}+(n-1)d$

$u_{n+1}=u_{1}+nd$ $u_{n+1}=u_{1}+nd$

Do đó: $u_{n-1}+u_{n+1}=u_{1}+(n-2)d+u_{1}+nd=2u_{1}+(2n-2)d=2[u_{1}+(n-1)d]=2u_{n}$ $u_{n-1}+u_{n+1}=u_{1}+(n-2)d+u_{1}+nd=2u_{1}+(2n-2)d=2[u_{1}+(n-1)d]=2u_{n}$

Suy ra $u_{n}=\frac{u_{n-1}+u_{n+1}}{2}$ $u_{n}=\frac{u_{n-1}+u_{n+1}}{2}$

b) Ta có: $u_{n-1}=u_{1}\times q^{n-2}$ $u_{n-1}=u_{1}\times q^{n-2}$

$u_{n}=u_{1}\times q^{n-1}$ $u_{n}=u_{1}\times q^{n-1}$

$u_{n+1}=u_{1}\times q^{n}$ $u_{n+1}=u_{1}\times q^{n}$

Do đó $u_{n-1}\times u_{n+1}=(u_{1}\times q^{n-2})\times (u_{1}\times q^{n})=u_{1}^{2}q^{2n-2}=(u_{1}q^{n-1})^{2}=u_{1}^{2}$ $u_{n-1}\times u_{n+1}=(u_{1}\times q^{n-2})\times (u_{1}\times q^{n})=u_{1}^{2}q^{2n-2}=(u_{1}q^{n-1})^{2}=u_{1}^{2}$

Bài 2.30 trang 57

Tìm ba số, biết theo thứ tự đó chúng lập thành cấp số cộng và có tổng bằng 21, và nếu lần lượt cộng thêm các số 2; 3; 9 vào ba số đó thì được ba số lập thành một cấp số nhân.

Gợi ý đáp án

Gọi ba số cần tìm lần lượt là x, y, z.

Theo tính chất của cấp số cộng ta có x + z = 2y

Kết hợp với giả thiết x + y + z = 21, ta suy ra 3y = 21 ⇔ y =

Gọi d là công sai của cấp số cộng thì x = y - d = 7 - d và z = y + d = 7 + d

Sau khi thêm các số 2; 3; 9 vào ba số x, y, z ta được ba số là x + 2, y + 3, z + 9 hay 9 - d, 10, 16 + d

Theo tính chất của cấp số nhân, ta có: (9 − d) (16 + d) = 10² ⇔ d² + 7d − 44 = 0

Giải phương trình ta được d = -11 hoặc d = 4

Suy ra ba số cần tìm là 18, 7, -4 hoặc 3, 7, 11

Bài 2.31 trang 57

Mặt sàn tầng một (tầng trệt) của một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0.5 m. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm 25 bậc, mỗi bậc cao 16 cm.

a) Viết công thức để tìm độ cao của bậc cầu thang thứ n so với mặt sân

b) Tính độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân

Hướng dẫn:

Nếu cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ và công sai d thì số hạng tổng quát u_n của nó được xác định theo công thức

u_n = u₁ + (n - 1)d.

Gợi ý đáp án

a. Mỗi bậc thang cao 16cm = 0,16m.

⇒ n bậc thang cao 0,16n (m)

Vì mặt bằng sàn cao hơn mặt sân 0,5m nên công thức tính độ cao của bậc n so với mặt sân sẽ là:

h_n = (0, 5 + 0,16n) (m)

b. Độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân ứng với n = 25 là:

$h_{25}$ $h_{25}$ = 0,5 + 0,16 x 25 = 4,5 (m)

Bài 2.32 trang 57

Một hình vuông màu vàng có cạnh 1 đơn vị dài được chia thành chín hình vuông nhỏ hơn và hình vuông ở chính giữa được tô màu xanh như Hình 2.1. Mỗi hình vuông màu vàng nhỏ hơn lại được chia thành chín hình vuông con và mỗi hình vuông con ở chính giữa lại được tô màu xanh. Nếu quá trình này tiếp tục lặp lại năm lần, thì tổng diện tích các hình vuông được tô màu xanh là bao nhiêu?

Gợi ý đáp án

Diện tích ô vuông màu xanh sau lần phân chia thứ nhất là: $\frac{1}{9}$ $\frac{1}{9}$, số ô vuông màu xanh được tạo thêm là 8⁰

Diện tích ô vuông màu xanh sau lần phân chia thứ hai là: $\frac{1}{9^{2} }$ $\frac{1}{9^{2} }$, số ô vuông màu xanh được tạo thêm là 8¹

...

Diện tích ô vuông màu xanh sau lần phân chia thứ năm là: $\frac{1}{9^{5} }$ $\frac{1}{9^{5} }$, số ô vuông màu xanh được tạo thêm là 8⁴

Tổng diện tích các ô vuông màu xanh là : $\frac{1}{9}$ $\frac{1}{9}$ + $\frac{1}{9^{2} }$ $\frac{1}{9^{2} }$ × 8¹ +...+ $\frac{1}{9^{5} }$ $\frac{1}{9^{5} }$ × 8⁴ = 0.445