Toán 11 Bài 3: Cấp số nhân Giải Toán 11 Chân trời sáng tạo trang 57, 58, 59, 60

Bài trước

Mục lục

Bài sau

Toán lớp 11 tập 1 trang 57, 58, 59, 60 Chân trời sáng tạo là tài liệu vô cùng hữu ích mà Eballsviet.com muốn giới thiệu đến quý thầy cô cùng các bạn học sinh lớp 11 tham khảo.

Giải Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 3 Cấp số nhân được biên soạn đầy đủ, chi tiết trả lời các câu hỏi phần bài tập cuối bài trang 60. Qua đó giúp các bạn học sinh có thể so sánh với kết quả mình đã làm. Vậy sau đây là nội dung chi tiết Toán 11 tập 1 Bài 3 Cấp số nhân Chân trời sáng tạo, mời các bạn cùng theo dõi tại đây.

Giải Toán 11 Bài 3: Cấp số nhân Chân trời sáng tạo

I. Toán lớp 11 tập 1 trang 60 Chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 60

Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?

a) $u_{n}=3(-2)^{n}$ $u_{n}=3(-2)^{n}$

b) $u_{n}=(-1)^{n+1}.7^{n}$ $u_{n}=(-1)^{n+1}.7^{n}$

c) $\left\{\begin{matrix}u_{n}=1\\u_{n+1}=2u_{n}+3\end{matrix}\right.$ $\left\{\begin{matrix}u_{n}=1\\u_{n+1}=2u_{n}+3\end{matrix}\right.$

Gợi ý đáp án

a) $u_{n}=3(-2)^{n}= (-6).(-2)^{n}$ $u_{n}=3(-2)^{n}= (-6).(-2)^{n}$

Vậy dãy trên là cấp số nhân có công bội là -2

b) $u_{n}=(-1)^{n+1}.7^{n} =7. (-7)^{n-1}$ $u_{n}=(-1)^{n+1}.7^{n} =7. (-7)^{n-1}$

Vậy dãy trên là cấp số nhân có công bội là -7

c) $\left\{\begin{matrix}u_{n}=1\\u_{n+1}=2u_{n}+3\end{matrix}\right.$ $\left\{\begin{matrix}u_{n}=1\\u_{n+1}=2u_{n}+3\end{matrix}\right.$

Dãy trên không phải cấp số nhân

Bài 2 trang 60

Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân $(u_{n})$ $(u_{n})$ biết:

a) $\left\{\begin{matrix}u_{5}-u_{1}=15\\u_{4}-u_{2}=6\end{matrix}\right.$ $\left\{\begin{matrix}u_{5}-u_{1}=15\\u_{4}-u_{2}=6\end{matrix}\right.$

b) $\left\{\begin{matrix}u_{1}-u_{3}+u_{5}=65\\u_{1}+u_{7}=325\end{matrix}\right.$ $\left\{\begin{matrix}u_{1}-u_{3}+u_{5}=65\\u_{1}+u_{7}=325\end{matrix}\right.$

Gợi ý đáp án

a) $\left\{\begin{matrix}u_{5}-u_{1}=15\\u_{4}-u_{2}=6\end{matrix}\right.$ $\left\{\begin{matrix}u_{5}-u_{1}=15\\u_{4}-u_{2}=6\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u_{1}.q^{4}-u_{1}=15\\u_{1}.q^{3}-u_{1}.q=6\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u_{1}.q^{4}-u_{1}=15\\u_{1}.q^{3}-u_{1}.q=6\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}q=2\\u_{1}=1\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}q=2\\u_{1}=1\end{matrix}\right.$

b) $\left\{\begin{matrix}u_{1}-u_{3}+u_{5}=65\\u_{1}+u_{7}=325\end{matrix}\right.$ $\left\{\begin{matrix}u_{1}-u_{3}+u_{5}=65\\u_{1}+u_{7}=325\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u_{1}-u_{1}.q^{2}+u_{1}.q^{4}=65\\u_{1}+u_{1}.q^{6}=325\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u_{1}-u_{1}.q^{2}+u_{1}.q^{4}=65\\u_{1}+u_{1}.q^{6}=325\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}q=2\\u_{1}=5\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}q=2\\u_{1}=5\end{matrix}\right.$

Bài 3 trang 60

a) Số đo bốn góc của một tứ giác lập thành cấp số nhân. Tìm số đo của bốn góc đó biết rằng số đo của góc lớn nhất gấp 8 lần số đo của góc nhỏ nhất

b) Viết sáu số xen vào giữa các số -2 và 256 để được cấp số nhân có tám số hạng. Nếu viết tiếp thì số hạng thứ 15 là bao nhiêu?

Gợi ý đáp án

a) Gọi số đo 4 góc lần lượt là: $u_{1}; u_{1}.q; u_{1}.q^{2}; u_{1}.q^{3}$ $u_{1}; u_{1}.q; u_{1}.q^{2}; u_{1}.q^{3}$

Ta có: $u_{1}.q^{3} =8u_{1} \Leftrightarrow q = 2$ $u_{1}.q^{3} =8u_{1} \Leftrightarrow q = 2$

$u_{1}+2u_{1}+4u_{1}+8u_{1}= 360. \Leftrightarrow u_{1}=24$ $u_{1}+2u_{1}+4u_{1}+8u_{1}= 360. \Leftrightarrow u_{1}=24$

Vậy số đo các góc là: $24^{o}; 48^{o}; 96^{o}; 192^{o}$ $24^{o}; 48^{o}; 96^{o}; 192^{o}$

b) Ta có: $u_{1} = -2 ; u_{8} = 256 = u_{1}.q^{7}$ $u_{1} = -2 ; u_{8} = 256 = u_{1}.q^{7}$

Suy ra: q = -2

Vậy $u_{15} = (-2).(-2)^{14} = -32768$ $u_{15} = (-2).(-2)^{14} = -32768$

Bài 4 trang 60

Ba số $\frac{2}{b-a}, \frac{1}{b}, \frac{2}{b-c}$ $\frac{2}{b-a}, \frac{1}{b}, \frac{2}{b-c}$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân

Gợi ý đáp án

a) Vì ba số $\frac{2}{b-a}, \frac{1}{b}, \frac{2}{b-c}$ $\frac{2}{b-a}, \frac{1}{b}, \frac{2}{b-c}$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên ta có:

$\frac{1}{b}=\frac{2}{b-a}+d \Leftrightarrow b-a=2b + db(b-a)\Leftrightarrow (bd-1)a = (bd+1)b\Leftrightarrow \frac{bd+1}{bd-1}=\frac{a}{b}$ $\frac{1}{b}=\frac{2}{b-a}+d \Leftrightarrow b-a=2b + db(b-a)\Leftrightarrow (bd-1)a = (bd+1)b\Leftrightarrow \frac{bd+1}{bd-1}=\frac{a}{b}$

$\frac{2}{b-c} = \frac{1}{b} + d \Leftrightarrow 2b = b-c+qb(b-c)\Leftrightarrow (1+bd)c=b(bd-1) \Leftrightarrow \frac{bd+1}{bd-1}=\frac{b}{c}$ $\frac{2}{b-c} = \frac{1}{b} + d \Leftrightarrow 2b = b-c+qb(b-c)\Leftrightarrow (1+bd)c=b(bd-1) \Leftrightarrow \frac{bd+1}{bd-1}=\frac{b}{c}$

Suy ra: $\frac{a}{b} = \frac{b}{c}$ $\frac{a}{b} = \frac{b}{c}$

Gọi b = a.q

Ta có: $\frac{a}{aq} = \frac{aq}{c} \Leftrightarrow c=aq^{2}\Leftrightarrow c = bq$ $\frac{a}{aq} = \frac{aq}{c} \Leftrightarrow c=aq^{2}\Leftrightarrow c = bq$

Vậy a,b,c lần lượt là cấp số nhân có công bội là q

Bài 5 trang 60

Tính các tổng sau:

a) $S_{n}=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^{2}}+...+\frac{1}{3^{n}}$ $S_{n}=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^{2}}+...+\frac{1}{3^{n}}$

b) $S_{n}=9 + 99 + 999 + ...+999...9 (n chữ số 9)$ $S_{n}=9 + 99 + 999 + ...+999...9 (n chữ số 9)$

Gợi ý đáp án

a) $S_{n}=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^{2}}+...+\frac{1}{3^{n}}$ $S_{n}=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^{2}}+...+\frac{1}{3^{n}}$

$S_{n}=\frac{n\left [ 1-\left ( \frac{1}{3} \right )^{n} \right ]}{1-\frac{1}{3}}$ $S_{n}=\frac{n\left [ 1-\left ( \frac{1}{3} \right )^{n} \right ]}{1-\frac{1}{3}}$

$S_{n}=\frac{3n\left [ 1-\left ( \frac{1}{3} \right )^{n} \right ]}{2}$ $S_{n}=\frac{3n\left [ 1-\left ( \frac{1}{3} \right )^{n} \right ]}{2}$

b) $S_{n}=9 + 99 + 999 + ...+999...9$ $S_{n}=9 + 99 + 999 + ...+999...9$ (n chữ số 9)

$S_{n}= \left (10-1 \right ) + \left (10^{2}-1 \right )+\left (10^{3}-1 \right )+...+ \left ( 10^{n}-1 \right )$ $S_{n}= \left (10-1 \right ) + \left (10^{2}-1 \right )+\left (10^{3}-1 \right )+...+ \left ( 10^{n}-1 \right )$

$S_{n}=(10+10^{2}+10^{3}+...+10^{n})-n$ $S_{n}=(10+10^{2}+10^{3}+...+10^{n})-n$

$S_{n}= \frac{n\left ( 1-10^{n} \right )}{1-10}-n$ $S_{n}= \frac{n\left ( 1-10^{n} \right )}{1-10}-n$

$S_{n}= \frac{n\left ( 10^{n}-1 \right )}{9}-n$ $S_{n}= \frac{n\left ( 10^{n}-1 \right )}{9}-n$

Bài 6 trang 60

Một loại vị khuẩn được nuôi cấy trong phòng thí nghiệm, cứ mỗi phút số lượng lại tăng lên gấp đôi số lượng đang có. Từ một vi khuẩn ban đầu, hãy tính tổng số vi khuẩn có trong ống nghiệm sau 20 phút.

Gợi ý đáp án

Tổng số vi khuẩn có trong ống nghiệm sau 20 phút là:

$S_{20}=\frac{20.\left [ 1-2^{20} \right ]}{1-2} = 20971500$ $S_{20}=\frac{20.\left [ 1-2^{20} \right ]}{1-2} = 20971500$

Bài 7 trang 60

Giả sử một thành phố có dân số năm 2022 là khoảng 2,1 triệu người và tốc độ tăng dân số trung bình mỗi năm là 0,75%

a) Dự đoán dân số của thành phố đó vào năm 2032.

b) Nếu tốc độ gia tăng dân số vẫn giữ nguyên như trên thì ước tính vào năm nào dân số của thành phố đó sẽ tăng gấp đôi so với năm 2022?

Gợi ý đáp án

Dân số của thành phố từ năm 2022 lần lượt tạo thành cấp số nhân có công bội là 1 + 0,0075 = 1,0075

Dân số của thành phố vào năm n là: $u_{n} = 2,1.1,0075^{n-2022}$ $u_{n} = 2,1.1,0075^{n-2022}$

a) $u_{2032} = 2,1.1,0075^{2032-2022} = 2,26$ $u_{2032} = 2,1.1,0075^{2032-2022} = 2,26$

b) Khi $u_{n} = 2.u_{2022}\Leftrightarrow 1,0075^{n-2022} = 2\Leftrightarrow n =2115$ $u_{n} = 2.u_{2022}\Leftrightarrow 1,0075^{n-2022} = 2\Leftrightarrow n =2115$

Vậy đến năm 2115, dân số thành phố gấp đôi so với năm 2022

Bài 8 trang 60

Trong trò chơi mạo hiểm nhảy bungee, mỗi lần nhảy, người chơi sẽ được dây ăn toàn có tính đàn hồi kéo nảy ngược lên 60% chiều sâu của cú nhảy. Một người chơi bungee thực hiện cú nhảy đầu tiên có độ cao nảy ngược lên là 9m

a) Tính độ cao nảy ngược lên của người đó ở lần nảy thứ ba

b) Tính tổng các độ cao nảy ngược lên của người đó trong 5 lần đầu

Gợi ý đáp án

Độ cao nảy ngược lên của người đó ở lần nảy thứ nhất là $u_{1} = 9$ $u_{1} = 9$

Độ cao các lần nảy lần lượt tạo thành cấp số nhân có công bội là q = 0,6

$u_{n}=9.0,6^{n-1}$ $u_{n}=9.0,6^{n-1}$

a) $u_{3}=9.0,6^{3-1} = 3,24$ $u_{3}=9.0,6^{3-1} = 3,24$

b) $S_{5}=\frac{5.\left [ 1-0,6^{5} \right ]}{1-0,6} = 11,528$ $S_{5}=\frac{5.\left [ 1-0,6^{5} \right ]}{1-0,6} = 11,528$