Toán 11 Bài tập cuối chương II Giải Toán 11 Chân trời sáng tạo trang 61, 62

Bài trước

Mục lục

Bài sau

Giải Toán 11 Bài tập cuối chương II là tài liệu vô cùng hữu ích giúp các em học sinh lớp 11 có thêm nhiều gợi ý tham khảo để giải các bài tập trong SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 trang 61, 62.

Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 trang 61, 62 được biên soạn đầy đủ, chi tiết trả lời các câu hỏi từ bài 1 đến 14 chương Dãy số cấp số cộng cấp số nhân giúp các bạn có thêm nhiều nguồn ôn tập đối chiếu với kết quả mình đã làm. Vậy sau đây là nội dung chi tiết giải Toán 11 tập 1 Bài tập cuối chương II Chân trời sáng tạo, mời các bạn cùng theo dõi tại đây.

Giải Toán 11 Bài tập cuối chương II: Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân

I. Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo tập 1 trang 61, 62

Bài 1 trang 61

Cho dãy số $(u_{n}) với u_{n}=\frac{n}{3^{n}-1}$ $(u_{n}) với u_{n}=\frac{n}{3^{n}-1}$. Ba số hạng đầu tiên của dãy số $(u_{n})$ $(u_{n})$ lần lượt là:

A. $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{27}$ $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{27}$

B. $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{26}$ $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{26}$

C. $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{25}$ $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{25}$

D. $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{28}$ $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{28}$

Gợi ý đáp án

Đáp án B

Bài 2 trang 61

Cho dãy số: $\frac{1}{3}; \frac{1}{3^{2}};\frac{1}{3^{3}};\frac{1}{3^{4}};\frac{1}{3^{5}};...$ $\frac{1}{3}; \frac{1}{3^{2}};\frac{1}{3^{3}};\frac{1}{3^{4}};\frac{1}{3^{5}};...$ Số hạng tổng quát của dãy số này là

A. $u_{n}=\frac{1}{3}.\frac{1}{3^{n+1}}$ $u_{n}=\frac{1}{3}.\frac{1}{3^{n+1}}$

B. $u_{n}=\frac{1}{3^{n+1}}$ $u_{n}=\frac{1}{3^{n+1}}$

C. $u_{n}=\frac{1}{3^{n}}$ $u_{n}=\frac{1}{3^{n}}$

D. $u_{n}=\frac{1}{3^{n-1}}$ $u_{n}=\frac{1}{3^{n-1}}$

Gợi ý đáp án

Đáp án C

Bài 3 trang 61

Cho dãy số $(u_{n}) với u_{n}=\frac{n+1}{n+2}$ $(u_{n}) với u_{n}=\frac{n+1}{n+2}$. Phát biểu nào sau đây đúng?

A. Dãy số tăng và bị chặn

B. Dãy số giảm và bị chặn

C. Dãy số giảm và bị chặn dưới

D. Dãy số giảm và bị chặn trên

Gợi ý đáp án

$u_{n}=\frac{n+1}{n+2} = 1 - \frac{1}{n+2}$ $u_{n}=\frac{n+1}{n+2} = 1 - \frac{1}{n+2}$

$u_{n+1} = 1 - \frac{1}{n+3}<1-\frac{1}{n+2}=u_{n}, \forall n\in \mathbb{N}^{*} .$ $u_{n+1} = 1 - \frac{1}{n+3}<1-\frac{1}{n+2}=u_{n}, \forall n\in \mathbb{N}^{*} .$

Vậy dãy số $(u_{n})$ $(u_{n})$ là dãy số giảm

$u_{n}= 1 - \frac{1}{n+2}<1,\forall n\in \mathbb{N}^{*}$ $u_{n}= 1 - \frac{1}{n+2}<1,\forall n\in \mathbb{N}^{*}$. Vậy dãy số $(u_{n})$ $(u_{n})$ bị chặn trên

$u_{n}= 1 - \frac{1}{n+2}>\frac{1}{2},\forall n\in \mathbb{N}^{*}$ $u_{n}= 1 - \frac{1}{n+2}>\frac{1}{2},\forall n\in \mathbb{N}^{*}$. Vậy dãy số $(u_{n})$ $(u_{n})$ bị chặn dưới

Vậy dãy số $(u_{n})$ $(u_{n})$ bị chặn

Đáp án: B

Bài 4 trang 61

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ $(u_{n})$ có số hạng đầu $u_{1}$ $u_{1}$, công sai d. Khi đó, với $n\geq 2$ $n\geq 2$ ta có

A. $u_{n}=u_{1}+d$ $u_{n}=u_{1}+d$

B. $u_{n}=u_{1}+(n+1)d$ $u_{n}=u_{1}+(n+1)d$

C. $u_{n}=u_{1}-(n-1)d$ $u_{n}=u_{1}-(n-1)d$

D. $u_{n}=u_{1}+(n-1)d$ $u_{n}=u_{1}+(n-1)d$

Gợi ý đáp án

Đáp án D

Bài 5 trang 61

Cho cấp số cộng (u_n) có u₁ = 3 và u₂ = −1. Khi đó

A. u₃ = 4

B. u₃ = 2

C. u₃ = −5

D. u₃ = 7

Gợi ý đáp án

Đáp án C

Bài 6 trang 62

Cho cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ = −1 và công sai d = 3. Khi đó S5 bằng

A. 11

B. 50

C. 10

D. 25

Gợi ý đáp án

Đáp án D

Bài 7 trang 62

Có bao nhiêu số thực x để 2x - 1; x; 2x + 1 theo thứ tự lập thành cấp số nhân?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Gợi ý đáp án

Đáp án B

Bài 8 trang 62

Một tam giác có số đo các góc lập thành cấp số nhân có công bội q = 2. Số đo các góc của tam giác đó lần lượt là:

A. $\frac{\pi }{6}; \frac{\pi }{3}; \frac{\pi }{2}$ $\frac{\pi }{6}; \frac{\pi }{3}; \frac{\pi }{2}$

B. $\frac{\pi }{5}; \frac{2\pi }{5}; \frac{4\pi }{5}$ $\frac{\pi }{5}; \frac{2\pi }{5}; \frac{4\pi }{5}$

C. $\frac{\pi }{6}; \frac{2\pi }{6}; \frac{4\pi }{6}$ $\frac{\pi }{6}; \frac{2\pi }{6}; \frac{4\pi }{6}$

D. $\frac{\pi }{7}; \frac{2\pi }{7}; \frac{4\pi }{7}$ $\frac{\pi }{7}; \frac{2\pi }{7}; \frac{4\pi }{7}$

Gợi ý đáp án

Gọi 3 góc của tam giác đó là: u; 2u; 4u

Ta có: $u + 2u + 4u = \pi \Leftrightarrow u = \frac{\pi }{7}$ $u + 2u + 4u = \pi \Leftrightarrow u = \frac{\pi }{7}$

Vậy 3 góc của tam giác là $\frac{\pi }{7}, \frac{2\pi }{7}, \frac{4\pi }{7}$ $\frac{\pi }{7}, \frac{2\pi }{7}, \frac{4\pi }{7}$

Đáp án: D

Bài 9 trang 62

Xét tính tăng, giảm của dãy số $(u_{n})$ $(u_{n})$ với $u_{n}=\frac{3^{n}-1}{2^{n}}$ $u_{n}=\frac{3^{n}-1}{2^{n}}$

Gợi ý đáp án

$u_{n}=\frac{3^{n}-1}{2^{n}} = \left ( \frac{3}{2} \right )^{n}-\frac{1}{2^{n}}$ $u_{n}=\frac{3^{n}-1}{2^{n}} = \left ( \frac{3}{2} \right )^{n}-\frac{1}{2^{n}}$

Ta có: $u_{n+1} = \left ( \frac{3}{2} \right )^{n+1}-\frac{1}{2^{n+1}}>\left ( \frac{3}{2} \right )^{n}-\frac{1}{2^{n}} = u_{n}, \forall n\in \mathbb{N}^{*}$ $u_{n+1} = \left ( \frac{3}{2} \right )^{n+1}-\frac{1}{2^{n+1}}>\left ( \frac{3}{2} \right )^{n}-\frac{1}{2^{n}} = u_{n}, \forall n\in \mathbb{N}^{*}$

Vậy dãy số $(u_{n})$ $(u_{n})$ là dãy số tăng

Bài 10 trang 62

Xét tính bị chặn của dãy số $(u_{n}) với u_{n}= \frac{2n+1}{n+2}$ $(u_{n}) với u_{n}= \frac{2n+1}{n+2}$

Gợi ý đáp án

$u_{n}= \frac{2n+1}{n+2} = 2 -\frac{3}{n+2}$ $u_{n}= \frac{2n+1}{n+2} = 2 -\frac{3}{n+2}$

Ta có:

$u_{n}<2, \forall n\in \mathbb{N}^{*}$ $u_{n}<2, \forall n\in \mathbb{N}^{*}$. Vậy dãy số $(u_{n})$ $(u_{n})$ bị chặn trên

$u_{n}>\frac{1}{2}, \forall n\in \mathbb{N}^{*}$ $u_{n}>\frac{1}{2}, \forall n\in \mathbb{N}^{*}$. Vậy dãy số $(u_{n})$ $(u_{n})$ bị chặn dưới

Suy ra, dãy số $(u_{n})$ $(u_{n})$ bị chặn

Bài 11 trang 62

Tìm số hạng đầu $u_{1}$ $u_{1}$ và công sai d của cấp số cộng $(u_{n}) ,$ $(u_{n}) ,$ biết:

a) $\left\{\begin{matrix}5u_{1}+10u_{5}=0\\S_{4}=14\end{matrix}\right.$ $\left\{\begin{matrix}5u_{1}+10u_{5}=0\\S_{4}=14\end{matrix}\right.$

b) $\left\{\begin{matrix}u_{7}+u_{15}=60\\u_{4}^{2}+u_{12}^{2}=1170\end{matrix}\right.$ $\left\{\begin{matrix}u_{7}+u_{15}=60\\u_{4}^{2}+u_{12}^{2}=1170\end{matrix}\right.$

Gợi ý đáp án

a) $\left\{\begin{matrix}5u_{1}+10u_{5}=0\\S_{4}=14\end{matrix}\right.$ $\left\{\begin{matrix}5u_{1}+10u_{5}=0\\S_{4}=14\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}5u_{1}+10u_{1}+40d=0\\\frac{4.(2u_{1}+3d)}{2}=14\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}5u_{1}+10u_{1}+40d=0\\\frac{4.(2u_{1}+3d)}{2}=14\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}15u_{1}+40d=0\\2u_{1}+3d=7\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}15u_{1}+40d=0\\2u_{1}+3d=7\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u_{1}=8\\d=-3\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u_{1}=8\\d=-3\end{matrix}\right.$

b) $\left\{\begin{matrix}u_{7}+u_{15}=60\\u_{4}^{2}+u_{12}^{2}=1170\end{matrix}\right.$ $\left\{\begin{matrix}u_{7}+u_{15}=60\\u_{4}^{2}+u_{12}^{2}=1170\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}+6d+u_{1}+14d=60\$u_{1}+3d)^{2}+ (u_{1}+11d)^{2}=1170\end{matrix}\right.$ \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}+6d+u_{1}+14d=60\\(u_{1}+3d)^{2}+ (u_{1}+11d)^{2}=1170\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2u_{1}+20d=60\$u_{1}+3d)^{2}+ (u_{1}+11d)^{2}=1170\end{matrix}\right.$ \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2u_{1}+20d=60\\(u_{1}+3d)^{2}+ (u_{1}+11d)^{2}=1170\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u_{1}=30-10d\$u_{1}+3d)^{2}+ (u_{1}+11d)^{2}=1170\end{matrix}\right.$ \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u_{1}=30-10d\\(u_{1}+3d)^{2}+ (u_{1}+11d)^{2}=1170\end{matrix}\right.$

Suy ra: $(30-10d+3d)^{2}+(30-10d+11d)^{2}=1170$ $(30-10d+3d)^{2}+(30-10d+11d)^{2}=1170$

$\Leftrightarrow 900-420d + 49d^{2}+900+60d+d^{2}=1170$ $\Leftrightarrow 900-420d + 49d^{2}+900+60d+d^{2}=1170$

$\Leftrightarrow 50d^{2} -360d + 630 = 0$ $\Leftrightarrow 50d^{2} -360d + 630 = 0$

$\Leftrightarrow d = 3 hoặc d =\frac{21}{5}$ $\Leftrightarrow d = 3 hoặc d =\frac{21}{5}$

Với $d = 3 thì u_{1} = 0$ $d = 3 thì u_{1} = 0$

Với $d =\frac{21}{5} thì u_{1} = -12$ $d =\frac{21}{5} thì u_{1} = -12$

Bài 12 trang 62

Tìm số hạng đầu $u_{1}$ $u_{1}$ và công bội q của cấp số nhận $(u_{1})$ $(u_{1})$, biết:

a) $\left\{\begin{matrix}u_{5}=96\\u_{6}=192\end{matrix}\right.$ $\left\{\begin{matrix}u_{5}=96\\u_{6}=192\end{matrix}\right.$

b) $\left\{\begin{matrix}u_{4}+u_{2}=72\\u_{5}+u_{3}=144\end{matrix}\right.$ $\left\{\begin{matrix}u_{4}+u_{2}=72\\u_{5}+u_{3}=144\end{matrix}\right.$

Gợi ý đáp án

a) $\left\{\begin{matrix}u_{5}=96\\u_{6}=192\end{matrix}\right.$ $\left\{\begin{matrix}u_{5}=96\\u_{6}=192\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u_{1}.q^{4}=96\\u_{1}.q^{5}=192\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u_{1}.q^{4}=96\\u_{1}.q^{5}=192\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}q=2\\u_{1}=6\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}q=2\\u_{1}=6\end{matrix}\right.$

b) $\left\{\begin{matrix}u_{4}+u_{2}=72\\u_{5}+u_{3}=144\end{matrix}\right.$ $\left\{\begin{matrix}u_{4}+u_{2}=72\\u_{5}+u_{3}=144\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}.q^{3} + u_{1}.q=72\\u_{1}.q^{4} + u_{1}.q^{2}=144\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}.q^{3} + u_{1}.q=72\\u_{1}.q^{4} + u_{1}.q^{2}=144\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}q=2\\u_{1}=8\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}q=2\\u_{1}=8\end{matrix}\right.$

Bài 13 trang 62

Giả sử một quần thể động vật ở thời điểm ban đầu có 110 000 cá thể, quần thể này có tỉ lệ sinh là 12%/năm, xuất cư là 2%/năm, tử vong là 8%/năm. Dự đoán số cá thể của quần thể đó sau hai năm.

Gợi ý đáp án

Số cá thể của quần thể qua các năm tạo thành cấp số nhân có công bội là: q = 1 + 0,12 - 0,02 - 0,08 = 1,02

Số cá thể sau hai năm là: 110000.1,02² = 114444 (cá thể)

Bài 14 trang 62

Một cây đàn organ có tần số âm thanh các phím liên tiếp tạo thành một cấp số nhân. Cho biết tần số phím La Trung là 400 Hz và tần số phím La Cao cao hơn 12 phím là 800 Hz. Tìm công bội của cấp số nhân nói trên.

Gợi ý đáp án

Ta có: q¹² = $\frac{800}{400}$ $\frac{800}{400}$ = 2

Suy ra: q = 1,06