Toán 11 Bài 1: Dãy số Giải Toán 11 Chân trời sáng tạo trang 45, 46, 47, 48, 49, 50

Bài trước

Mục lục

Bài sau

Toán lớp 11 tập 1 trang 45, 46, 47, 48, 49, 50 Chân trời sáng tạo là tài liệu vô cùng hữu ích mà Eballsviet.com muốn giới thiệu đến quý thầy cô cùng các bạn học sinh lớp 11 tham khảo.

Giải Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 1 Dãy số được biên soạn đầy đủ, chi tiết trả lời các câu hỏi phần bài tập cuối bài trang 50. Qua đó giúp các bạn học sinh có thể so sánh với kết quả mình đã làm. Vậy sau đây là nội dung chi tiết Toán 11 tập 1 Bài 1 Dãy số Chân trời sáng tạo, mời các bạn cùng theo dõi tại đây.

Giải Toán 11 Bài 1: Dãy số Chân trời sáng tạo

I. Giải Toán lớp 11 tập 1 trang 50

Bài 1 trang 50

Tìm $u_{2}, u_{3}$ $u_{2}, u_{3}$ và dự đoán công thức số hạng tổng quát $u_{n}$ $u_{n}$ của dãy số:

$\left\{\begin{matrix}u_{1}=1\\u_{n+1}=\frac{u_{n}}{1+u_{n}} (n\geq 1)\end{matrix}\right.$ $\left\{\begin{matrix}u_{1}=1\\u_{n+1}=\frac{u_{n}}{1+u_{n}} (n\geq 1)\end{matrix}\right.$

Gợi ý đáp án

$u_{2}= \frac{1}{2}; u_{3}= \frac{1}{3}$ $u_{2}= \frac{1}{2}; u_{3}= \frac{1}{3}$

$u_{n}=\frac{1}{n}$ $u_{n}=\frac{1}{n}$

Bài 2 trang 50

Cho dãy số $(u_{n}) với u_{n}=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n(n+1)}$ $(u_{n}) với u_{n}=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n(n+1)}$. Tìm $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ và dự đoán công thức số hạng tổng quát $u_{n}$ $u_{n}$

Gợi ý đáp án

$u_{1}= \frac{1}{2}; u_{2}=\frac{2}{3}; u_{3} = \frac{3}{4}$ $u_{1}= \frac{1}{2}; u_{2}=\frac{2}{3}; u_{3} = \frac{3}{4}$

$u_{n}= \frac{n}{n+1}$ $u_{n}= \frac{n}{n+1}$

Bài 3 trang 50

Xét tính tăng, giảm của dãy số $(y_{n}) với y_{n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ $(y_{n}) với y_{n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$

Gợi ý đáp án

Ta có:

$y_{n} = \sqrt{n+1}-\sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}).(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ $y_{n} = \sqrt{n+1}-\sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}).(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$

$y_{n+1} = \frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}$ $y_{n+1} = \frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}$

$\forall n \in N* , y_{n+1} < y_{n}$ $\forall n \in N* , y_{n+1} < y_{n}$

Vậy dãy số $(y_{n})$ $(y_{n})$ là dãy số giảm

Bài 4 trang 50

Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

a) $(a_{n}) với a_{n}=sin^{2}\frac{n\pi }{3}+cos\frac{n\pi }{4}$ $(a_{n}) với a_{n}=sin^{2}\frac{n\pi }{3}+cos\frac{n\pi }{4}$

b) $(u_{n}) với u_{n}=\frac{6n-4}{n+2}$ $(u_{n}) với u_{n}=\frac{6n-4}{n+2}$

Gợi ý đáp án

a) $\forall n\in \mathbb{N}^{*}$ $\forall n\in \mathbb{N}^{*}$, Ta có:

$0\leq sin^{2}\frac{n\pi }{3} \leq 1$ $0\leq sin^{2}\frac{n\pi }{3} \leq 1$

$-1\leq cos\frac{n\pi }{4} \leq 1$ $-1\leq cos\frac{n\pi }{4} \leq 1$

Suy ra $- 1\leq a_{n} \leq 2$ $- 1\leq a_{n} \leq 2$

Vậy dãy số $(a_{n})$ $(a_{n})$ bị chặn

b) $u_{n}=\frac{6n-4}{n+2} = 6 -\frac{16}{n+2}$ $u_{n}=\frac{6n-4}{n+2} = 6 -\frac{16}{n+2}$

$u_{n} < 6, \forall n\in \mathbb{N}^{*}$ $u_{n} < 6, \forall n\in \mathbb{N}^{*}$. Vậy dãy số $(u_{n})$ $(u_{n})$ bị chặn trên

$u_{n} >-2, \forall n\in \mathbb{N}^{*}$ $u_{n} >-2, \forall n\in \mathbb{N}^{*}$. Vậy dãy số $(u_{n})$ $(u_{n})$ bị chặn dưới

Suy ra, dãy số $(u_{n})$ $(u_{n})$ bị chặn

Bài 5 trang 50

Cho dãy số $(u_{n}) với u_{n}=\frac{2n-1}{n+1}$ $(u_{n}) với u_{n}=\frac{2n-1}{n+1}$

Chứng minh $(u_{n})$ $(u_{n})$ là dãy số tăng và bị chặn

Gợi ý đáp án

$u_{n}=\frac{2n-1}{n+1} = 2 - \frac{3}{n+1}$ $u_{n}=\frac{2n-1}{n+1} = 2 - \frac{3}{n+1}$

Ta có $\forall n\in \mathbb{N}^{*}, u_{n+1}=2 - \frac{3}{n+2}> u_{n} = 2 - \frac{3}{n+1}$ $\forall n\in \mathbb{N}^{*}, u_{n+1}=2 - \frac{3}{n+2}> u_{n} = 2 - \frac{3}{n+1}$

Vậy dãy số $(u_{n})$ $(u_{n})$ là dãy số tăng

$u_{n}= 2 - \frac{3}{n+1} > -1, \forall n\in \mathbb{N}^{*}$ $u_{n}= 2 - \frac{3}{n+1} > -1, \forall n\in \mathbb{N}^{*}$. Vậy dãy số $(u_{n})$ $(u_{n})$ bị chặn dưới

$u_{n}= 2 - \frac{3}{n+1} < 2, \forall n\in \mathbb{N}^{*}$ $u_{n}= 2 - \frac{3}{n+1} < 2, \forall n\in \mathbb{N}^{*}$. Vậy dãy số $(u_{n})$ $(u_{n})$ bị chặn trên

Suy ra dãy số $(u_{n})$ $(u_{n})$ bị chặn

Bài 6 trang 50

Cho dãy số $(u_{n}) với u_{n}=\frac{na+2}{n+1}$ $(u_{n}) với u_{n}=\frac{na+2}{n+1}$. Tìm giá trị của a để:

a) $(u_{n})$ $(u_{n})$ là dãy số tăng

b) $(u_{n})$ $(u_{n})$ là dãy số giảm

Gợi ý đáp án

a) $(u_{n})$ $(u_{n})$ là dãy số tăng khi $\forall x \in \mathbb{N}^{*} thì: u_{n+1}>u_{n}$ $\forall x \in \mathbb{N}^{*} thì: u_{n+1}>u_{n}$

$\Leftrightarrow \frac{(n+1)a+2}{n+1+1}>\frac{na+2}{n+1}; \forall x \in \mathbb{N}^{*}$ $\Leftrightarrow \frac{(n+1)a+2}{n+1+1}>\frac{na+2}{n+1}; \forall x \in \mathbb{N}^{*}$

$\Leftrightarrow a+\frac{2-a}{n+2}>a+\frac{2-a}{n+1}; \forall x \in \mathbb{N}^{*}$ $\Leftrightarrow a+\frac{2-a}{n+2}>a+\frac{2-a}{n+1}; \forall x \in \mathbb{N}^{*}$

$\Leftrightarrow \frac{2-a}{n+2}>\frac{2-a}{n+1}; \forall x \in \mathbb{N}^{*}$ $\Leftrightarrow \frac{2-a}{n+2}>\frac{2-a}{n+1}; \forall x \in \mathbb{N}^{*}$

$\Leftrightarrow 2-a <0$ $\Leftrightarrow 2-a <0$

$\Leftrightarrow a>2$ $\Leftrightarrow a>2$

b) $(u_{n})$ $(u_{n})$ là dãy số tăng khi $\forall x \in \mathbb{N}^{*}$ $\forall x \in \mathbb{N}^{*}$ thì: $u_{n+1} < u_{n}$ $u_{n+1} < u_{n}$

$\Leftrightarrow \frac{(n+1)a+2}{n+1+1}<\frac{na+2}{n+1}; \forall x \in \mathbb{N}^{*}$ $\Leftrightarrow \frac{(n+1)a+2}{n+1+1}<\frac{na+2}{n+1}; \forall x \in \mathbb{N}^{*}$

$\Leftrightarrow a+\frac{2-a}{n+2}< a+\frac{2-a}{n+1}; \forall x \in \mathbb{N}^{*}$ $\Leftrightarrow a+\frac{2-a}{n+2}< a+\frac{2-a}{n+1}; \forall x \in \mathbb{N}^{*}$

$\Leftrightarrow \frac{2-a}{n+2}<\frac{2-a}{n+1}; \forall x \in \mathbb{N}^{*}$ $\Leftrightarrow \frac{2-a}{n+2}<\frac{2-a}{n+1}; \forall x \in \mathbb{N}^{*}$

$\Leftrightarrow 2-a >0$ $\Leftrightarrow 2-a >0$

$\Leftrightarrow a<2$ $\Leftrightarrow a<2$

Bài 7 trang 50

Trên lưới ô vuông, mỗi ô cạnh 1 đơn vị, người ta vẽ 8 hình vuông và tô màu khác nhau như Hình 3. Tìm dãy số biểu diễn độ dài cạnh của 8 hình vuông đó từ nhỏ đến lớn. Có nhận xét gì về dãy số trên?

Gợi ý đáp án

$u_{1}=1; u_{2}=1; u_{3}=2; u_{4}=3; u_{5}=5; u_{6}=8; u_{7}=13; u_{8}=21$ $u_{1}=1; u_{2}=1; u_{3}=2; u_{4}=3; u_{5}=5; u_{6}=8; u_{7}=13; u_{8}=21$

Ta có dãy số $(u_{n}) : \left\{\begin{matrix}u_{1}=1\\ u_{2}=1\\u_{n} = u_{n-1}+u_{n-2}\end{matrix}\right.$ $(u_{n}) : \left\{\begin{matrix}u_{1}=1\\ u_{2}=1\\u_{n} = u_{n-1}+u_{n-2}\end{matrix}\right.$