Toán 10 Bài 3: Phương trình đường thẳng Giải SGK Toán 10 trang 75- Tập 2 sách Cánh diều

Bài trước

Mục lục

Bài sau

Giải Toán 10 Bài 3: Phương trình đường thẳng sách Cánh diều là tài liệu vô cùng hữu ích giúp các em học sinh lớp 10 có thêm nhiều gợi ý tham khảo, dễ dàng đối chiếu kết quả khi làm bài tập toán trang 75 tập 2.

Giải SGK Toán 10 Bài 3 trang 75 Cánh diều tập 2 được biên soạn chi tiết, bám sát nội dung trong sách giáo khoa. Mỗi bài toán đều được giải thích cụ thể, chi tiết. Qua đó giúp các em củng cố, khắc sâu thêm kiến thức đã học trong chương trình chính khóa. Nội dung chi tiết bài Giải Toán 10 Bài 3 chương 7 trang 75 tập 2 mời các bạn cùng đón đọc tại đây.

Toán 10 Bài 3: Phương trình đường thẳng

Giải Toán 10 trang 62 Cánh diều - Tập 2

Giải Toán 10 trang 62 Cánh diều - Tập 2

Bài 1

Lập phương trình tổng quát của đường thẳng Δ đi qua điểm A(-1; 2) và

a) Có vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(3,2)$ $\vec{n}=(3,2)$.

b) Có vectơ chỉ phương là $\vec{u} =(-2,3)$ $\vec{u} =(-2,3)$.

Gợi ý đáp án

a) Đường thẳng ∆ đi qua điểm A(-1; 2) nhận $\vec{n}=(3,2)$ $\vec{n}=(3,2)$ làm vectơ pháp tuyến.

Do đó, phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là: 3(x – (– 1)) + 2(y – 2) = 0 hay 3x + 2y – 1 = 0.

b) Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương là $\vec{u} =(-2,3)$ $\vec{u} =(-2,3)$, suy ra ∆ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(3,2)$ $\vec{n}=(3,2)$.

Đường thẳng ∆ đi qua điểm A(-1; 2) nhận $\vec{n}=(3,2)$ $\vec{n}=(3,2)$ làm vectơ pháp tuyến.

Do đó, phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là: 3(x – (– 1)) + 2(y – 2) = 0 hay 3x + 2y – 1 = 0.

Bài 2

Lập phương trình đường thẳng trong các Hình 34,35,36,37:

Gợi ý đáp án

a) Phương trình đoạn chắn của đường thẳng ${\Delta _1}$ ${\Delta _1}$ đi qua 2 điểm $\left( {0;4} \right)$ $\left( {0;4} \right)$ và $\left( {3;0} \right)$ $\left( {3;0} \right)$ là: $\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1$ $\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1$

b) Phương trình đường thẳng ${\Delta _2}$ ${\Delta _2}$ đi qua 2 điểm $\left( {2;4} \right) và \left( { - 2; - 2} \right) là:$ $\left( {2;4} \right) và \left( { - 2; - 2} \right) là:$

$\frac{{x - 2}}{{ - 2 - 2}} = \frac{{y - 4}}{{ - 2 - 4}} \Leftrightarrow \frac{{x - 2}}{{ - 4}} = \frac{{y - 4}}{{ - 6}} \Leftrightarrow 3x - 2y + 2 = 0$ $\frac{{x - 2}}{{ - 2 - 2}} = \frac{{y - 4}}{{ - 2 - 4}} \Leftrightarrow \frac{{x - 2}}{{ - 4}} = \frac{{y - 4}}{{ - 6}} \Leftrightarrow 3x - 2y + 2 = 0$

c) Do đường thẳng ${\Delta _3}$ ${\Delta _3}$ vuông góc với ${\rm{O}}x$ ${\rm{O}}x$ nên vecto pháp tuyến của ${\Delta _3}$ ${\Delta _3}$ là: $\overrightarrow {{n_3}} = \left( {1;0} \right)$ $\overrightarrow {{n_3}} = \left( {1;0} \right)$

Vậy phương trình đường thẳng ${\Delta _3}$ ${\Delta _3}$ đi qua điểm $\left( { - \frac{5}{2};0} \right)$ $\left( { - \frac{5}{2};0} \right)$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow {{n_3}} = \left( {1;0} \right)là: 1\left( {x + \frac{5}{2}} \right) + 0\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{5}{2}$ $\overrightarrow {{n_3}} = \left( {1;0} \right)là: 1\left( {x + \frac{5}{2}} \right) + 0\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{5}{2}$

d) Do đường thẳng ${\Delta _4}$ ${\Delta _4}$ vuông góc với ${\rm{O}}x$ ${\rm{O}}x$ nên vecto pháp tuyến của ${\Delta _4}$ ${\Delta _4}$ là: $\overrightarrow {{n_4}} = \left( {0;1} \right)$ $\overrightarrow {{n_4}} = \left( {0;1} \right)$

Vậy phương trình đường thẳng ${\Delta _4}$ ${\Delta _4}$ đi qua điểm $\left( {0;3} \right)$ $\left( {0;3} \right)$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow {{n_4}} = \left( {0;1} \right)$ $\overrightarrow {{n_4}} = \left( {0;1} \right)$ là: $0\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow y = 3$ $0\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow y = 3$

Bài 3

Cho đường thẳng d có phương trình tham số là:

$\left\{\begin{array}{l} x=-1-3 t \\ y=2+2 t \end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{l} x=-1-3 t \\ y=2+2 t \end{array}\right.$

a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d.

b) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d lần lượt với các trục Ox, Oy.

c) Đường thẳng d có đi qua điểm M (-7; 5) hay không?

Gợi ý đáp án

a) Đường thẳng d có phương trình tham số là:

$\left\{\begin{array}{l} x=-1-3 t \\ y=2+2 t \end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{l} x=-1-3 t \\ y=2+2 t \end{array}\right.$

Suy ra d có 1 vectơ chỉ phương là $\vec{u} =(-3,2)$ $\vec{u} =(-3,2)$, do đó d có 1 vectơ pháp tuyến là $\vec{n} =(2,3)$ $\vec{n} =(2,3)$

Ứng với t = 0, ta có

$\left\{\begin{array}{l} x=-1-3.0=-1 \\ y=2+2.0=2 \end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{l} x=-1-3.0=-1 \\ y=2+2.0=2 \end{array}\right.$

Do đó điểm A(-1; 2) thuộc đường thẳng d.

Vậy đường thẳng d có phương trình tổng quát là 2(x + 1) + 3(y – 2) = 0 hay 2x + 3y – 4 = 0.

b) Gọi H, K lần lượt là giao điểm của đường thẳng d với các trục Ox và Oy.

Vì H thuộc Ox nên gọi tọa độ H(a; 0).

Do H thuộc d nên tọa độ điểm H thỏa mãn phương trình tổng quát của đường thẳng d, thay vào ta được: 2 . a + 3 . 0 – 4 = 0 ⇔ a = 2.

Vậy H(2; 0).

Vì điểm K thuộc Oy nên gọi tọa độ K(0; b).

Do K thuộc d nên tọa độ điểm K thỏa mãn phương trình tổng quát của đường thẳng d, thay vào ta được:

2 . 0 + 3 . b – 4 = 0 ⇔ $b=\frac{4}{3}$ $b=\frac{4}{3}$.

Vậy $K(0,\frac{4}{3} )$ $K(0,\frac{4}{3} )$.

Vậy tọa độ giao điểm của đường thẳng d lần lượt với các trục Ox, Oy lần lượt là các điểm H(2; 0) và $K(0,\frac{4}{3} )$ $K(0,\frac{4}{3} )$.

c) Thay tọa độ điểm M(-7; 5) vào phương trình tổng quát của đường thẳng d ta được:

2 . (-7) + 3 . 5 – 4 = 0 ⇔ – 3 = 0 (vô lý).

Vậy điểm M(-7; 5) không thuộc đường thẳng d hay đường thẳng d không đi qua điểm M(-7; 5).

Bài 4

Cho đường thẳng d có phương trình tổng quát là: x - 2y – 5 = 0.

a) Lập phương trình tham số của đường thẳng d.

b) Tìm toạ độ điểm M thuộc d sao cho OM = 5 với O là gốc toạ độ.

c) Tìm toạ độ điểm N thuộc d sao cho khoảng cách từ N đến trục hoành Ox là 3.

Gợi ý đáp án

a) Từ phương trình tổng quát của đường thẳng, ta lấy được một vecto pháp tuyến là: $\overrightarrow n = \left( {1; - 2} \right)$ $\overrightarrow n = \left( {1; - 2} \right)$ nên ta chọn vecto chỉ phương của đường thẳng d là: $\overrightarrow u = \left( {2;1} \right).$ $\overrightarrow u = \left( {2;1} \right).$

Chọn điểm $A\left( {1; - 2} \right) \in d$ $A\left( {1; - 2} \right) \in d$.Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 2 + t\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 2 + t\end{array} \right.$(t là tham số)

b) Do điểm M thuộc d nên ta có: $M\left( {1 + 2m; - 2 + m} \right);m \in \mathbb{R}.$ $M\left( {1 + 2m; - 2 + m} \right);m \in \mathbb{R}.$

Ta có: $OM = 5 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {1 + 2m} \right)}^2} + {{\left( { - 2 + m} \right)}^2}} = 5 \Leftrightarrow {m^2} = 4 \Leftrightarrow m = \pm 2$ $OM = 5 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {1 + 2m} \right)}^2} + {{\left( { - 2 + m} \right)}^2}} = 5 \Leftrightarrow {m^2} = 4 \Leftrightarrow m = \pm 2$

Với $m = 2 \Rightarrow M\left( {5;0} \right)$ $m = 2 \Rightarrow M\left( {5;0} \right)$

Với $m = - 2 \Rightarrow M\left( { - 3; - 4} \right)$ $m = - 2 \Rightarrow M\left( { - 3; - 4} \right)$

Vậy ta có 2 điểm M thỏa mãn điều kiện đề bài.

c) Do điểm N thuộc d nên ta có: $N\left( {1 + 2n; - 2 + n} \right)$ $N\left( {1 + 2n; - 2 + n} \right)$

Khoảng cách từ N đến trục hoành bằng giá trị tuyệt đối của tung độ điểm N. Do đó, khoảng cách tư N đến trục hoành bằng 3 khi và chỉ khi: $\left| { - 2 + n} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\\n = - 1\end{array} \right.$ $\left| { - 2 + n} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\\n = - 1\end{array} \right.$

Với $n = 5 \Rightarrow N\left( {11;3} \right)$ $n = 5 \Rightarrow N\left( {11;3} \right)$

Với $n = - 1 \Rightarrow N\left( { - 1; - 3} \right)$ $n = - 1 \Rightarrow N\left( { - 1; - 3} \right)$

Vậy có 2 điểm N thỏa mãn bài toán

Bài 5

Cho tam giác ABC, biết A(1; 3); B(– 1; – 1); C(5; – 3). Lập phương trình tổng quát của:

a) Ba đường thẳng AB, BC, AC.

b) Đường trung trực cạnh AB.

c) Đường cao AH và đường trung tuyến AM của tam giác ABC.

Gợi ý đáp án

a) * Ta có: $\vec{AB}=(-2;-4)$ $\vec{AB}=(-2;-4)$.

Do đó đường thẳng AB nhận $\vec{u_{AB} }=-\frac{1}{2}\vec{AB}=-\frac{1}{2}(-2;-4)=(1;2)$ $\vec{u_{AB} }=-\frac{1}{2}\vec{AB}=-\frac{1}{2}(-2;-4)=(1;2)$ làm một vectơ chỉ phương.

Suy ra đường thẳng AB có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{AB} }=(2;-1)$ $\vec{n_{AB} }=(2;-1)$.

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng AB là 2(x – 1) – 1(y – 3) = 0 hay 2x – y + 1 = 0.

* Ta có: $\vec{BC}=(6;-2)$ $\vec{BC}=(6;-2)$.

Do đó đường thẳng BC nhận $\vec{u_{BC} }=\frac{1}{2}\vec{BC}=\frac{1}{2}(6;-2)=(3;-1)$ $\vec{u_{BC} }=\frac{1}{2}\vec{BC}=\frac{1}{2}(6;-2)=(3;-1)$ làm một vectơ chỉ phương.

Suy ra đường thẳng BC có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{BC} }=(1;3)$ $\vec{n_{BC} }=(1;3)$.

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng BC là 1(x + 1) + 3(y + 1) = 0 hay x + 3y + 4 = 0.

* Ta có: $\vec{AC}=(4;-6)$ $\vec{AC}=(4;-6)$.

Do đó đường thẳng AC nhận $\vec{u_{AC} }=\frac{1}{2}\vec{AC}=\frac{1}{2}(4;-6)=(2;-3)$ $\vec{u_{AC} }=\frac{1}{2}\vec{AC}=\frac{1}{2}(4;-6)=(2;-3)$ làm một vectơ chỉ phương.

Suy ra đường thẳng AC có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{AC} }=(3;2)$ $\vec{n_{AC} }=(3;2)$.

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng AC là 3(x – 1) + 2(y – 3) = 0 hay 2x + 2y – 9 = 0.

b) Gọi N là trung điểm của AB, áp dụng công thức tọa độ trung điểm, suy ra tọa độ của điểm N là $x_{N}=\frac{1+(-1)}{2}=0$ $x_{N}=\frac{1+(-1)}{2}=0$; $y_{N}=\frac{3+(-1)}{2}=1$ $y_{N}=\frac{3+(-1)}{2}=1$ hay N(0; 1).

Đường trung trực cạnh AB vuông góc với AB nên nhận $\vec{u_{AB} }=(1;2)$ $\vec{u_{AB} }=(1;2)$ làm vectơ pháp tuyến.

Do đó đường trung trực cạnh AB đi qua điểm N(0; 1) và có 1 vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(1;2)$ $\vec{n}=(1;2)$.

Vậy phương trình tổng quát của đường trung trực cạnh AB là 1(x – 0) + 2(y – 1) = 0 hay x + 2y – 2 = 0.

c) * Đường cao AH của tam giác ABC vuông góc với cạnh BC.

Do đó đường cao AH đi qua điểm A(1; 3) và nhận $\vec{u_{BC} }=(3;-1)$ $\vec{u_{BC} }=(3;-1)$ làm vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình tổng quát của đường cao AH là 3(x – 1) – 1(y – 3) = 0 hay 3x – y = 0.

* AM là trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của BC.

Suy ra tọa độ của điểm M là $x_{M}=\frac{(-1)+5}{2}=2$ $x_{M}=\frac{(-1)+5}{2}=2$; $y_{M}=\frac{(-1)+(-3)}{2}=-2$ $y_{M}=\frac{(-1)+(-3)}{2}=-2$ hay M(2; – 2).

Ta có: $\vec{AM}=(1;-5)$ $\vec{AM}=(1;-5)$.

Đường trung tuyến AM có một vectơ chỉ phương là $\vec{AM}=(1;-5)$ $\vec{AM}=(1;-5)$, do đó nó có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{AM} }=(5;1)$ $\vec{n_{AM} }=(5;1)$.

Đường trung tuyến AM đi qua A(1; 3) và nhận $\vec{n_{AM} }=(5;1)$ $\vec{n_{AM} }=(5;1)$ làm vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình tổng quát của đường trung tuyến AM là 5(x – 1) + 1(y – 3) = 0 hay 5x + y – 8 = 0.

Bài 6

Để tham gia một phòng tập thể dục, người tập phải trả một khoản phí tham gia ban đầu và phí sử dụng phòng tập. Đường thẳng Δ ở Hình 38 biểu thị tổng chi phí (đơn vị: triệu đồng) để tham gia một phòng tập thể dục theo thời gian tập của một người (đơn vị: tháng).

a) Viết phương trình của đường thẳng Δ.

b) Giao điểm của đường thẳng Δ với trục tung trong tình huống này có ý nghĩa gì?

c) Tính tổng chi phí mà người đó phải trả khi tham gia phòng tập thể dục với thời gian 12 tháng.

Gợi ý đáp án

a) Quan sát Hình 38, ta thấy đường thẳng ∆ đi qua 2 điểm A(0; 1,5) và B(7; 5).

Ta có: $\vec{AB}=(7;3;5)$ $\vec{AB}=(7;3;5)$.

Do đó, đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là $\vec{u}=\frac{2}{7} AB=\frac{2}{7} (7;3;5)=(2;1)$ $\vec{u}=\frac{2}{7} AB=\frac{2}{7} (7;3;5)=(2;1)$.

Vậy phương trình tham số của đường thẳng ∆ là

$\left\{\begin{matrix} x=7+2t \\ y=5+t \end{matrix}\right. (t là tham số)$ $\left\{\begin{matrix} x=7+2t \\ y=5+t \end{matrix}\right. (t là tham số)$

b) Giao điểm của đường thẳng ∆ với trục tung là điểm A(0; 1,5).

Giao điểm của đường thẳng Δ với trục tung trong tình huống này có ý nghĩa là: khoản phí tham gia ban đầu mà người tập phải trả là 1,5 triệu đồng.

c) Người đó tham gia phòng tập thể dục với thời gian là 12 tháng hay chính là x = 12, khi đó, tổng chi phí cần tìm chính là giá trị y tương ứng với x = 12.

Thay x = 12 vào phương trình tham số của đường thẳng ∆ ta được:

$\left\{\begin{array} { l } { 1 2 = 7 + 2 t } \\ { y = 5 + t } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l } { t = \frac { 5 } { 2 } } \\ { y = 5 + t } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l } { t = \frac { 5 } { 2 } } \\ { y = 5 + \frac { 5 } { 2 } } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} t=\frac{5}{2} \\ y=\frac{15}{2} \end{array}\right.\right.\right.\right. \text {. }$ $\left\{\begin{array} { l } { 1 2 = 7 + 2 t } \\ { y = 5 + t } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l } { t = \frac { 5 } { 2 } } \\ { y = 5 + t } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l } { t = \frac { 5 } { 2 } } \\ { y = 5 + \frac { 5 } { 2 } } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} t=\frac{5}{2} \\ y=\frac{15}{2} \end{array}\right.\right.\right.\right. \text {. }$

Suy ra với x = 12 (tháng) thì $y=\frac{12}{5}=7.5$ $y=\frac{12}{5}=7.5$ (triệu đồng).

Vậy tổng chi phí mà người đo phải trả khi tham gia phòng tập thể dục với thời gian 12 tháng là 7,5 triệu đồng.

Chia sẻ bởi: