Toán 10 Bài 4: Bất phương trình bậc hai một ẩn Giải SGK Toán 10 trang 54 - Tập 1 sách Cánh diều

Tải về Bình luận

Bài trước

Mục lục

Bài sau

Toán 10 Bài 4 Cánh diều trang 54 giúp các bạn học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để trả lời các câu hỏi phần hoạt động và 6 bài tập trong SGK bài Bất phương trình bậc hai một ẩn thuộc chương 3 Hàm số và đồ thị.

Giải Toán 10 trang 54 Cánh diều tập 1 được biên soạn với các lời giải chi tiết, đầy đủ và chính xác bám sát chương trình sách giáo khoa. Giải Toán 10 Bài 4 Cánh diều là tài liệu cực kì hữu ích hỗ trợ các em học sinh lớp 10 trong quá trình giải bài tập. Đồng thời phụ huynh có thể sử dụng để hướng dẫn con em học tập và đổi mới phương pháp giải phù hợp hơn.

Toán 10 Bài 4: Bất phương trình bậc hai một ẩn

Hoạt động Toán 10 Bài 4 Cánh diều

Hoạt động 1

Quan sát và nêu đặc điểm của biểu thức ở vế trái của bất phương trình $3{x^2} - 4x - 8 < 0$ $3{x^2} - 4x - 8 < 0$

Gợi ý đáp án

Vế trái của bất phương trình là đa thức bậc 2 và có hệ số cao nhất là 3>0

Hoạt động 2

a) Lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai $f\left( x \right) = {x^2} - x - 2$ $f\left( x \right) = {x^2} - x - 2$

b) Giải bất phương trình ${x^2} - x - 2 > 0$ ${x^2} - x - 2 > 0$

Gợi ý đáp án

a) Ta có tam thức bậc hai $f\left( x \right) = {x^2} - x - 2$ $f\left( x \right) = {x^2} - x - 2$ có 2 nghiệm phân biệt ${x_1} = - 1,{x_2} = 2$ ${x_1} = - 1,{x_2} = 2$ và hệ số a = 1 > 0

Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)b)$ $\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)b)$ Từ bảng xét dấu ta thấy $f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > 2\end{array} \right.$ $f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > 2\end{array} \right.$

Hoạt động 3

Cho bất phương trình ${x^2} - 4x + 3 > 0\left( 2 \right).$ ${x^2} - 4x + 3 > 0\left( 2 \right).$

Quan sát parabol $\left( P \right):{x^2} - 4x + 3$ $\left( P \right):{x^2} - 4x + 3$ ở Hình 26 và cho biết:

a) Bất phương trình (2) biểu diễn phần parabol (P) nằm ở phía nào của trục hoành.

b) Phần parabol (P) nằm phía trên trục hoành ứng với những giá trị nào của x.

Gợi ý đáp án

a) Từ đồ thị ta thấy bất phương trình (2) biểu diễn phần parabol (P) nằm ở phía trên trục hoành.

b) Phần parabol (P) nằm phía trên trục hoành ứng với các giá trị của x thuộc $\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$ $\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$

Giải Toán 10 trang 54 Cánh diều - Tập 1

Bài 1 trang 54

Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc hai một ẩn? Vì sao?

a) - 2x + 2 < 0

$b) \frac{1}{2}{y^2} - \sqrt 2 \left( {y + 1} \right) \le 0$ $b) \frac{1}{2}{y^2} - \sqrt 2 \left( {y + 1} \right) \le 0$

$c) {y^2} + {x^2} - 2x \ge 0$ $c) {y^2} + {x^2} - 2x \ge 0$

Gợi ý đáp án

a) - 2x + 2 < 0 không là bất phương trình bậc hai một ẩn vì bậc của bất phương trình này là bậc 1.

b) $\frac{1}{2}{y^2} - \sqrt 2 \left( {y + 1} \right) \le 0$ $\frac{1}{2}{y^2} - \sqrt 2 \left( {y + 1} \right) \le 0$ là bất phương trình bậc hai một ẩn vì bậc của bất phương trình này là bậc 2 và có đúng 1 ẩn là y.

c) ${y^2} + {x^2} - 2x \ge 0$ ${y^2} + {x^2} - 2x \ge 0$ không là bất phương trình bậc hai một ẩn vì có 2 ẩn là x và y.

Bài 2 trang 54

Dựa vào đồ thị hàm số bậc hai $y = f\left( x \right)$ $y = f\left( x \right)$ trong mỗi Hình 30a, 30b, 30c, hãy viết tập nghiệm của mỗi bất phương trình sau: $f\left( x \right) > 0;f\left( x \right) < 0;f\left( x \right) \ge 0;f\left( x \right) \le 0.$ $f\left( x \right) > 0;f\left( x \right) < 0;f\left( x \right) \ge 0;f\left( x \right) \le 0.$

Gợi ý đáp án

Hình 30a:

$f\left( x \right) > 0$ $f\left( x \right) > 0$ có tập nghiệm là $S = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)$ $S = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)$

$f\left( x \right) < 0$ $f\left( x \right) < 0$ có tập nghiệm là $S = \left( {1;4} \right)$ $S = \left( {1;4} \right)$

$f\left( x \right) \ge 0$ $f\left( x \right) \ge 0$ có tập nghiệm là $S = \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {4; + \infty } \right)$ $S = \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {4; + \infty } \right)$

$f\left( x \right) \le 0$ $f\left( x \right) \le 0$ có tập nghiệm là $S = \left[ {1;4} \right]$ $S = \left[ {1;4} \right]$

Hình 30b:

$f\left( x \right) > 0$ $f\left( x \right) > 0$ có tập nghiệm là $S = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$ $S = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$

$f\left( x \right) < 0$ $f\left( x \right) < 0$ có tập nghiệm là $S = \emptyset$ $S = \emptyset$

$f\left( x \right) \ge 0$ $f\left( x \right) \ge 0$ có tập nghiệm là $S = \mathbb{R}$ $S = \mathbb{R}$

$f\left( x \right) \le 0$ $f\left( x \right) \le 0$ có tập nghiệm là $S = \left\{ 2 \right\}$ $S = \left\{ 2 \right\}$

Hình 30c:

$f\left( x \right) > 0$ $f\left( x \right) > 0$ có tập nghiệm là $S = \mathbb{R}$ $S = \mathbb{R}$

$f\left( x \right) < 0$ $f\left( x \right) < 0$ có tập nghiệm là $S = \emptyset$ $S = \emptyset$

$f\left( x \right) \ge 0$ $f\left( x \right) \ge 0$ có tập nghiệm là $S = \mathbb{R}$ $S = \mathbb{R}$

$f\left( x \right) \le 0$ $f\left( x \right) \le 0$có tập nghiệm là $S = \emptyset$ $S = \emptyset$

Bài 3 trang 54

Giải các bất phương trình bậc hai sau:

$a) 2{x^2} - 5x + 3 > 0$ $a) 2{x^2} - 5x + 3 > 0$

$b) - {x^2} - 2x + 8 \le 0$ $b) - {x^2} - 2x + 8 \le 0$

$c) 4{x^2} - 12x + 9 < 0$ $c) 4{x^2} - 12x + 9 < 0$

$d) - 3{x^2} + 7x - 4 \ge 0$ $d) - 3{x^2} + 7x - 4 \ge 0$

Gợi ý đáp án

a) Ta có a = 2 > 0 và $\Delta = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.2.3 = 1 > 0$ $\Delta = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.2.3 = 1 > 0$

=> $2{x^2} - 5x + 3 = 0$ $2{x^2} - 5x + 3 = 0$ có 2 nghiệm phân biệt ${x_1} = 1,{x_2} = \frac{3}{2}.$ ${x_1} = 1,{x_2} = \frac{3}{2}.$

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho $2{x^2} - 5x + 3$ $2{x^2} - 5x + 3$ mang dấu $“+” là \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)$ $“+” là \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $2{x^2} - 5x + 3 > 0 là \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)$ $2{x^2} - 5x + 3 > 0 là \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)$

b) Ta có a = - 1 < 0 và $\Delta$ $\Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - \left( { - 1} \right).8 = 9 > 0$

=> $- {x^2} - 2x + 8 = 0$ $- {x^2} - 2x + 8 = 0$ có 2 nghiệm phân biệt ${x_1} = - 4,{x_2} = 2.$ ${x_1} = - 4,{x_2} = 2.$

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho $- {x^2} - 2x + 8 mang dấu “-” là \left( { - \infty ; - 4} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)$ $- {x^2} - 2x + 8 mang dấu “-” là \left( { - \infty ; - 4} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $- {x^2} - 2x + 8 \le 0$ $- {x^2} - 2x + 8 \le 0$ là $\left( { - \infty ; - 4} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)$ $\left( { - \infty ; - 4} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)$

Ta có a = 4 > 0 và $\Delta$ $\Delta ' = {\left( { - 6} \right)^2} - 4.9 = 0$

=> $4{x^2} - 12x + 9 = 0$ $4{x^2} - 12x + 9 = 0$ có nghiệm duy nhất $x = \frac{3}{2}.$ $x = \frac{3}{2}.$

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho $4{x^2} - 12x + 9$ $4{x^2} - 12x + 9$ nghiệm của bất phương trình $4{x^2} - 12x + 9 < 0$ $4{x^2} - 12x + 9 < 0$ là $\emptyset$ $\emptyset$

$d) - 3{x^2} + 7x - 4 \ge 0$ $d) - 3{x^2} + 7x - 4 \ge 0$

Ta có a = - 3 < 0 và $\Delta = {7^2} - 4.\left( { - 3} \right).\left( { - 4} \right) = 1 > 0$ $\Delta = {7^2} - 4.\left( { - 3} \right).\left( { - 4} \right) = 1 > 0$

=> $- 3{x^2} + 7x - 4 = 0$ $- 3{x^2} + 7x - 4 = 0$có 2 nghiệm phân biệt ${x_1} = 1;{x_2} = \frac{4}{3}.$ ${x_1} = 1;{x_2} = \frac{4}{3}.$

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho - $3{x^2} + 7x - 4$ $3{x^2} + 7x - 4$ mang dấu “+” là $\left[ {1;\frac{4}{3}} \right]$ $\left[ {1;\frac{4}{3}} \right]$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $- 3{x^2} + 7x - 4 \ge 0 là \left[ {1;\frac{4}{3}} \right]$ $- 3{x^2} + 7x - 4 \ge 0 là \left[ {1;\frac{4}{3}} \right]$

Bài 4 trang 54

Tìm m để phương trình $2{x^2} + \left( {m + 1} \right)x + m - 8 = 0$ $2{x^2} + \left( {m + 1} \right)x + m - 8 = 0$ có nghiệm.

Gợi ý đáp án

Ta có a = 2 > 0,

$\Delta = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4.2.\left( {m - 8} \right) = {m^2} + 2m + 1 - 8m + 64 = {m^2} - 6m + 65$ $\Delta = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4.2.\left( {m - 8} \right) = {m^2} + 2m + 1 - 8m + 64 = {m^2} - 6m + 65$

Phương trình $2{x^2} + \left( {m + 1} \right)x + m - 8 = 0$ $2{x^2} + \left( {m + 1} \right)x + m - 8 = 0$ có nghiệm khi và chỉ khi $\Delta \ge 0$ $\Delta \ge 0$

Vậy phương trình $2{x^2} + \left( {m + 1} \right)x + m - 8 = 0$ $2{x^2} + \left( {m + 1} \right)x + m - 8 = 0$ có nghiệm với mọi số thực m.

Bài 5 trang 54

Xét hệ toạ độ Oth trên mặt phẳng, trong đó trục Ot biểu thị thời gian t (tính bằng giây) và trục Oh biểu thị độ cao h (tính bằng mét). Một quả bóng được đá lên từ điểm A(0; 0,2) và chuyển động theo quỹ đạo là một cung parabol. Quả bóng đạt độ cao 8,5 m sau 1 giây và đạt độ cao 6 m sau 2 giây.

a) Hãy tìm hàm số bậc hai biểu thị quỹ đạo chuyển động của quả bóng.

b) Trong khoảng thời gian nào thì quả bóng vẫn chưa chạm đất?

Gợi ý đáp án

a) Đặt phương trình parabol là $\left( P \right):h = a{t^2} + bt + c$ $\left( P \right):h = a{t^2} + bt + c$

Ta có quả bóng được đá lên từ điểm A(0; 0,2) nên 0,2 = c

Ta có quả bóng đạt độ cao 8,5 m sau 1 giây có nghĩa là tại t=1 thì h=8,5. Khi đó

8,5 = a + b(1)

Ta có quả bóng đạt độ cao 6 m sau 2 giây có nghĩa là tại t=2 thì h=6.

$=> 6 = a{.2^2} + b.2 \Leftrightarrow 4a + 2b = 6\left( 2 \right)$ $=> 6 = a{.2^2} + b.2 \Leftrightarrow 4a + 2b = 6\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) ta được hệ $\left\{ \begin{array}{l}a + b = 8,5\\4a + 2b = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 5,5\\b = 14\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}a + b = 8,5\\4a + 2b = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 5,5\\b = 14\end{array} \right.$

Vậy $\left( P \right):h = - 5,5{t^2} + 14t$ $\left( P \right):h = - 5,5{t^2} + 14t$

b) Để quả bóng không chạm đất thì h > 0

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 5,5{t^2} + 14t > 0\\ \Leftrightarrow t\left( { - 5,5t + 14} \right) > 0\\ \Leftrightarrow 0 < t < \frac{{28}}{{11}}\end{array}$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 5,5{t^2} + 14t > 0\\ \Leftrightarrow t\left( { - 5,5t + 14} \right) > 0\\ \Leftrightarrow 0 < t < \frac{{28}}{{11}}\end{array}$

Vậy trong khoảng thời gian từ lúc đá đến thời gian $t = \frac{{28}}{{11}}$ $t = \frac{{28}}{{11}}$ thì quả bóng chưa chạm đất.

Bài 6 trang 54

Công ty An Bình thông báo giá tiền cho chuyến đi tham quan của một nhóm khách du lịch như sau:

10 khách đầu tiên có giá là 800 000 đồng/người. Nếu có nhiều hơn 10 người đăng kí thì cứ có thêm 1 người, giá vé sẽ giảm 10 000 đồng/người cho toàn bộ hành khách.

a) Gọi x là số lượng khách từ người thứ 11 trở lên của nhóm. Biểu thị doanh thu theo x.

b) Số người của nhóm khách du lịch nhiều nhất là bao nhiêu thì công ty không bị lỗ? Biết rằng chi phí thực sự cho chuyến đi là 700 000 đồng/người.

Gợi ý đáp án

Gọi x là số lượng khách từ người thứ 11 trở lên của nhóm (x>0)

Giá vé khi có thêm x khách là: $800{\rm{ }}000 - 10{\rm{ }}000.x(đồng/người)$ $800{\rm{ }}000 - 10{\rm{ }}000.x(đồng/người)$

Doanh thu khi thêm x khách là:

$\left( {x + 10} \right).\left( {800000 - 10000x} \right) = 10000\left( {x + 10} \right)\left( {80 - x} \right) (đồng)$ $\left( {x + 10} \right).\left( {800000 - 10000x} \right) = 10000\left( {x + 10} \right)\left( {80 - x} \right) (đồng)$

Chi phí thực sau khi thêm x vị khách là: 700 000(x+10) (đồng)

Lợi nhuận khi thêm x vị khách là:

$T = 10000\left( {x + 10} \right)\left( {80 - x} \right) - 700000\left( {x + 10} \right)$ $T = 10000\left( {x + 10} \right)\left( {80 - x} \right) - 700000\left( {x + 10} \right)$

$\begin{array}{l} = 10000\left( {x + 10} \right).\left[ {80 - x - 70} \right]\\ = 10000\left( {x + 10} \right)\left( {10 - x} \right)\end{array}$ $\begin{array}{l} = 10000\left( {x + 10} \right).\left[ {80 - x - 70} \right]\\ = 10000\left( {x + 10} \right)\left( {10 - x} \right)\end{array}$

Để công ty không bị lỗ thì lợi nhuận lớn hơn hoặc bằng 0

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 10000\left( {x + 10} \right)\left( {10 - x} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow - 10 \le x \le 10\end{array}$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow 10000\left( {x + 10} \right)\left( {10 - x} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow - 10 \le x \le 10\end{array}$

Khi đó số khách du lịch tối đa là x + 10 = 10 + 10 = 20 người thì công ty không bị lỗ.

Chia sẻ bởi: