Toán 10 Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ Giải SGK Toán 10 trang 87 - Tập 1 sách Cánh diều

Bài trước

Mục lục

Bài sau

Toán 10 Bài 4 Cánh diều trang 87 giúp các bạn học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để trả lời các câu hỏi phần Hoạt động và 9 bài tập trong SGK bài Tổng và hiệu của hai vectơ thuộc chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác - Vectơ.

Giải Toán 10 Cánh diều Bài 4 trang 87 được biên soạn với các lời giải chi tiết, đầy đủ và chính xác bám sát chương trình sách giáo khoa môn Toán 10 tập 1. Giải Toán 10 Bài 4 Cánh diều là tài liệu cực kì hữu ích hỗ trợ các em học sinh lớp 10 trong quá trình giải bài tập. Đồng thời phụ huynh có thể sử dụng để hướng dẫn con em học tập và đổi mới phương pháp giải phù hợp hơn.

Toán 10 Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ

Trả lời Hoạt động Toán 10 Bài 4 Cánh diều

Hoạt động 1

Một vật dịch chuyển từ A đến B và tiếp tục dịch chuyển từ B đến C (Hình 49).

a) Biểu diễn vectơ dịch chuyển của vật từ A đến B và từ B đến C.

b) Xác định vectơ dịch chuyển tổng hợp của vật.

Lời giải:

a) Vật dịch chuyển từ A đến B theo vectơ $\overrightarrow{A B}$ $\overrightarrow{A B}$, vật dịch chuyển từ B đến C theo vectơ $\overrightarrow{B C}$ $\overrightarrow{B C}$

b) Vật di chuyển từ A đến B và từ B đến C, nghĩa là điểm đầu đường đi của vật là A và điểm cuối đường đi là C, do đó vectơ dịch chuyển tổng hợp của vật là vectơ $\overrightarrow{A C}$ $\overrightarrow{A C}$

Hoạt động 2

Cho hai vecto $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$. Lấy một điểm A tùy ý.

a) Vẽ $\overrightarrow {AB} = a, \overrightarrow {BC} = b$ $\overrightarrow {AB} = a, \overrightarrow {BC} = b$

b) Tổng của hai vecto $\overrightarrow a$ $\overrightarrow a$và $\overrightarrow b$ $\overrightarrow b$bằng vecto nào?

Gợi ý đáp án

a) Gọi M, N lần lượt là điểm đầu và điểm cuối của vecto $\overrightarrow a$ $\overrightarrow a$.

Vì $\overrightarrow a = \overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AB}$ $\overrightarrow a = \overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AB}$nên tứ giác MNBA là hình bình hành.

Nói cách khác B là đỉnh thứ tư của hình bình hành tạo bởi vecto $\overrightarrow a$ $\overrightarrow a$ và điểm A.

Tương tự, C là đỉnh thứ tư của hình bình hành tạo bởi vecto $\overrightarrow b$ $\overrightarrow b$và điểm B.

b) Dễ thấy: tổng của hai vecto $\overrightarrow {AB}$ $\overrightarrow {AB}$và $\overrightarrow {BC}$ $\overrightarrow {BC}$ là vecto $\overrightarrow {AC}$ $\overrightarrow {AC}$.

Do đó tổng của hai vecto $\overrightarrow a$ $\overrightarrow a$và $\overrightarrow b$ $\overrightarrow b$bằng vecto $\overrightarrow {AC}$ $\overrightarrow {AC}$

Ta có viết: $\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC}$ $\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC}$

Hoạt động 3

Cho ABCD là hình bình hành (Hình 52). So sánh:

a) Hai vecto $\overrightarrow {AD}$ $\overrightarrow {AD}$và $\overrightarrow {BC}$ $\overrightarrow {BC}$.

b) Vecto tổng $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD}$ $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD}$và vecto $\overrightarrow {AC}$ $\overrightarrow {AC}$

Gợi ý đáp án

a) Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AD//BC\\AD = BC\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}AD//BC\\AD = BC\end{array} \right.$. (do tứ giác ABCD là hình bình hành)

$\Rightarrow \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC}$ $\Rightarrow \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC}$

b) Ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC}$ $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC}$

Hoạt động 4

Trong Hình 54, hai ròng rọc có trục quay nằm ngang và song song với nhau, hai vật có trọng lượng bằng nahu. Mỗi dây có một đầu buộc vào vật, một đầu buộc vào một mảnh nhựa cứng. Hai vật lần lượt tác động lên mảng nhựa các lực $\overrightarrow {{F_1}} ,\;\overrightarrow {{F_2}}$ $\overrightarrow {{F_1}} ,\;\overrightarrow {{F_2}}$. Nhận xét về hướng và độ dài của mỗi cặp vecto sau:

a) $\overrightarrow {{P_1}}$ $\overrightarrow {{P_1}}$ và $\overrightarrow {{P_2}}$ $\overrightarrow {{P_2}}$ biểu diễn trọng lực của hai vật

b) $\overrightarrow {{F_1}}$ $\overrightarrow {{F_1}}$ và $\;\overrightarrow {{F_2}}$ $\;\overrightarrow {{F_2}}$.

(Bỏ qua trọng lượng các dây và các lực ma sát).

Gợi ý đáp án

a) Trọng lực của hai vật đều hướng xuống, vuông góc với mặt đất, đo dó chúng cùng phương, cùng hướng với nhau.

Hơn nữa: Công thức tính độ lớn trọng lực là: P = mg.

Hai vật có khối lượng như nhau, do đó ${P_1} = {P_2}$ ${P_1} = {P_2}$

Vậy $\overrightarrow {{P_1}} = \overrightarrow {{P_2}}$ $\overrightarrow {{P_1}} = \overrightarrow {{P_2}}$

b) Do trọng lực tạo thành lực kéo lên mảnh nhựa nên độ lớn của các lực $\overrightarrow {{F_1}} ,\;\overrightarrow {{F_2}}$ $\overrightarrow {{F_1}} ,\;\overrightarrow {{F_2}}$ là như nhau.

Chúng có hướng ngược nhau.

Giải Toán 10 trang 87 Cánh diều - Tập 1

Bài 1 trang 87

Cho ba điểm M, N, P. Vectơ $\vec{u}=\overrightarrow{N P}+\overrightarrow{M N}$ $\vec{u}=\overrightarrow{N P}+\overrightarrow{M N}$ bằng vectơ nào sau đây?

$A. \overrightarrow{P N}.$ $A. \overrightarrow{P N}.$

$B. \overrightarrow{P M}.$ $B. \overrightarrow{P M}.$

$C. \overrightarrow{M P}.$ $C. \overrightarrow{M P}.$

$D. \overrightarrow{N M}.$ $D. \overrightarrow{N M}.$

Gợi ý đáp án

$\vec{u}=\overrightarrow{N P}+\overrightarrow{M N} =\overrightarrow{M N}+\overrightarrow{N P} =\overrightarrow{M P} \Rightarrow C$ $\vec{u}=\overrightarrow{N P}+\overrightarrow{M N} =\overrightarrow{M N}+\overrightarrow{N P} =\overrightarrow{M P} \Rightarrow C$

Bài 2 trang 87

Cho ba điểm D, E, G. Vectơ $\vec{v}=\overrightarrow{D E}+(-\overrightarrow{D G})$ $\vec{v}=\overrightarrow{D E}+(-\overrightarrow{D G})$ bằng vectơ nào sau đây?

$A. \overrightarrow{E G},$ $A. \overrightarrow{E G},$

$B. \overrightarrow{G E}.$ $B. \overrightarrow{G E}.$

$C. \overrightarrow{G D}.$ $C. \overrightarrow{G D}.$

$D. \overrightarrow{E D}.$ $D. \overrightarrow{E D}.$

Gợi ý đáp án

$\vec{v}=\overrightarrow{D E}+(-\overrightarrow{D G})=\overrightarrow{D E}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{D E}=\overrightarrow{GE} \Rightarrow B$ $\vec{v}=\overrightarrow{D E}+(-\overrightarrow{D G})=\overrightarrow{D E}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{D E}=\overrightarrow{GE} \Rightarrow B$

Bài 3 trang 87

Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh:

$a. \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C B};$ $a. \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C B};$

$b. \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D A}=\overrightarrow{0}$ $b. \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D A}=\overrightarrow{0}$

Gợi ý đáp án

$a. \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C B}$ $a. \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C B}$ (đpcm).

$b. \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C B}$ $b. \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C B}$

$\Rightarrow \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}-\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{C B}=\overrightarrow{0}$ $\Rightarrow \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}-\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{C B}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}$ $\Rightarrow \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D A}=\overrightarrow{0}$ $\Rightarrow \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D A}=\overrightarrow{0}$

Bài 4 trang 87

Cho hình bình hành ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD. Các khẳng định sau đúng hay sai?

$a. |\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}|=|\overrightarrow{A C}|;$ $a. |\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}|=|\overrightarrow{A C}|;$

$b. \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{C B};$ $b. \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{C B};$

$c. \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D} .$ $c. \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D} .$

Gợi ý đáp án

Khẳng định Đúng hay sai?

a. $|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}|=|\overrightarrow{A C}|$ $|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}|=|\overrightarrow{A C}|$ Đúng

b. $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{C B}$ $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{C B}$ Sai

c. $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D}$ $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D}$Sai

Bài 5 trang 87

Cho đường tròn tâm O. Giả sử A, B là hai điểm nằm trên đường tròn. Tìm điều kiện cần và đủ để hai vectơ $\overrightarrow{O A}$ $\overrightarrow{O A}$ và $\overrightarrow{O B}$ $\overrightarrow{O B}$ đối nhau.

Gợi ý đáp án

Hai vectơ $\overrightarrow{O A}$ $\overrightarrow{O A}$ và $\overrightarrow{O B}$ $\overrightarrow{O B}$ đối nhau khi và chỉ khi hai vectơ này ngược hướng và cùng độ dài $\Leftrightarrow O$ $\Leftrightarrow O$ là trung điểm của đoạn thẳng A và B.

Bài 6 trang 87

Cho A B C D là hình bình hành. Chứng minh $\overrightarrow{M B}-\overrightarrow{M A}=\overrightarrow{M C}-\overrightarrow{M D}$ $\overrightarrow{M B}-\overrightarrow{M A}=\overrightarrow{M C}-\overrightarrow{M D}$ với mọi điểm M trong mặt phẳng.

Gợi ý đáp án

Ta có: $\overrightarrow{M B}-\overrightarrow{M A}=\overrightarrow{AB} và \overrightarrow{M C}-\overrightarrow{M D}=\overrightarrow{DC}$ $\overrightarrow{M B}-\overrightarrow{M A}=\overrightarrow{AB} và \overrightarrow{M C}-\overrightarrow{M D}=\overrightarrow{DC}$

Mặt khác: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} \Rightarrow$ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} \Rightarrow$ đpcm.

Bài 7 trang 87

Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Tính độ dài của các vectơ sau:

$a. \overrightarrow{D A}+\overrightarrow{D C};$ $a. \overrightarrow{D A}+\overrightarrow{D C};$

$b. \overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A D};$ $b. \overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A D};$

$c. \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}$ $c. \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}$ với O là giao điểm của A C và B D.

Gợi ý đáp án

$a. \overrightarrow{D A}+\overrightarrow{D C}=\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DB}$ $a. \overrightarrow{D A}+\overrightarrow{D C}=\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DB}$

$\Rightarrow |\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{D C}|=|\overrightarrow{DB}|=a\sqrt{2}$ $\Rightarrow |\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{D C}|=|\overrightarrow{DB}|=a\sqrt{2}$

$b. \overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{DB}$ $b. \overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{DB}$

$\Rightarrow |\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A D}|=|\overrightarrow{DB}|=a\sqrt{2}$ $\Rightarrow |\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A D}|=|\overrightarrow{DB}|=a\sqrt{2}$

$c. \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{CB}$ $c. \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{CB}$

$\Rightarrow |\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}|=|\overrightarrow{CB}|=a$ $\Rightarrow |\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}|=|\overrightarrow{CB}|=a$

Bài 8 trang 87

Cho ba lực $\overrightarrow{F_{1}}=\overrightarrow{O A}, \overrightarrow{F_{2}}=\overrightarrow{O B} và \overrightarrow{F_{3}}=\overrightarrow{O C}$ $\overrightarrow{F_{1}}=\overrightarrow{O A}, \overrightarrow{F_{2}}=\overrightarrow{O B} và \overrightarrow{F_{3}}=\overrightarrow{O C}$ cùng tác động vào một vật tại điểm O và vật đứng yên. Cho biết cường độ của $\overrightarrow{F_{1}}, \overrightarrow{F_{2}}$ $\overrightarrow{F_{1}}, \overrightarrow{F_{2}}$ đều là 120 $\mathrm{~N}$ $\mathrm{~N}$ và $\overrightarrow{A O B}=120^{\circ}.$ $\overrightarrow{A O B}=120^{\circ}.$ Tìm cường độ và hướng của lực $\overrightarrow{F_{3}}.$ $\overrightarrow{F_{3}}.$

Gợi ý đáp án

a. Để O đứng yên

$\Leftrightarrow \overrightarrow{F_{1}}+ \overrightarrow{F_{2}}+\overrightarrow{F_{3}}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{F_{1}}+ \overrightarrow{F_{2}}=-\overrightarrow{F_{3}}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{F_{1}}+ \overrightarrow{F_{2}}+\overrightarrow{F_{3}}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{F_{1}}+ \overrightarrow{F_{2}}=-\overrightarrow{F_{3}}$

$\Rightarrow \overrightarrow{F_{3}}$ $\Rightarrow \overrightarrow{F_{3}}$ ngược hướng với hợp lực của $\overrightarrow{F_{1}}$ $\overrightarrow{F_{1}}$ và $\overrightarrow{F_{2}}$ $\overrightarrow{F_{2}}$

b. Xét hình thoi OADB có $\widehat{AOB}=120^{\circ} \Rightarrow \widehat{OAD}=\widehat{AOD}=60^{\circ} \Rightarrow$ $\widehat{AOB}=120^{\circ} \Rightarrow \widehat{OAD}=\widehat{AOD}=60^{\circ} \Rightarrow$Tam giác OAD đều $\Rightarrow OA = OD = 120$ $\Rightarrow OA = OD = 120$

$\Rightarrow |\overrightarrow{F_{3}}|=|\overrightarrow{OD}|=|\overrightarrow{OA}|=120.$ $\Rightarrow |\overrightarrow{F_{3}}|=|\overrightarrow{OD}|=|\overrightarrow{OA}|=120.$

Bài 9 trang 87

Một dòng sông chảy từ phía bắc xuống phía nam với vận tốc là 10 $\mathrm{~km} / \mathrm{h}$ $\mathrm{~km} / \mathrm{h}$. Một chiếc ca nô chuyển động từ phía đông sang phía tây với vận tốc $40 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ $40 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ so với mặt nước. Tìm vận tốc của ca nô so với bờ sông.

Gợi ý đáp án

$\vec{v_{canô/bờ}}=\vec{v_{canô/nước}}+\vec{v_{nước/bờ}}$ $\vec{v_{canô/bờ}}=\vec{v_{canô/nước}}+\vec{v_{nước/bờ}}$

$\Rightarrow v_{canô/bờ}=\sqrt{40^2+10^2}=10\sqrt{17} (km/h)$ $\Rightarrow v_{canô/bờ}=\sqrt{40^2+10^2}=10\sqrt{17} (km/h)$

Chia sẻ bởi: