Toán 10 Bài 2: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn Giải SGK Toán 10 trang 29 - Tập 1 sách Cánh diều

Bài trước

Mục lục

Bài sau

Toán 10 Cánh diều trang 29 tập 1 giúp các em học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để giải các câu hỏi Hoạt động và 4 bài tập trong SGK bài Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn chính xác nhất.

Giải Toán 10 Cánh diều trang 29 tập 1 hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa rất chi tiết. Hy vọng rằng tài liệu sẽ giúp các em học sinh lớp 10 học tốt môn Toán 10. Đồng thời các thầy cô giáo, bậc phụ huynh có thể sử dụng tài liệu để hướng dẫn các em khi tự học ở nhà được thuận tiện hơn. Vậy sau đây là trọn bộ tài liệu Toán 10 trang 29 Cánh diều mời các bạn cùng theo dõi.

Toán 10 Bài 2: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Phần Hoạt động

Hoạt động 1 trang 25 Toán 10 tập 1

Cho hệ phương trình sau:

$\left\{ \begin{gathered} x - y < 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \\ x + 2y > - 2\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\left\{ \begin{gathered} x - y < 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \\ x + 2y > - 2\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

a) Mỗi bất phương trình (1) và (2) có là bất phương trình bậc nhất hai ẩn không?

b) Chỉ ra một nghiệm chung của hai bất phương trình (1) và (2) trong hệ trên.

Gợi ý đáp án

a) Bất phương trình (1) và bất phương trình (2) có là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

b) Thay $x = 1$ và $y = 1$ vào hai bất phương trình của hệ, ta có:

+ $1 - 1 < 3$ là mệnh đề đúng.

+ $1 + 2.1 > - 2$ là mệnh đề đúng.

Vậy (1; 1) là nghiệm chung của bất phương trình (1) và bất phương trình (2) nên (1; 1) là nghiệm của hệ bất phương trình.

Hoạt động 2 trang 26 Toán 10 tập 1

Cho hệ bất phương trình sau:

$\left\{ \begin{gathered} x - 2y \geqslant - 2 \hfill \\ 7x - 4y \leqslant 16 \hfill \\ 2x + y \geqslant - 4 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\left\{ \begin{gathered} x - 2y \geqslant - 2 \hfill \\ 7x - 4y \leqslant 16 \hfill \\ 2x + y \geqslant - 4 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

a) Trong cùng mặt phẳng tọa độ Oxy, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ bất phương trình bằng cách gạch bỏ phần không thuộc miền nghiệm của nó.

b) Tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Gợi ý đáp án

a) $x - 2y \geqslant - 2$ $x - 2y \geqslant - 2$

+ Vẽ đường thẳng ${d_1}:x - 2y = - 2 \Leftrightarrow y = \frac{1}{2}x + 1$ ${d_1}:x - 2y = - 2 \Leftrightarrow y = \frac{1}{2}x + 1$

+ Lấy điểm $O\left( {0;0} \right)$ $O\left( {0;0} \right)$. Ta có: $0 - 2.0 = 0 \geqslant - 2$ $0 - 2.0 = 0 \geqslant - 2$.

+ Vậy miền nghiệm của bất phương trình $x - 2y \geqslant - 2$ $x - 2y \geqslant - 2$ là nửa mặt phẳng không bị gạch, chứa điểm $O\left( {0;0} \right)$ $O\left( {0;0} \right)$ không kể đường thẳng $y = \frac{1}{2}x + 1$ $y = \frac{1}{2}x + 1$.

$7x - 4y \leqslant 16$ $7x - 4y \leqslant 16$

+ Vẽ đường thẳng ${d_2}:7x - 4y = 16 \Leftrightarrow y = \frac{7}{4}x - 4$ ${d_2}:7x - 4y = 16 \Leftrightarrow y = \frac{7}{4}x - 4$

+ Lấy điểm $O\left( {0;0} \right)$ $O\left( {0;0} \right)$. Ta có: $7.0 - 4.0 = 0 \leqslant 16$ $7.0 - 4.0 = 0 \leqslant 16$.

+ Vậy miền nghiệm của bất phương trình $7x - 4y \leqslant 16$ $7x - 4y \leqslant 16$ là nửa mặt phẳng không bị gạch, chứa điểm $O\left( {0;0} \right)$ $O\left( {0;0} \right)$, kể cả đường thẳng $y = \frac{7}{4}x - 4$ $y = \frac{7}{4}x - 4$.

$2x + y \geqslant - 4$ $2x + y \geqslant - 4$

+ Vẽ đường thẳng ${d_3}:2x + y = - 4 \Leftrightarrow y = - 2x - 4$ ${d_3}:2x + y = - 4 \Leftrightarrow y = - 2x - 4$

+ Lấy điểm $O\left( {0;0} \right)$ $O\left( {0;0} \right)$. Ta có: ${d_3}:2x + y = - 4 \Leftrightarrow y = - 2x - 4$ ${d_3}:2x + y = - 4 \Leftrightarrow y = - 2x - 4$.

+ Vậy miền nghiệm của bất phương trình $2x + y \geqslant - 4$ $2x + y \geqslant - 4$ là nửa mặt phẳng không bị gạch, chứa điểm $O\left( {0;0} \right)$ $O\left( {0;0} \right)$, kể cả đường thẳng $y = - 2x - 4$.

b) Phần không bị gạch (chứa điểm ) là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho do tọa độ điểm thỏa mãn các bất phương trình trong hệ.

Phần Bài tập

Bài 1 trang 29 Toán 10 Cánh diều

Kiểm tra xem mỗi cặp số (x;y) đã cho có là nghiệm của hệ bất phương trình tương ứng không.

$a) \left\{ \begin{array}{l}3x + 2y \ge - 6\\x + 4y > 4\end{array} \right. \left( {0;2} \right),\left( {1;0} \right)$ $a) \left\{ \begin{array}{l}3x + 2y \ge - 6\\x + 4y > 4\end{array} \right. \left( {0;2} \right),\left( {1;0} \right)$

$b) \left\{ \begin{array}{l}4x + y \le - 3\\ - 3x + 5y \ge - 12\end{array} \right. \left( { - 1; - 3} \right),\left( {0; - 3} \right)$ $b) \left\{ \begin{array}{l}4x + y \le - 3\\ - 3x + 5y \ge - 12\end{array} \right. \left( { - 1; - 3} \right),\left( {0; - 3} \right)$

Gợi ý đáp án

a) Thay x = 0,y = 2 vào hệ $\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y \ge - 6\\x + 4y > 4\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y \ge - 6\\x + 4y > 4\end{array} \right.$ ta được:

$\left\{ \begin{array}{l}3.0 + 2.2 \ge - 6\\0 + 4.2 > 4\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}3.0 + 2.2 \ge - 6\\0 + 4.2 > 4\end{array} \right.$ (Đúng)

Thay x = 1,y = 0 vào hệ $\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y \ge - 6\\x + 4y > 4\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y \ge - 6\\x + 4y > 4\end{array} \right.$ ta được:

$\left\{ \begin{array}{l}3.1 + 2.0 \ge - 6\\1 + 4.0 > 4\left( {Sai} \right)\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}3.1 + 2.0 \ge - 6\\1 + 4.0 > 4\left( {Sai} \right)\end{array} \right.$

Vậy $\left( {0;2} \right)$ $\left( {0;2} \right)$ là nghiệm của hệ còn $\left( {1;0} \right)$ $\left( {1;0} \right)$ không là nghiệm.

b) Thay x = - 1,y = - 3 vào hệ $\left\{ \begin{array}{l}4x + y \le - 3\\ - 3x + 5y \ge - 12\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}4x + y \le - 3\\ - 3x + 5y \ge - 12\end{array} \right.$ ta được:

$\left\{ \begin{array}{l}4.\left( { - 1} \right) + \left( { - 3} \right) \le - 3\\ - 3\left( { - 1} \right) + 5.\left( { - 3} \right) \ge - 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 7 \le - 3\\ - 12 \ge - 12\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}4.\left( { - 1} \right) + \left( { - 3} \right) \le - 3\\ - 3\left( { - 1} \right) + 5.\left( { - 3} \right) \ge - 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 7 \le - 3\\ - 12 \ge - 12\end{array} \right.$ (Đúng)

Thay x = 0,y = - 3 vào hệ $\left\{ \begin{array}{l}4x + y \le - 3\\ - 3x + 5y \ge - 12\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}4x + y \le - 3\\ - 3x + 5y \ge - 12\end{array} \right.$ ta được:

$\left\{ \begin{array}{l}4.0 + \left( { - 3} \right) \le - 3\\ - 3.0 + 5.\left( { - 3} \right) \ge - 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 \le - 3\\ - 15 \ge - 12\left( {Sai} \right)\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}4.0 + \left( { - 3} \right) \le - 3\\ - 3.0 + 5.\left( { - 3} \right) \ge - 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 \le - 3\\ - 15 \ge - 12\left( {Sai} \right)\end{array} \right.$

Vậy $\left( { - 1; - 3} \right)$ $\left( { - 1; - 3} \right)$ là nghiệm của hệ còn $\left( {0; - 3} \right)$ $\left( {0; - 3} \right)$ không là nghiệm.

Bài 2 trang 29 Toán 10 Cánh diều

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình:

$a) \left\{ \begin{array}{l}x + 2y < - 4\\y \ge x + 5\end{array} \right.$ $a) \left\{ \begin{array}{l}x + 2y < - 4\\y \ge x + 5\end{array} \right.$

$b) \left\{ \begin{array}{l}4x - 2y > 8\\x \ge 0\\y \le 0\end{array} \right.$ $b) \left\{ \begin{array}{l}4x - 2y > 8\\x \ge 0\\y \le 0\end{array} \right.$

Gợi ý đáp án

a) Vẽ các đường thẳng x + 2y = - 4(nét đứt) và y = x + 5 (nét liền)

Thay tọa độ O vào x + 2y < - 4 ta được: 0 + 2.0 < - 4 (Sai)

=> Gạch đi phần chứa O.

Thay tọa độ O vào $y \ge x + 5$ $y \ge x + 5$ ta được: $0 \ge 0 + 5$ $0 \ge 0 + 5$ (Sai)

=> Gạch đi phần chứa O.

Miền nghiệm của hệ:

Từ hình vẽ ta thấy hệ vô nghiệm.

b) Vẽ các đường thẳng 4x - 2y = 8 (nét đứt) và hai trục (nét liền)

Thay tọa độ O vào 4x - 2y > 8 ta được: 4.0 - 2.0 > 8 (Sai)

=> Gạch đi phần chứa O.

Với $x \ge 0$ $x \ge 0$ thì gạch phần bên trái Oy

Với $y \le 0$ $y \le 0$ thì gạch bên trên Ox

Miền nghiệm của hệ:

Bài 3 trang 29 Toán 10 Cánh diều

Miền không bị gạch ở mỗi Hình 12a, 12b là miền nghiệm của hệ bất phương trình nào cho ở dưới đây?

$\left\{ \begin{array}{l}x + y < 2\\x > - 3\\y \ge - 1\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}x + y < 2\\x > - 3\\y \ge - 1\end{array} \right.$

$b) \left\{ \begin{array}{l}y < x\\x \le 0\\y > - 3\end{array} \right.$ $b) \left\{ \begin{array}{l}y < x\\x \le 0\\y > - 3\end{array} \right.$

$c) \left\{ \begin{array}{l}y > - x + 1\\x \le 2\\y < 1\end{array} \right.$ $c) \left\{ \begin{array}{l}y > - x + 1\\x \le 2\\y < 1\end{array} \right.$

Gợi ý đáp án

Hình 12a

Ta thấy các đường thẳng trên hình là y = 1;x = 2;y = - x + 1

Từ các phương trình trên thì ta chọn luôn là câu c mà không cần xét tiếp.

Hình 12b.

Ta thấy các đường thẳng trên hình là y = - 1;x = - 3;x + y = - 2

Từ các phương trình trên thì ta chọn luôn là câu a mà không cần xét tiếp

Bài 4 trang 29 Toán 10 Cánh diều

Một phân xưởng sản xuất hai kiểu mũ. Thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ nhất nhiều gấp hai lần thời gian làm ra một chiếc mũ kiểu thứ hai. Nếu chỉ sản xuất toàn kiểu mũ thứ hai thì trong 1 giờ phân xưởng làm được 60 chiếc. Phân xưởng làm việc 8 tiếng mỗi ngày và thị trường tiêu thụ tối đa trong một ngày là 200 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240 chiếc mũ kiểu thứ hai. Tiền lãi khi bán một chiếc mũ kiểu thứ nhất là 24 nghìn đồng, một chiếc mũ kiểu thứ hai là 15 nghìn đồng. Tính số lượng mũ kiểu thứ nhất và kiểu thứ hai trong một ngày mà phân xưởng cần sản xuất để tiền lãi thu được là cao nhất.

Gợi ý đáp án

Bước 1: Gọi số lượng mũ kiểu thứ nhất và kiểu thứ hai trong một ngày mà phân xưởng cần sản xuất lần lượt là x và y $\left( {x,y \in \mathbb{N}} \right)$ $\left( {x,y \in \mathbb{N}} \right)$. Biểu diễn các đại lượng khác theo x và y.

Gọi số lượng mũ kiểu thứ nhất và kiểu thứ hai trong một ngày mà phân xưởng cần sản xuất lần lượt là x và $y \left( {x,y \in \mathbb{N}} \right).$ $y \left( {x,y \in \mathbb{N}} \right).$

Theo giả thiết, thị trường tiêu thụ tối đa trong một ngày là 200 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240 chiếc mũ kiểu thứ hai nên ta có $0 \le x \le 200;0 \le y \le 240$ $0 \le x \le 200;0 \le y \le 240$

Thời gian làm y chiếc kiểu 2 trong một ngày là $\frac{y}{{60}}\left( h \right)$ $\frac{y}{{60}}\left( h \right)$

Thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ nhất nhiều gấp hai lần thời gian làm ra một chiếc mũ kiểu thứ hai nên thời gian làm mũ thứ nhất là 1 giờ làm được 30 chiếc.

Thời gian làm x chiếc kiểu 1 trong một ngày là $\frac{x}{{30}}\left( h \right)$ $\frac{x}{{30}}\left( h \right)$

Tổng thời gian làm trong một ngày là 8h nên ta có:

$\frac{x}{{30}} + \frac{y}{{60}} = 8$ $\frac{x}{{30}} + \frac{y}{{60}} = 8$

Bước 2: Lập hệ bất phương trình.

Bước 3: Biểu diễn miền nghiệm.

Miền biểu diễn miền nghiệm là phần màu vàng: