Toán 10 Bài 5: Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai Giải SGK Toán 10 trang 58 - Tập 1 sách Cánh diều

Bài trước

Mục lục

Bài sau

Toán 10 Bài 5 Cánh diều trang 59 giúp các bạn học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để trả lời các câu hỏi phần Luyện tập và 5 bài tập trong SGK bài Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai thuộc chương 3 Hàm số và đồ thị.

Giải Toán 10 trang 59 Cánh diều tập 1 được biên soạn với các lời giải chi tiết, đầy đủ và chính xác bám sát chương trình sách giáo khoa. Giải Toán 10 Bài 5 Cánh diều là tài liệu cực kì hữu ích hỗ trợ các em học sinh lớp 10 trong quá trình giải bài tập. Đồng thời phụ huynh có thể sử dụng để hướng dẫn con em học tập và đổi mới phương pháp giải phù hợp hơn.

Toán 10 Bài 5: Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai

Luyện tập Toán 10 Bài 5 Cánh diều

Luyện tập 1

Đề bài

Giải phương trình: $\sqrt {3{x^2} - 4x + 1} = \sqrt {{x^2} + x - 1}$ $\sqrt {3{x^2} - 4x + 1} = \sqrt {{x^2} + x - 1}$

Gợi ý đáp án

Bình phương hai vế ta được:

$\begin{array}{l}3{x^2} - 4x + 1 = {x^2} + x - 1\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 5x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}$ $\begin{array}{l}3{x^2} - 4x + 1 = {x^2} + x - 1\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 5x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}$

Thay lần lượt 2 giá trị x = 2 và $x = \frac{1}{2}$ $x = \frac{1}{2}$ vào ${x^2} + x - 1 \ge 0$ ${x^2} + x - 1 \ge 0$ ta thấy chỉ có x = 2 thỏa mãn bất phương trình.

Luyện tập 2

Giải phương trình: $\sqrt {3x - 5} = x - 1$ $\sqrt {3x - 5} = x - 1$

Gợi ý đáp án

$x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1$ $x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1$

Bình phương hai vế của phương trình ta được

$3x - 5 = {\left( {x - 1} \right)^2} \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\left( {TM} \right)\\x = 3\left( {TM} \right)\end{array} \right.$ $3x - 5 = {\left( {x - 1} \right)^2} \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\left( {TM} \right)\\x = 3\left( {TM} \right)\end{array} \right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S = \left\{ {2;3} \right\}$ $S = \left\{ {2;3} \right\}$

Giải Toán 10 trang 58, 59 Cánh diều - Tập 1

Bài 1 trang 58

Giải các phương trình sau:

$a) \sqrt {2{x^2} - 3x - 1} = \sqrt {2x + 3}$ $a) \sqrt {2{x^2} - 3x - 1} = \sqrt {2x + 3}$

$b) \sqrt {4{x^2} - 6x - 6} = \sqrt {{x^2} - 6}$ $b) \sqrt {4{x^2} - 6x - 6} = \sqrt {{x^2} - 6}$

$c) \sqrt {x + 9} = 2x - 3$ $c) \sqrt {x + 9} = 2x - 3$

$d) \sqrt { - {x^2} + 4x - 2} = 2 - x$ $d) \sqrt { - {x^2} + 4x - 2} = 2 - x$

Gợi ý đáp án

a) Bình phương hai vế ta được

$2{x^2} - 3x - 1 = 2x + 3$ $2{x^2} - 3x - 1 = 2x + 3$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{x^2} - 5x - 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5 + \sqrt {57} }}{4}\\x = \frac{{5 - \sqrt {57} }}{4}\end{array} \right.\end{array}$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{x^2} - 5x - 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5 + \sqrt {57} }}{4}\\x = \frac{{5 - \sqrt {57} }}{4}\end{array} \right.\end{array}$

Thay các giá trị tìm được vào bất phương trình $2x + 3 \ge 0$ $2x + 3 \ge 0$ thì thấy cả 2 nghiệm đều thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ {\frac{{5 - \sqrt {57} }}{4};\frac{{5 + \sqrt {57} }}{4}} \right\}$ $S = \left\{ {\frac{{5 - \sqrt {57} }}{4};\frac{{5 + \sqrt {57} }}{4}} \right\}$

b) Bình phương hai vế ta được

$\begin{array}{l}4{x^2} - 6x - 6 = {x^2} - 6\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\end{array}$ $\begin{array}{l}4{x^2} - 6x - 6 = {x^2} - 6\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\end{array}$

Thay các giá trị tìm được vào bất phương trình ${x^2} - 6 \ge 0$ ${x^2} - 6 \ge 0$ thì thấy chỉ có nghiệm x = 2 thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ 2 \right\}$ $S = \left\{ 2 \right\}$

$c) \sqrt {x + 9} = 2x - 3(*)$ $c) \sqrt {x + 9} = 2x - 3(*)$

Ta có: $2x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{3}{2}$ $2x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{3}{2}$

Bình phương hai vế của (*) ta được:

$\begin{array}{l}x + 9 = {\left( {2x - 3} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4{x^2} - 12x + 9 = x + 9\\ \Leftrightarrow 4{x^2} - 13x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\left( {KTM} \right)\\x = \frac{{13}}{4}\left( {TM} \right)\end{array} \right.\end{array}$ $\begin{array}{l}x + 9 = {\left( {2x - 3} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4{x^2} - 12x + 9 = x + 9\\ \Leftrightarrow 4{x^2} - 13x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\left( {KTM} \right)\\x = \frac{{13}}{4}\left( {TM} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ {\frac{{13}}{4}} \right\}$ $S = \left\{ {\frac{{13}}{4}} \right\}$

$d) \sqrt { - {x^2} + 4x - 2} = 2 - x(**)$ $d) \sqrt { - {x^2} + 4x - 2} = 2 - x(**)$

Ta có: $2 - x \ge 0 \Leftrightarrow x \le 2$ $2 - x \ge 0 \Leftrightarrow x \le 2$

Bình phương hai vế của (**) ta được:

$\begin{array}{l} - {x^2} + 4x - 2 = {\left( {2 - x} \right)^2}\\ \Leftrightarrow - {x^2} + 4x - 2 = {x^2} - 4x + 4\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 8x + 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\left( {TM} \right)\\x = 3\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\end{array}$ $\begin{array}{l} - {x^2} + 4x - 2 = {\left( {2 - x} \right)^2}\\ \Leftrightarrow - {x^2} + 4x - 2 = {x^2} - 4x + 4\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 8x + 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\left( {TM} \right)\\x = 3\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ 1 \right\}$ $S = \left\{ 1 \right\}$

Bài 2 trang 59

Giải các phương trình sau:

$a) \sqrt {2 - x} + 2x = 3$ $a) \sqrt {2 - x} + 2x = 3$

$b) \sqrt { - {x^2} + 7x - 6} + x = 4$ $b) \sqrt { - {x^2} + 7x - 6} + x = 4$

Gợi ý đáp án

$a) \sqrt {2 - x} + 2x = 3 \Leftrightarrow \sqrt {2 - x} = 3 - 2x (1)$ $a) \sqrt {2 - x} + 2x = 3 \Leftrightarrow \sqrt {2 - x} = 3 - 2x (1)$

Ta có: $3 - 2x \ge 0 \Leftrightarrow x \le \frac{3}{2}$ $3 - 2x \ge 0 \Leftrightarrow x \le \frac{3}{2}$

Bình phương hai vế của (1) ta được:

$\begin{array}{l}2 - x = {\left( {3 - 2x} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2 - x = 9 - 12x + 4{x^2}\\ \Leftrightarrow 4{x^2} - 11x + 7 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\left( {TM} \right)\\x = \frac{7}{4}\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\end{array}$ $\begin{array}{l}2 - x = {\left( {3 - 2x} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2 - x = 9 - 12x + 4{x^2}\\ \Leftrightarrow 4{x^2} - 11x + 7 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\left( {TM} \right)\\x = \frac{7}{4}\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ 1 \right\}$ $S = \left\{ 1 \right\}$

$b) \sqrt { - {x^2} + 7x - 6} + x = 4 \Leftrightarrow \sqrt { - {x^2} + 7x - 6} = 4 - x (2)$ $b) \sqrt { - {x^2} + 7x - 6} + x = 4 \Leftrightarrow \sqrt { - {x^2} + 7x - 6} = 4 - x (2)$

Ta có: $4 - x \ge 0 \Leftrightarrow x \le 4$ $4 - x \ge 0 \Leftrightarrow x \le 4$

Bình phương hai vế của (2) ta được:

$\begin{array}{l} - {x^2} + 7x - 6 = {\left( {4 - x} \right)^2}\\ \Leftrightarrow - {x^2} + 7x - 6 = 16 - 8x + {x^2}\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 15x + 22 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\left( {TM} \right)\\x = \frac{{11}}{2}\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\end{array}$ $\begin{array}{l} - {x^2} + 7x - 6 = {\left( {4 - x} \right)^2}\\ \Leftrightarrow - {x^2} + 7x - 6 = 16 - 8x + {x^2}\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 15x + 22 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\left( {TM} \right)\\x = \frac{{11}}{2}\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ 2 \right\}$ $S = \left\{ 2 \right\}$

Bài 3 trang 59

Để leo lên một bức tường, bác Nam dùng một chiếc thang có chiều dài cao hơn bức tường đó 1 m. Ban đầu, bác Nam đặt chiếc thang mà đầu trên của chiếc thang đó vừa chạm đúng vào mép trên bức tường (Hình 33a). Sau đó, bác Nam dịch chuyển chân thang vào gần chân tường thêm 0,5 m thì bác Nam nhận thấy thang tạo với mặt đất một góc {60^0} (Hình 33b). Bức tường cao bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Gợi ý đáp án

Gọi chiều cao bức tường DG là x (m) (x>0)

Chiều dài chiếc thang là x+1 (m)

Khoảng cách từ chân thang sau khi bác Nam điều chỉnh là: $EG = \frac{{DG}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{x\sqrt 3 }}{3} (m)$ $EG = \frac{{DG}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{x\sqrt 3 }}{3} (m)$

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông ABC ta có:

$BC = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {x^2}} (m)$ $BC = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {x^2}} (m)$

Bác Nam dịch chuyển chân thang vào gần chân tường thêm 0,5 m nên ta có:

$\sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {x^2}} - 0,5 = \frac{{x\sqrt 3 }}{3}$ $\sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {x^2}} - 0,5 = \frac{{x\sqrt 3 }}{3}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {x^2}} = \frac{x}{{\sqrt 3 }} + 0,5\\ \Leftrightarrow \sqrt {2x + 1} = \frac{x}{{\sqrt 3 }} + 0,5\left( * \right)\end{array}$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {x^2}} = \frac{x}{{\sqrt 3 }} + 0,5\\ \Leftrightarrow \sqrt {2x + 1} = \frac{x}{{\sqrt 3 }} + 0,5\left( * \right)\end{array}$

Ta có $\frac{x}{{\sqrt 3 }} + 0,5 \ge 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt 3 }} \ge - \frac{1}{2} \Leftrightarrow x \ge - \frac{{\sqrt 3 }}{2} (Luôn đúng do x>0)$ $\frac{x}{{\sqrt 3 }} + 0,5 \ge 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt 3 }} \ge - \frac{1}{2} \Leftrightarrow x \ge - \frac{{\sqrt 3 }}{2} (Luôn đúng do x>0)$

Ta bình phương hai vế (*) ta được:

$\begin{array}{l}2x + 1 = {\left( {\frac{x}{{\sqrt 3 }} + 0,5} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2x + 1 = \frac{{{x^2}}}{3} + \frac{x}{{\sqrt 3 }} + 0,25\\ \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{3} + \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3} - 2} \right)x - \frac{3}{4} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \approx 4,7\left( {tm} \right)\\x \approx - 0,5\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}$ $\begin{array}{l}2x + 1 = {\left( {\frac{x}{{\sqrt 3 }} + 0,5} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2x + 1 = \frac{{{x^2}}}{3} + \frac{x}{{\sqrt 3 }} + 0,25\\ \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{3} + \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3} - 2} \right)x - \frac{3}{4} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \approx 4,7\left( {tm} \right)\\x \approx - 0,5\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy chiều cao của bức tường là 4,7 m.

Bài 4 trang 59

Một người đứng ở điểm A trên một bờ sông rộng 300 m, chèo thuyền đến vị trí D, sau đó chạy bộ đến vị trí B cách C một khoảng 800 m như Hình 34. Vận tốc chèo thuyền là 6 km/h, vận tốc chạy bộ là 10 km/h và giả sử vận tốc dòng nước không đáng kể. Tính khoảng cách từ vị trí C đến D, biết tổng thời gian người đó chèo thuyền và chạy bộ từ A đến B là 7,2 phút.

Gợi ý đáp án

Đổi 300 m =0,3 km, 800 m = 0,8 km

7,2 phút =0,12(h)

Gọi khoảng cách từ C đến D là x (km) (0,8>x>0)

Khi đó, DB=0,8-x (km)

Theo định lý Py-ta-go ta có: $AD = \sqrt {A{C^2} + C{D^2}} = \sqrt {0,{3^2} + {{\left( {0,8 - x} \right)}^2}} (km)$ $AD = \sqrt {A{C^2} + C{D^2}} = \sqrt {0,{3^2} + {{\left( {0,8 - x} \right)}^2}} (km)$

Thời gian đi từ A đến D là: $\frac{{\sqrt {0,{3^2} + {{\left( {0,8 - x} \right)}^2}} }}{6}\left( h \right)$ $\frac{{\sqrt {0,{3^2} + {{\left( {0,8 - x} \right)}^2}} }}{6}\left( h \right)$

Thời gian đi từ D đến B là: $\frac{{0,8 - x}}{{10}}\left( h \right)$ $\frac{{0,8 - x}}{{10}}\left( h \right)$

Tổng thời gian người đó chèo thuyền và chạy bộ từ A đến B là 7,2 phút nên ta có phương trình:

$\begin{array}{l}\frac{{\sqrt {0,{3^2} + {{\left( {0,8 - x} \right)}^2}} }}{6} + \frac{{0,8 - x}}{{10}} = 0,12\\ \Leftrightarrow \sqrt {0,{3^2} + {{\left( {0,8 - x} \right)}^2}} .5 + 3.\left( {0,8 - x} \right) = 0,12.30\\ \Leftrightarrow 5.\sqrt {0,{3^2} + {{\left( {0,8 - x} \right)}^2}} - 3x - 1,2 = 0\\ \Leftrightarrow 5.\sqrt {0,{3^2} + {{\left( {0,8 - x} \right)}^2}} = 3x + 1,2\\ \Leftrightarrow 25.\left[ {0,{3^2} + {{\left( {0,8 - x} \right)}^2}} \right] = {\left( {3x + 1,2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 25.\left( {{x^2} - 1,6x + 0,73} \right) = 9{x^2} + 7,2x + 1,44\\ \Leftrightarrow 16{x^2} - 47,2x + 16,81 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{59 + 30\sqrt 2 }}{{40}} > 0,8\left( {ktm} \right)\\x = \frac{{59 - 30\sqrt 2 }}{{40}} \approx 0,414\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}$ $\begin{array}{l}\frac{{\sqrt {0,{3^2} + {{\left( {0,8 - x} \right)}^2}} }}{6} + \frac{{0,8 - x}}{{10}} = 0,12\\ \Leftrightarrow \sqrt {0,{3^2} + {{\left( {0,8 - x} \right)}^2}} .5 + 3.\left( {0,8 - x} \right) = 0,12.30\\ \Leftrightarrow 5.\sqrt {0,{3^2} + {{\left( {0,8 - x} \right)}^2}} - 3x - 1,2 = 0\\ \Leftrightarrow 5.\sqrt {0,{3^2} + {{\left( {0,8 - x} \right)}^2}} = 3x + 1,2\\ \Leftrightarrow 25.\left[ {0,{3^2} + {{\left( {0,8 - x} \right)}^2}} \right] = {\left( {3x + 1,2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 25.\left( {{x^2} - 1,6x + 0,73} \right) = 9{x^2} + 7,2x + 1,44\\ \Leftrightarrow 16{x^2} - 47,2x + 16,81 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{59 + 30\sqrt 2 }}{{40}} > 0,8\left( {ktm} \right)\\x = \frac{{59 - 30\sqrt 2 }}{{40}} \approx 0,414\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Ta bình phương được do $x > 0 \Rightarrow 3x + 1,2 > 0$ $x > 0 \Rightarrow 3x + 1,2 > 0$

Vậy khoảng cách từ vị trí C đến D là 414m.

Bài 5 trang 59

Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng cách AB = 4 km. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng là 7 km. Người canh hải đăng có thể chèo thuyền từ A đến vị trí M trên bờ biển với vận tốc 3 km/h rồi đi bộ đến C với vận tốc 5 km/h như Hình 35. Tính khoảng cách từ vị trí B đến M, biết thời gian người đó đi từ A đến C là 148 phút.

Gợi ý đáp án

Gọi BM=x km (0<x<7)

=> MC=7-x (km)

Ta có: $AM = \sqrt {A{B^2} + B{M^2}} = \sqrt {16 + {x^2}} \left( {km} \right)$ $AM = \sqrt {A{B^2} + B{M^2}} = \sqrt {16 + {x^2}} \left( {km} \right)$

Thời gian từ A đến M là: $\frac{{\sqrt {16 + {x^2}} }}{3}\left( h \right)$ $\frac{{\sqrt {16 + {x^2}} }}{3}\left( h \right)$

Thời gian từ M đến C là: $\frac{{7 - x}}{5}\left( h \right)$ $\frac{{7 - x}}{5}\left( h \right)$

Tổng thời gian từ A đến C là 148 phút nên ta có:

$\begin{array}{l}\frac{{\sqrt {16 + {x^2}} }}{3} + \frac{{7 - x}}{5} = \frac{{148}}{{60}}\\ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {16 + {x^2}} }}{3} + \frac{{7 - x}}{5} = \frac{{37}}{{15}}\\ \Leftrightarrow \frac{{5\sqrt {16 + {x^2}} }}{{15}} + \frac{{3.\left( {7 - x} \right)}}{{15}} = \frac{{37}}{{15}}\\ \Leftrightarrow 5\sqrt {16 + {x^2}} + 3.\left( {7 - x} \right) = 37\\ \Leftrightarrow 5\sqrt {16 + {x^2}} = 16 + 3x\\ \Leftrightarrow 25.\left( {16 + {x^2}} \right) = 9{x^2} + 96x + 256\\ \Leftrightarrow 16{x^2} - 96x + 144 = 0\\ \Leftrightarrow x = 3\left( {tm} \right)\end{array}$ $\begin{array}{l}\frac{{\sqrt {16 + {x^2}} }}{3} + \frac{{7 - x}}{5} = \frac{{148}}{{60}}\\ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {16 + {x^2}} }}{3} + \frac{{7 - x}}{5} = \frac{{37}}{{15}}\\ \Leftrightarrow \frac{{5\sqrt {16 + {x^2}} }}{{15}} + \frac{{3.\left( {7 - x} \right)}}{{15}} = \frac{{37}}{{15}}\\ \Leftrightarrow 5\sqrt {16 + {x^2}} + 3.\left( {7 - x} \right) = 37\\ \Leftrightarrow 5\sqrt {16 + {x^2}} = 16 + 3x\\ \Leftrightarrow 25.\left( {16 + {x^2}} \right) = 9{x^2} + 96x + 256\\ \Leftrightarrow 16{x^2} - 96x + 144 = 0\\ \Leftrightarrow x = 3\left( {tm} \right)\end{array}$

Vậy khoảng cách từ vị trí B đến M là 3 km.

Chia sẻ bởi: