Toán 10 Bài 2: Giải bất phương trình bậc hai một ẩn Giải SGK Toán 10 trang 12 - Tập 2 sách Chân trời sáng tạo

Bài trước

Mục lục

Bài sau

Giải Toán lớp 10 trang 12, 13 tập 2 Chân trời sáng tạo giúp các bạn học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để trả lời các câu hỏi bài tập trong SGK bài 2 Giải bất phương trình bậc hai một ẩn thuộc chương 7 Bất phương trình bậc hai một ẩn.

Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 trang 12, 13 được biên soạn với các lời giải chi tiết, đầy đủ và chính xác bám sát chương trình sách giáo khoa môn Toán lớp 10. Giải Toán lớp 10 trang 12, 13 là tài liệu cực kì hữu ích hỗ trợ các em học sinh trong quá trình giải bài tập. Đồng thời phụ huynh có thể sử dụng để hướng dẫn con em học tập và đổi mới phương pháp giải phù hợp hơn.

Toán 10 Bài 2: Giải bất phương trình bậc hai một ẩn

Giải Toán 10 trang 12, 13 Chân trời sáng tạo - Tập 2

Bài 1 trang 12

Dựa vào đồ thị của hàm số bậc hai tương ứng, hãy xác định tập nghiệm của các bất phương trình bậc hai sau đây:

Gợi ý đáp án

a. Tập nghiệm của bất phương trình là $(-3; \frac{1}{2})$ $(-3; \frac{1}{2})$

b. Tập nghiệm của bất phương trình là mọi $x \neq -4$ $x \neq -4$

c. Tập nghiệm của bất phương trình là $(\frac{3}{2} ; 4)$ $(\frac{3}{2} ; 4)$

d. Bất phương trình vô nghiệm

Bài 2 trang 13

Giải các bất phương trình bậc hai sau :

a. $2x^{2} - 15x + 28 \geq 0$ $2x^{2} - 15x + 28 \geq 0$

$b. -2x^{2} + 19x +255 > 0$ $b. -2x^{2} + 19x +255 > 0$

$c. 12x^{2} < 12x -8$ $c. 12x^{2} < 12x -8$

$d. x^{2} + x - 1 \geq 5x^{2} - 3x$ $d. x^{2} + x - 1 \geq 5x^{2} - 3x$

Gợi ý đáp án

a. Xét hàm số $f(x) = 2x^{2} - 15x + 28$ $f(x) = 2x^{2} - 15x + 28$. ta có $\Delta = (-15)^{2} - 4.2.28 = 1 > 0$ $\Delta = (-15)^{2} - 4.2.28 = 1 > 0$. nên f(x) có hai nghiệm phân biệt :

$x_{1} = \frac{15-1}{2.2} = 3,5$ $x_{1} = \frac{15-1}{2.2} = 3,5$

$x_{2} = \frac{15+1}{2.2} = 4$ $x_{2} = \frac{15+1}{2.2} = 4$

f(x) có a = 2 > 0 nên f(x) > 0 khi $x \epsilon (-\infty ; 3,5)$ $x \epsilon (-\infty ; 3,5)$ hoặc $(4; +\infty )$ $(4; +\infty )$

Vậy nghiệm của bất phương trình $2x^{2} - 15x + 28 \geq 0$ $2x^{2} - 15x + 28 \geq 0$ là : $x \leq 3,5$ $x \leq 3,5$ hoặc $x \geq 4$ $x \geq 4$

b. Xét hàm số $f(x) = -2x^{2} + 19x + 255$ $f(x) = -2x^{2} + 19x + 255$ có $\Delta = 19^{2} - 4.(-2).255 = 2401 > 0$ $\Delta = 19^{2} - 4.(-2).255 = 2401 > 0$. Nên f(x) có hai nghiệm phân biệt.

$x_{1} = \frac{-19-\sqrt{2401} }{2.(-2)} = 17$ $x_{1} = \frac{-19-\sqrt{2401} }{2.(-2)} = 17$

$x_{2} = \frac{-19+\sqrt{2401} }{2.(-2)} = -7,5$ $x_{2} = \frac{-19+\sqrt{2401} }{2.(-2)} = -7,5$

f(x) >0 khi $x \epsilon (-7,5 ; 17)$ $x \epsilon (-7,5 ; 17)$

c. Xét hàm số $f(x) = 12x^{2}-12x + 8$ $f(x) = 12x^{2}-12x + 8$ có $\Delta = (-12)^{2} - 4. 12.8 = -240 < 0$ $\Delta = (-12)^{2} - 4. 12.8 = -240 < 0$ và có a = 12 > 0 nên f(x) luôn lớn hơn 0 với mọi x

Vậy với mọi x ta luôn có : $12x^{2} < 12x - 8$ $12x^{2} < 12x - 8$

d. Xét hàm số $f(x) = x^{2} + x -1 - 5x^{2} + 3x = -4x^{2} + 4x -1.$ $f(x) = x^{2} + x -1 - 5x^{2} + 3x = -4x^{2} + 4x -1.$ Có $\Delta = 4^{2} - 4.(-4).(-1) = 0$ $\Delta = 4^{2} - 4.(-4).(-1) = 0$. Vậy f(x) có nghiệm kép x = 0,5

Vậy để $x^{2} + x -1 \geq 5x^{2} - 3x$ $x^{2} + x -1 \geq 5x^{2} - 3x$ thì x = 0,5

Bài 3 trang 13

Kim muốn trồng một vườn hoa trên mảnh đất hình chữ nhật và làm hàng rào bao quanh. Kim chỉ có đủ vật liệu để làm 30m hàng rào nhưng muốn diện tích vườn hoa ít nhất là 50 m^{2}. Hỏi chiều rộng của vườn hoa nằm trong khoảng nào?

Gợi ý đáp án

Giả sử chiều rộng của vườn hoa là x và chiều dài là y thì theo dữ liệu đề bài ta có :

2(x+y) = 30 (1) và $x.y \geq 50 (2)$ $x.y \geq 50 (2)$

Từ (1) $\Rightarrow x+y =15 \Rightarrow y = 15-x$ $\Rightarrow x+y =15 \Rightarrow y = 15-x$. Thay vào (2) ta có: $x.(15-x) \geq 50 \Rightarrow -x^{2} + 15x - 50 \geq 0$ $x.(15-x) \geq 50 \Rightarrow -x^{2} + 15x - 50 \geq 0$

Xét tam thức bậc hai một ẩn $f(x) = -x^{2} + 15x - 50$ $f(x) = -x^{2} + 15x - 50$ ta có : $\Delta = 15^{2}-4(-1)(-50) = 25 >$ $\Delta = 15^{2}-4(-1)(-50) = 25 >$ 0 nên f(x) có hai nghiệm phân biệt

$x_{1} = \frac{-15-\sqrt{25}}{2.(-1)} = 10$ $x_{1} = \frac{-15-\sqrt{25}}{2.(-1)} = 10$

$x_{2} = \frac{-15+\sqrt{25}}{2.(-1)} = 5$ $x_{2} = \frac{-15+\sqrt{25}}{2.(-1)} = 5$

Và có a = -1 < 0 nên f(x) > 0 khi $x \epsilon (5;10)$ $x \epsilon (5;10)$

Vậy chiều rộng của vườn hoa nằm trong khoảng từ 5 đến 10m.

Bài 4 trang 13

Một quả bóng được ném thẳng lên từ độ cao 1,6m so với mặt đất với vận tốc 10m/s.Độ cao của bóng so với mặt đất (tính bằng m) sau t giây được cho bởi hàm số

$h(t) = -4,9t^{2} + 10t + 1.$ $h(t) = -4,9t^{2} + 10t + 1.$

Hỏi :

a. Bóng có thể cao trên 7m không?

b. Bóng ở độ cao trên 5m trong khoảng thời gian bao lâu? Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm

Gợi ý đáp án

a. Xét hàm $h(t)= -4,9t^{2} + 10t + 1 - 7 = -4,9t^{2} + 10t - 6$ $h(t)= -4,9t^{2} + 10t + 1 - 7 = -4,9t^{2} + 10t - 6$ có $\Delta = -17,6 < 0$ $\Delta = -17,6 < 0$ và a= -4,9 < 0 nên h(t) luôn <0 tức là $-4,9t^{2} + 10t +1 < 7.$ $-4,9t^{2} + 10t +1 < 7.$ Như vậy bóng không thể cao trên 7m

b. Xét hàm $h(t)= -4,9t^{2} + 10t +1 - 5 = -4,9t^{2} + 10t - 4$ $h(t)= -4,9t^{2} + 10t +1 - 5 = -4,9t^{2} + 10t - 4$ có $\Delta = 21,6 > 0$ $\Delta = 21,6 > 0$ nên h(t) có hai nghiệm phân biệt :

$x_{1}= 1,5$ $x_{1}= 1,5$

Và có a = -4,9 < 0. nên f(x) > 0 khi $x \epsilon (0,55 ; 1,5)$ $x \epsilon (0,55 ; 1,5)$

Hay bóng ở độ cao trên 5m trong khoảng thời gian từ 0,55 giây đến 1,5 giây

Bài 5 trang 13

Mặt cắt ngang của mặt đường thường có dạng hình parabol để nước mưa dễ dàng thoát sang hai bên. Mặt cắt ngang của một con đường được mô tả bằng hàm số $y = -0,006x^{2}$ $y = -0,006x^{2}$ với gốc tọa độ đặt tại tim đường và đơn vị đo là mét trong hình 4. Với chiều rộng của đường như thế nào thì tim đường cao hơn lề đường không quá 15cm.

Gợi ý đáp án

Theo dữ liệu của bài ta có : $-0,006x^{2} -0,15 \leq 0$ $-0,006x^{2} -0,15 \leq 0$

Ta xét $f(x) = -0,006x^{2} - 0,15.$ $f(x) = -0,006x^{2} - 0,15.$ có $\Delta = 0-4 (-0,006)(-0,15) = 0,0036 > 0$ $\Delta = 0-4 (-0,006)(-0,15) = 0,0036 > 0$ nên f(x) có hai nghiệm phân biệt

$x_{1} = \frac{-0-\sqrt{0,0036}}{2.(-0,006)} = \frac{1}{2}$ $x_{1} = \frac{-0-\sqrt{0,0036}}{2.(-0,006)} = \frac{1}{2}$

$x_{2} = \frac{-0+\sqrt{0,0036}}{2.(-0,006)} = -\frac{1}{2}$ $x_{2} = \frac{-0+\sqrt{0,0036}}{2.(-0,006)} = -\frac{1}{2}$

và a = -0,006 < 0 nên $-0,006x^{2} -0,15 \leq 0$ $-0,006x^{2} -0,15 \leq 0$ khi x thuộc đoạn từ $[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$ $[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$

Lý thuyết Bất phương trình bậc hai một ẩn

– Bất phương trình bậc hai một ẩn x là bất phương trình có một trong các dạng:

$ax^{2} + bx + c ≤ 0$ $ax^{2} + bx + c ≤ 0$, $ax^{2} + bx + c < 0$ $ax^{2} + bx + c < 0$, $ax^{2} + bx + c ≥ 0$ $ax^{2} + bx + c ≥ 0$, $ax^{2} + bx + c > 0$ $ax^{2} + bx + c > 0$, với a ≠ 0.

Nghiệm của bất phương trình bậc hai là các giá trị của biến x mà khi thay vào bất phương trình ta được bất đẳng thức đúng.

Ví dụ: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc hai một ẩn? Nếu là bất phương trình bậc hai một ẩn, x = –2 và x = 3 có phải là nghiệm của bất phương trình đó hay không?

a) $2x^{2} -7x-15 < 0$ $2x^{2} -7x-15 < 0$;

b) $3 - 2x^{2} + x^{3} > 0$ $3 - 2x^{2} + x^{3} > 0$;

c) $x^{2} -4x + 3 ≥ 0$ $x^{2} -4x + 3 ≥ 0$.

Hướng dẫn giải

a) $2x^{2} -7x-15 < 0$ $2x^{2} -7x-15 < 0$

Bất phương trình trên là bất phương trình bậc hai một ẩn dạng $ax^{2} + bx + c < 0$ $ax^{2} + bx + c < 0$ với a = 2, b = –7, c = –15.

Với x = –2 thay vào bất phương trình ta có:

2.(–2)² – 7.(–2) – 15 < 0

⇔ 7 < 0. Đây là bất đẳng thức sai.

Do đó x = –2 không là nghiệm của bất phương trình.

Với x = 3 thay vào bất phương trình ta có:

2.3² – 7.3 – 15 < 0