Toán 10 Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế Giải SGK Toán 10 trang 77 - Tập 1 sách Chân trời sáng tạo

Tải về Bình luận

Bài trước

Mục lục

Bài sau

Toán 10 Bài 3 Chân trời sáng tạo trang 77, 78 giúp các bạn học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để trả lời các câu hỏi phần Vận dụng và 6 bài tập trong SGK bài Giải tam giác và ứng dụng thực tế.

Giải Toán 10 Chân trời sáng tạo bài 3 trang 77, 78 được biên soạn với các lời giải chi tiết, đầy đủ và chính xác bám sát chương trình sách giáo khoa môn Toán 10 tập 1. Giải Toán 10 bài 3 Chân trời sáng tạo là tài liệu cực kì hữu ích hỗ trợ các em học sinh lớp 10 trong quá trình giải bài tập. Đồng thời phụ huynh có thể sử dụng để hướng dẫn con em học tập và đổi mới phương pháp giải phù hợp hơn. Vậy sau đây là nội dung chi tiết giải Toán 10 Bài 3 Giải tam giác và ứng dụng thực tế mời các bạn cùng theo dõi.

Toán 10 Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Trả lời Vận dụng Toán 10 Bài 3 CTST

Vận dụng 1

Hai máy bay cùng cất cánh từ một sân bay nhưng bay theo hai hướng khác nhau. Một chiếc di chuyển với tốc độ 450km/h theo hướng tâu và chiếc còn lại di chuyển theo hướng lệch so với hướng bắc 250 về phía tây với tốc độ 630km/h (Hình 5). Sau 90 phút, hai máy bay cách nhau bao nhiêu ki lô mét? Giả sử chúng đang ở cùng độ cao.

Gợi ý đáp án

Gọi A và B lần lượt là vị trí của hai máy bay sau khi cất cánh 90 phút.

Đổi 90 phút = 1,5 giờ

Sau 90 phút (tức là sau 1,5 giờ) chiếc máy bay di chuyển theo hướng tây đi được quãng đường là: 450.1,5 = 675 km

=> OA = 675 km

Sau 90 phút (tức là sau 1,5 giờ) chiếc máy bay di chuyển theo hướng lệch bắc 25° về phía tây đi được quãng đường là: 630.1,5 = 945 km

=> OB = 945 km

Ta có $\widehat {AOB} = {90^0} - {25^0} = {65^0}$ $\widehat {AOB} = {90^0} - {25^0} = {65^0}$

Áp dụng định lí côsin cho tam giác OAB ta có:

$\begin{matrix} A{B^2} = O{A^2} + O{B^2} - 2.OA.OB.\cos \widehat {AOB} \hfill \\ \Rightarrow A{B^2} = {675^2} + {945^2} - 2.675.945.\cos {65^0} \hfill \\ \Rightarrow AB \approx 899,8 \hfill \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} A{B^2} = O{A^2} + O{B^2} - 2.OA.OB.\cos \widehat {AOB} \hfill \\ \Rightarrow A{B^2} = {675^2} + {945^2} - 2.675.945.\cos {65^0} \hfill \\ \Rightarrow AB \approx 899,8 \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy sau 90 phút hai máy bay cách nhau khoảng 899,8 km.

Vận dụng 2

Trên bản đồ địa lí, người ta thường gọi tứ giác với bốn đỉnh lần lượt là các thành phố Hà Tiên, Châu Đốc, Long Xuyên, Rạch Giá là tứ giác Long Xuyên. Dựa theo các khoảng cách đã cho trên Hình 6, tính khoảng cách giữa Châu Đốc và Rạch Giá.

Gợi ý đáp án

Sử dụng hệ quả định lí cosin cho tam giác RHL ta có:

$\begin{matrix} \cos \widehat {RHL} = \dfrac{{R{L^2} + H{L^2} - R{H^2}}}{{2.RL.HL}} = \dfrac{{{{56}^2} + {{104}^2} - {{77}^2}}}{{2.56.104}} \approx 0,6888 \hfill \\ \Rightarrow \widehat {RHL} \approx {46^0}28 \hfill \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} \cos \widehat {RHL} = \dfrac{{R{L^2} + H{L^2} - R{H^2}}}{{2.RL.HL}} = \dfrac{{{{56}^2} + {{104}^2} - {{77}^2}}}{{2.56.104}} \approx 0,6888 \hfill \\ \Rightarrow \widehat {RHL} \approx {46^0}28 \hfill \\ \end{matrix}$

Sử dụng hệ quả định lí cosin cho tam giác CHL ta có:

$\begin{matrix} \cos \widehat {CHL} = \dfrac{{C{L^2} + H{L^2} - C{H^2}}}{{2.CL.HL}} = \dfrac{{{{49}^2} + {{104}^2} - {{78}^2}}}{{2.49.104}} \approx 0,6999 \hfill \\ \Rightarrow \widehat {CHL} \approx {45^0}35 \hfill \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} \cos \widehat {CHL} = \dfrac{{C{L^2} + H{L^2} - C{H^2}}}{{2.CL.HL}} = \dfrac{{{{49}^2} + {{104}^2} - {{78}^2}}}{{2.49.104}} \approx 0,6999 \hfill \\ \Rightarrow \widehat {CHL} \approx {45^0}35 \hfill \\ \end{matrix}$

=> $\widehat {CLR} = \widehat {CHL} + \widehat {RHL} \approx {45^0}35 + {46^0}28 \approx {92^0}3$ $\widehat {CLR} = \widehat {CHL} + \widehat {RHL} \approx {45^0}35 + {46^0}28 \approx {92^0}3$

Áp dụng định lí cosin cho tam giác LCR ta có:

$\begin{matrix} C{R^2} = C{L^2} + L{R^2} - 2CL.LR.\cos \widehat {CLR} \hfill \\ \Rightarrow C{R^2} = {49^2} + {56^2} - 2.49.56.\cos {92^0} \hfill \\ \Rightarrow CR \approx 75,7 \hfill \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} C{R^2} = C{L^2} + L{R^2} - 2CL.LR.\cos \widehat {CLR} \hfill \\ \Rightarrow C{R^2} = {49^2} + {56^2} - 2.49.56.\cos {92^0} \hfill \\ \Rightarrow CR \approx 75,7 \hfill \\ \end{matrix}$

Giải Toán 10 trang 77, 78 Chân trời sáng tạo - Tập 1

Bài 1 trang 77

Giải tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) $AB = 14,AC = 23,\widehat A = {125^o}.$ $AB = 14,AC = 23,\widehat A = {125^o}.$

b) $BC = 22,4;\widehat B = {64^o};\widehat C = {38^o}.$ $BC = 22,4;\widehat B = {64^o};\widehat C = {38^o}.$

c) $AC = 22,\widehat B = {120^o},\widehat C = {28^o}.$ $AC = 22,\widehat B = {120^o},\widehat C = {28^o}.$

d) AB = 23,AC = 32,BC = 44

Gợi ý đáp án

$a) AB = 14,AC = 23,\widehat A = {125^o}.$ $a) AB = 14,AC = 23,\widehat A = {125^o}.$

Ta cần tính cạnh BC và hai góc $\widehat B,\widehat C.$ $\widehat B,\widehat C.$

Áp dụng định lí cosin, ta có:

$\begin{array}{l}B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.\cos A\\ \Leftrightarrow B{C^2} = {14^2} + {23^2} - 2.14.23.\cos {125^o}\\ \Rightarrow BC \approx 33\end{array}$ $\begin{array}{l}B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.\cos A\\ \Leftrightarrow B{C^2} = {14^2} + {23^2} - 2.14.23.\cos {125^o}\\ \Rightarrow BC \approx 33\end{array}$

Áp dụng định lí sin, ta có:

$\begin{array}{l}\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Leftrightarrow \frac{{33}}{{\sin {{125}^o}}} = \frac{{23}}{{\sin B}} = \frac{{14}}{{\sin C}}\\ \Rightarrow \sin B = \frac{{23.\sin {{125}^o}}}{{33}} \approx 0,57\\ \Rightarrow \widehat B \approx {35^o} \Rightarrow \widehat C \approx {20^o}\end{array}$ $\begin{array}{l}\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Leftrightarrow \frac{{33}}{{\sin {{125}^o}}} = \frac{{23}}{{\sin B}} = \frac{{14}}{{\sin C}}\\ \Rightarrow \sin B = \frac{{23.\sin {{125}^o}}}{{33}} \approx 0,57\\ \Rightarrow \widehat B \approx {35^o} \Rightarrow \widehat C \approx {20^o}\end{array}$

b) $BC = 22,4;\widehat B = {64^o};\widehat C = {38^o}.$ $BC = 22,4;\widehat B = {64^o};\widehat C = {38^o}.$

Ta cần tính góc A và hai cạnh AB, AC.

Ta có: $\widehat A = {180^o} - \widehat B - \widehat C = {180^o} - {64^o} - {38^o} = {78^o}$ $\widehat A = {180^o} - \widehat B - \widehat C = {180^o} - {64^o} - {38^o} = {78^o}$

Áp dụng định lí sin, ta có:

$\begin{array}{l}\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Leftrightarrow\frac{{22}}{{\sin {{78}^o}}} = \frac{{AC}}{{\sin {{64}^o}}} = \frac{{AB}}{{\sin {{38}^o}}}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC = \sin {64^o}.\frac{{22}}{{\sin {{78}^o}}} \approx 20,22\\AB = \sin {38^o}.\frac{{22}}{{\sin {{78}^o}}} \approx 13,85\end{array} \right.\end{array}$ $\begin{array}{l}\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Leftrightarrow\frac{{22}}{{\sin {{78}^o}}} = \frac{{AC}}{{\sin {{64}^o}}} = \frac{{AB}}{{\sin {{38}^o}}}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC = \sin {64^o}.\frac{{22}}{{\sin {{78}^o}}} \approx 20,22\\AB = \sin {38^o}.\frac{{22}}{{\sin {{78}^o}}} \approx 13,85\end{array} \right.\end{array}$

c) $AC = 22,\widehat B = {120^o},\widehat C = {28^o}.$ $AC = 22,\widehat B = {120^o},\widehat C = {28^o}.$

Ta cần tính góc A và hai cạnh AB, BC.

Ta có $: \widehat A = {180^o} - \widehat B - \widehat C = {180^o} - {120^o} - {28^o} = {32^o}$ $: \widehat A = {180^o} - \widehat B - \widehat C = {180^o} - {120^o} - {28^o} = {32^o}$

Áp dụng định lí sin, ta có:

$\begin{array}{l}\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Leftrightarrow \frac{{BC}}{{\sin {{32}^o}}} = \frac{{22}}{{\sin {{120}^o}}} = \frac{{AB}}{{\sin {{28}^o}}}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BC = \sin {32^o}.\frac{{22}}{{\sin {{120}^o}}} \approx 13,5\\AB = \sin {28^o}.\frac{{22}}{{\sin {{120}^o}}} \approx 12\end{array} \right.\end{array}$ $\begin{array}{l}\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Leftrightarrow \frac{{BC}}{{\sin {{32}^o}}} = \frac{{22}}{{\sin {{120}^o}}} = \frac{{AB}}{{\sin {{28}^o}}}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BC = \sin {32^o}.\frac{{22}}{{\sin {{120}^o}}} \approx 13,5\\AB = \sin {28^o}.\frac{{22}}{{\sin {{120}^o}}} \approx 12\end{array} \right.\end{array}$

d) AB = 23,AC = 32,BC = 44

Ta cần tính số đo ba góc $\widehat A,\widehat B,\widehat C$ $\widehat A,\widehat B,\widehat C$

Áp dụng hệ quả của định lí cosin, ta có:

$\begin{array}{l}\cos A = \frac{{A{C^2} + A{B^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}};\cos B = \frac{{B{C^2} + A{B^2} - A{C^2}}}{{2.BC.BA}}\\ \Rightarrow \cos A = \frac{{{{32}^2} + {{23}^2} - {{44}^2}}}{{2.32.23}} = \frac{{ - 383}}{{1472}};\cos B = \frac{{{{44}^2} + {{23}^2} - {{32}^2}}}{{2.44.23}} = \frac{{131}}{{184}}\\ \Rightarrow \widehat A \approx {105^o},\widehat B = {44^o}36$ $\begin{array}{l}\cos A = \frac{{A{C^2} + A{B^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}};\cos B = \frac{{B{C^2} + A{B^2} - A{C^2}}}{{2.BC.BA}}\\ \Rightarrow \cos A = \frac{{{{32}^2} + {{23}^2} - {{44}^2}}}{{2.32.23}} = \frac{{ - 383}}{{1472}};\cos B = \frac{{{{44}^2} + {{23}^2} - {{32}^2}}}{{2.44.23}} = \frac{{131}}{{184}}\\ \Rightarrow \widehat A \approx {105^o},\widehat B = {44^o}36'\\ \Rightarrow \widehat C = {30^o}24'\end{array}$

Bài 2 trang 77

Để lắp đường dây diện cao thế từ vị trí A đến vị trí B, do phải tránh một ngọn núi nên người ta phải nối đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 10 km, sau đó nối đường dây từ vị trí C đến vị trí B dài 8km. Góc tạo bởi hai đoạn dây AC và CB là ${70^o}$ ${70^o}$. Tính chiều dài tăng thêm vì không thể nối trực tiếp từ A đến B.

Gợi ý đáp án

Áp dụng định lí cosin, ta có:

$\begin{array}{l}A{B^2} = B{C^2} + A{C^2} - 2.BC.AC.\cos C\\ \Leftrightarrow A{B^2} = {8^2} + {10^2} - 2.8.10.\cos {70^o}\\ \Rightarrow AB \approx 10,45\end{array}$ $\begin{array}{l}A{B^2} = B{C^2} + A{C^2} - 2.BC.AC.\cos C\\ \Leftrightarrow A{B^2} = {8^2} + {10^2} - 2.8.10.\cos {70^o}\\ \Rightarrow AB \approx 10,45\end{array}$

Vậy chiều dài tăng thêm vì không thể nối trực tiếp là:

AC + CB - AB = 10 + 8 - 10,45 = 7,55 (km).

Bài 3 trang 77

Một người đứng cách thân một các quạt gió 16 m và nhìn thấy tâm của cánh quạt với góc nâng $56,{5^o}$ $56,{5^o}$(Hình 8). Tính khoảng cách từ tâm của cánh quạt đến mặt đất. Cho biết khoảng cách từ mắt của người đó đến mặt đất là 1,5m.

Gợi ý đáp án

Kí hiệu các điểm A, B, C như hình dưới.

Cách 1:

Ta có: $\widehat B = {90^o} - 56,{5^o} = 33,{5^o}$ $\widehat B = {90^o} - 56,{5^o} = 33,{5^o}$

Áp dụng định lí sin, ta có: $\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}}$ $\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}}$

$\Rightarrow BC = \sin A.\frac{{AC}}{{\sin B}} = \sin 56,{5^o}.\frac{{16}}{{\sin 33,{5^o}}} \approx 24,2\;(m)$ $\Rightarrow BC = \sin A.\frac{{AC}}{{\sin B}} = \sin 56,{5^o}.\frac{{16}}{{\sin 33,{5^o}}} \approx 24,2\;(m)$

Vậy khoảng cách từ tâm của cánh quạt đến mặt đất là 24,2 + 1,5 = 15,7(m)

Bài 4 trang 78

Tính chiều cao AB của một ngọn núi. Biết tại hai điểm C, D cách nhau 1 km trên mặt đất (B, C, D thẳng hàng), người ta nhìn thấy đỉnh A của núi với góc nâng lần lượt là ${32^ \circ } và {40^ \circ }$ ${32^ \circ } và {40^ \circ }$ (Hình 9).

Gợi ý đáp án

Tam giác ABC vuông tại B nên ta có

: $\tan C = \frac{{AB}}{{CB}} \Leftrightarrow AB = \tan {32^ \circ }.(1 + x)$ $\tan C = \frac{{AB}}{{CB}} \Leftrightarrow AB = \tan {32^ \circ }.(1 + x)$

Tam giác ADB vuông tại B nên ta có:

$\tan D = \frac{{AB}}{{DB}} \Leftrightarrow AB = \tan {40^ \circ }.x$ $\tan D = \frac{{AB}}{{DB}} \Leftrightarrow AB = \tan {40^ \circ }.x$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \tan {32^ \circ }.(1 + x) = \tan {40^ \circ }.x\\ \Leftrightarrow x.(\tan {40^ \circ } - \tan {32^ \circ }) = \tan {32^ \circ }\\ \Leftrightarrow x = \frac{{\tan {{32}^ \circ }}}{{\tan {{40}^ \circ } - \tan {{32}^ \circ }}}\\ \Leftrightarrow x \approx 2,9\;(km)\end{array}$ $\begin{array}{l} \Rightarrow \tan {32^ \circ }.(1 + x) = \tan {40^ \circ }.x\\ \Leftrightarrow x.(\tan {40^ \circ } - \tan {32^ \circ }) = \tan {32^ \circ }\\ \Leftrightarrow x = \frac{{\tan {{32}^ \circ }}}{{\tan {{40}^ \circ } - \tan {{32}^ \circ }}}\\ \Leftrightarrow x \approx 2,9\;(km)\end{array}$

$\Rightarrow AB \approx \tan {40^ \circ }.2,92 \approx 2,45\;(km)$ $\Rightarrow AB \approx \tan {40^ \circ }.2,92 \approx 2,45\;(km)$

Vậy chiều cao của ngọn núi là 2,45 km.

Bài 5 trang 78

Hai người quan sát khinh khí cầu tại hai địa điểm P và Q nằm ở sườn đồi nghiêng ${32^ \circ }$ ${32^ \circ }$ so với phương ngang, cách nhau 60 m (Hình 10). Người quan sát tại P xác định góc nâng của khinh khí cầu là ${62^ \circ }.$ ${62^ \circ }.$ Cùng lúc đó, người quan sát tại Q xác định góc nâng của khinh khí cầu đó là ${70^ \circ }.$ ${70^ \circ }.$ Tính khoảng cách từ Q đến khinh khí cầu.

Gợi ý đáp án

Gọi A là vị trí của khinh khí cầu, Pt là đường sườn đồi như hình.

Ta có:

Tại P, góc nâng của khinh khí cầu là

${62^ \circ } \Rightarrow \widehat P = {62^ \circ } - {32^ \circ } = {30^ \circ }$ ${62^ \circ } \Rightarrow \widehat P = {62^ \circ } - {32^ \circ } = {30^ \circ }$

Tại Q, góc nâng của khinh khí cầu là ${70^ \circ } \Rightarrow \widehat {AQt} = {70^ \circ } - {32^ \circ } = {38^ \circ }$ ${70^ \circ } \Rightarrow \widehat {AQt} = {70^ \circ } - {32^ \circ } = {38^ \circ }$

$\Rightarrow \widehat {AQP} = {180^ \circ } - {38^ \circ } = {142^ \circ } và \widehat A = {180^ \circ } - {142^ \circ } - {30^ \circ } = {8^ \circ }$ $\Rightarrow \widehat {AQP} = {180^ \circ } - {38^ \circ } = {142^ \circ } và \widehat A = {180^ \circ } - {142^ \circ } - {30^ \circ } = {8^ \circ }$

Áp dụng định lí sin trong tam giác APQ, ta có:

$\begin{array}{l}\frac{{PQ}}{{\sin A}} = \frac{{QA}}{{\sin P}}\\ \Rightarrow QA = \sin P.\frac{{PQ}}{{\sin A}} = \sin {30^ \circ }.\frac{{60}}{{\sin {8^ \circ }}} \approx 215,56\;(m)\end{array}$ $\begin{array}{l}\frac{{PQ}}{{\sin A}} = \frac{{QA}}{{\sin P}}\\ \Rightarrow QA = \sin P.\frac{{PQ}}{{\sin A}} = \sin {30^ \circ }.\frac{{60}}{{\sin {8^ \circ }}} \approx 215,56\;(m)\end{array}$

Vậy khoảng cách từ Q đến khinh khí cầu là 215,56 m.

Bài 6 trang 78

Một người đứng ở trên một tháp truyền hình cao 352 m so với mặt đất, muốn xác định khoảng cách giữa hai cột mốc trên mặt dất bên dưới. Người đó quan sát thấy góc được tạo bởi hai đường ngắm tới hai mốc này là ${43^ \circ }$ ${43^ \circ }$, góc giữa phương thẳng đứng và đường ngắm tới một điểm mốc trên mặt đất là ${62^ \circ }$ ${62^ \circ }$ và đến điểm mốc khác là ${54^ \circ }$ ${54^ \circ }$(Hình 11). Tính khoảng cách giữa hai cột mốc này.

Gợi ý đáp án

Gọi các điểm A, B, C, H như hình trên.

Xét tam giác ABH ta có:

$AH = 352,\;\widehat {BAH} = {62^ \circ }$ $AH = 352,\;\widehat {BAH} = {62^ \circ }$

Mà $\cos \widehat {BAH} = \frac{{AH}}{{AB}} \Rightarrow AB = 352.\cos {62^ \circ } \approx 165,25$ $\cos \widehat {BAH} = \frac{{AH}}{{AB}} \Rightarrow AB = 352.\cos {62^ \circ } \approx 165,25$

Tương tự, ta có: $\cos \widehat {CAH} = \frac{{AH}}{{AC}} \Rightarrow AC = 352.\cos {54^ \circ } \approx 206,9$ $\cos \widehat {CAH} = \frac{{AH}}{{AC}} \Rightarrow AC = 352.\cos {54^ \circ } \approx 206,9$

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC, ta có:

$\begin{array}{l}B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.\cos A\\ \Leftrightarrow B{C^2} = 165,{25^2} + 206,{9^2} - 2.165,25.206,9.\cos {43^ \circ }\\ \Rightarrow BC \approx 141,8\end{array}$ $\begin{array}{l}B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.\cos A\\ \Leftrightarrow B{C^2} = 165,{25^2} + 206,{9^2} - 2.165,25.206,9.\cos {43^ \circ }\\ \Rightarrow BC \approx 141,8\end{array}$

Vậy khoảng cách giữa hai cột mốc này là 141,8 m.

Chia sẻ bởi: