Toán 10 Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ Giải SGK Toán 10 trang 101 - Tập 1 sách Chân trời sáng tạo

Bài trước

Mục lục

Bài sau

Toán 10 bài 4 Chân trời sáng tạo trang 101 giúp các bạn học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để trả lời các câu hỏi phần Vận dụng và 6 bài tập trong SGK bài Tích vô hướng của hai vectơ.

Giải Toán 10 Chân trời sáng tạo bài 4 trang 101 được biên soạn với các lời giải chi tiết, đầy đủ và chính xác bám sát chương trình sách giáo khoa môn Toán 10 tập 1. Giải Toán 10 bài 4 Chân trời sáng tạo là tài liệu cực kì hữu ích hỗ trợ các em học sinh lớp 10 trong quá trình giải bài tập. Đồng thời phụ huynh có thể sử dụng để hướng dẫn con em học tập và đổi mới phương pháp giải phù hợp hơn. Vậy sau đây là nội dung chi tiết giải Toán 10 bài 4 Tích vô hướng của hai vectơ mời các bạn cùng theo dõi.

Toán 10 Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ

Vận dụng Toán 10 Chân trời sáng tạo trang 101

Giải Toán 10 trang 101 Chân trời sáng tạo

Vận dụng Toán 10 Chân trời sáng tạo trang 101

Vận dụng 1

Một người dùng một lực $\overrightarrow F$ $\overrightarrow F$ có độ lớn là 20 N kéo một vật dịch chuyển một đoạn 50 m cùng hướng với $\overrightarrow F$ $\overrightarrow F$ . Tính công sinh bởi lực $\overrightarrow F$ $\overrightarrow F$ .

Gợi ý đáp án

Khi lực $\overrightarrow F$ $\overrightarrow F$ không đổi tác dụng lên một vật và điểm đặt của lực đó chuyển dời một đoạn s theo hướng hợp với hướng của lực góc α thì công thực hiện bởi lực đó được tính theo công thức:

A = F.s.cosα

Ta có lực $\overrightarrow F$ $\overrightarrow F$ cùng hướng với hướng dịch chuyển của vật

=> Góc tạo bởi lực $\overrightarrow F$ $\overrightarrow F$ và hướng dịch chuyển là 0°

Vậy công sinh bởi lực F là: A = 20 . 50 . cos0° = 1000 (J)

Vận dụng 2

Phân tử sulfur dioxide (SO ₂ ) có cấu tạo hình chữ V, góc liên kết $\widehat {OSO}$ $\widehat {OSO}$ gần bằng 120°. Người ta biểu diễn sự phân cực giữa nguyên tử S với mỗi nguyên tử O bằng các vectơ $\overrightarrow {{\mu _1}} ;\overrightarrow {{\mu _2}}$ $\overrightarrow {{\mu _1}} ;\overrightarrow {{\mu _2}}$ có cùng phương với liên kết cộng hóa trị, có chiều từ nguyên tử S về mỗi nguyên tử O và cùng có độ dài là 1,6 đơn vị (Hình 6). Cho biết vectơ tổng $\overrightarrow \mu = \overrightarrow {{\mu _1}} + \overrightarrow {{\mu _2}}$ $\overrightarrow \mu = \overrightarrow {{\mu _1}} + \overrightarrow {{\mu _2}}$ được dùng để biểu diễn sự phân cực của cả phân tử SO ₂ . Tính độ dài của $\overrightarrow \mu$ $\overrightarrow \mu$

Gợi ý đáp án

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left| {\overrightarrow {{\mu _1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{\mu _2}} } \right| = 1,6} \\ {\left( {\overrightarrow {{\mu _1}} ;\overrightarrow {{\mu _2}} } \right) = \widehat {OSO} = {{120}^0}} \end{array}} \right.$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left| {\overrightarrow {{\mu _1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{\mu _2}} } \right| = 1,6} \\ {\left( {\overrightarrow {{\mu _1}} ;\overrightarrow {{\mu _2}} } \right) = \widehat {OSO} = {{120}^0}} \end{array}} \right.$

=> $\overrightarrow {{\mu _1}} .\overrightarrow {{\mu _2}} = \left| {\overrightarrow {{\mu _1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{\mu _2}} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {{\mu _1}} ;\overrightarrow {{\mu _2}} } \right) = - 1,28$ $\overrightarrow {{\mu _1}} .\overrightarrow {{\mu _2}} = \left| {\overrightarrow {{\mu _1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{\mu _2}} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {{\mu _1}} ;\overrightarrow {{\mu _2}} } \right) = - 1,28$

Theo bài ra ta có: $\overrightarrow \mu = \overrightarrow {{\mu _1}} + \overrightarrow {{\mu _2}}$ $\overrightarrow \mu = \overrightarrow {{\mu _1}} + \overrightarrow {{\mu _2}}$

$\begin{matrix} \Rightarrow {\left( {\overrightarrow {{\mu _1}} + \overrightarrow {{\mu _2}} } \right)^2} = {\overrightarrow {{\mu _1}} ^2} + 2\overrightarrow {{\mu _1}} .\overrightarrow {{\mu _2}} + {\overrightarrow {{\mu _2}} ^2} \hfill \\ \Rightarrow {\left( {\overrightarrow {{\mu _1}} + \overrightarrow {{\mu _2}} } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow {{\mu _1}} } \right|^2} + 2\overrightarrow {{\mu _1}} .\overrightarrow {{\mu _2}} + {\left| {\overrightarrow {{\mu _2}} } \right|^2} = 1,{6^2} + 2.\left( { - 1,28} \right) + 1,{6^2} = 2,56 \hfill \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} \Rightarrow {\left( {\overrightarrow {{\mu _1}} + \overrightarrow {{\mu _2}} } \right)^2} = {\overrightarrow {{\mu _1}} ^2} + 2\overrightarrow {{\mu _1}} .\overrightarrow {{\mu _2}} + {\overrightarrow {{\mu _2}} ^2} \hfill \\ \Rightarrow {\left( {\overrightarrow {{\mu _1}} + \overrightarrow {{\mu _2}} } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow {{\mu _1}} } \right|^2} + 2\overrightarrow {{\mu _1}} .\overrightarrow {{\mu _2}} + {\left| {\overrightarrow {{\mu _2}} } \right|^2} = 1,{6^2} + 2.\left( { - 1,28} \right) + 1,{6^2} = 2,56 \hfill \\ \end{matrix}$

Giải Toán 10 trang 101 Chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 101

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng:

$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD}$ $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD}$

Gợi ý đáp án

Ta có: $AC = BD = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2$ $AC = BD = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2$

+) $AB \bot AD \Rightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AD} \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 0$ $AB \bot AD \Rightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AD} \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 0$

+) $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = a.a.\cos 45^\circ = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}$ $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = a.a.\cos 45^\circ = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}$

+) $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {CB} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = a\sqrt 2 .a.\cos 135^\circ = - {a^2}$ $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {CB} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = a\sqrt 2 .a.\cos 135^\circ = - {a^2}$

+) $AC \bot BD \Rightarrow \overrightarrow {AC} \bot \overrightarrow {BD} \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = 0$ $AC \bot BD \Rightarrow \overrightarrow {AC} \bot \overrightarrow {BD} \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = 0$

Bài 2 trang 101

Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O và cho AD = a, AB = 2a. Tính:

$a) \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AO} ;$ $a) \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AO} ;$

$b) \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} .$ $b) \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} .$

Gợi ý đáp án

$a) AC = BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} \\= \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {a^2}} = a\sqrt 5$ $a) AC = BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} \\= \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {a^2}} = a\sqrt 5$

$\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AO} } \right) = \cos \widehat {OAB} =\\ \cos \widehat {CAB} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{2a}}{{a\sqrt 5 }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}$ $\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AO} } \right) = \cos \widehat {OAB} =\\ \cos \widehat {CAB} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{2a}}{{a\sqrt 5 }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}$

$\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AO} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AO} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AO} } \right) \\= AB.\frac{1}{2}AC.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AO} } \right)\\ = 2a.\frac{1}{2}.a\sqrt 5 .\frac{{2\sqrt 5 }}{5} = 2{a^2}\end{array}$ $\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AO} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AO} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AO} } \right) \\= AB.\frac{1}{2}AC.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AO} } \right)\\ = 2a.\frac{1}{2}.a\sqrt 5 .\frac{{2\sqrt 5 }}{5} = 2{a^2}\end{array}$

b) $AB \bot AD \Rightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AD} \Rightarrow \overrightarrow {AB} .$ $AB \bot AD \Rightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AD} \Rightarrow \overrightarrow {AB} .$

Bài 3 trang 101

Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng và OA=a, OB=b. Tính tích vô hướng $\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB}$ $\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB}$ trong hai trường hợp:

a) Điểm O nằm ngoài đoạn thẳng AB;

b) Điểm O nằm trong đoạn thẳng AB

Gợi ý đáp án

a) Ta có:

Ta thấy hai vectơ $\overrightarrow {OA} và \overrightarrow {OB}$ $\overrightarrow {OA} và \overrightarrow {OB}$cùng hướng nên $\left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right) = 0^\circ$ $\left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right) = 0^\circ$

$\Rightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = \left| {\overrightarrow {OA} } \right|.\left| {\overrightarrow {OB} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right) = a.b.\cos 0^\circ = ab$ $\Rightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = \left| {\overrightarrow {OA} } \right|.\left| {\overrightarrow {OB} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right) = a.b.\cos 0^\circ = ab$

b) Ta có:

Ta thấy hai vectơ $\overrightarrow {OA}$ $\overrightarrow {OA}$ và $\overrightarrow {OB}$ $\overrightarrow {OB}$ngược hướng nên $\left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right) = 180^\circ$ $\left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right) = 180^\circ$

$\Rightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = \left| {\overrightarrow {OA} } \right|.\left| {\overrightarrow {OB} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right) = a.b.\cos 180^\circ = - ab$ $\Rightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = \left| {\overrightarrow {OA} } \right|.\left| {\overrightarrow {OB} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right) = a.b.\cos 180^\circ = - ab$

Bài 4 trang 101

Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm và cho điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:

$\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = {\overrightarrow {MO} ^2} - {\overrightarrow {OA} ^2}$ $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = {\overrightarrow {MO} ^2} - {\overrightarrow {OA} ^2}$

Gợi ý đáp án

Ta có: $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow - \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OB}$ $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow - \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OB}$

$\Rightarrow {\overrightarrow {MO} ^2} - {\overrightarrow {OA} ^2} = \left( {\overrightarrow {MO} - \overrightarrow {OA} } \right)\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} } \right) \\= \left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} } \right)\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} } \right) = \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MA} (đpcm)$ $\Rightarrow {\overrightarrow {MO} ^2} - {\overrightarrow {OA} ^2} = \left( {\overrightarrow {MO} - \overrightarrow {OA} } \right)\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} } \right) \\= \left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} } \right)\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} } \right) = \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MA} (đpcm)$

Bài 5 trang 101

Một người dùng một lực $\overrightarrow F$ $\overrightarrow F$có độ lớn là 90 N làm một vật dịch chuyển một đoạn 100 m. Biết lực hợp $\overrightarrow F$ $\overrightarrow F$với hướng dịch chuyển là một góc $60^\circ$ $60^\circ$. Tính công sinh bởi lực $\overrightarrow F$ $\overrightarrow F$

Gợi ý đáp án

Công sinh bởi lực $\overrightarrow F$ $\overrightarrow F$được tính bằng công thức

$A = \overrightarrow F .\overrightarrow d = \left| {\overrightarrow F } \right|.\left| {\overrightarrow d } \right|.\cos \left( {\overrightarrow F ,\overrightarrow d } \right) = 90.100.\cos 60^\circ = 4500 (J)$ $A = \overrightarrow F .\overrightarrow d = \left| {\overrightarrow F } \right|.\left| {\overrightarrow d } \right|.\cos \left( {\overrightarrow F ,\overrightarrow d } \right) = 90.100.\cos 60^\circ = 4500 (J)$

Vậy công sinh bởi lực $\overrightarrow F$ $\overrightarrow F$có độ lớn bằng 4500 (J)

Bài 6 trang 101

Cho hai vectơ có độ dài lần lượt là 3 và 4 có tích vô hướng là - 6. Tính góc giữa hai vectơ đó.

Gợi ý đáp án

Ta cho: $\left| {\overrightarrow a } \right| = 3;\left| {\overrightarrow b } \right| = 4 và \overrightarrow a .\overrightarrow b = - 6$ $\left| {\overrightarrow a } \right| = 3;\left| {\overrightarrow b } \right| = 4 và \overrightarrow a .\overrightarrow b = - 6$

Ta có công thức:

$\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 3.4.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$ $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 3.4.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$

$\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 6 \Rightarrow 3.4.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = - 6 \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = - \frac{1}{2}$ $\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 6 \Rightarrow 3.4.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = - 6 \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = - \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 120^\circ$ $\Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 120^\circ$

Chia sẻ bởi: