Toán 10 Bài 1: Mệnh đề Giải SGK Toán 10 trang 14 - Tập 1 sách Chân trời sáng tạo

Bài trước

Mục lục

Bài sau

Giải bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 1 giúp các em học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để giải các câu hỏi phần Thực hành và 7 bài tập trang 14, 15 được nhanh chóng và dễ dàng hơn.

Giải Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 trang 14, 15 hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa rất chi tiết. Hy vọng rằng tài liệu sẽ giúp các em học sinh học tốt môn Toán 10. Đồng thời các thầy cô giáo, bậc phụ huynh có thể sử dụng tài liệu để hướng dẫn các em khi tự học ở nhà được thuận tiện hơn. Vậy sau đây là trọn bộ tài liệu giải Toán 10 trang 14, 15 Chân trời sáng tạo mời các bạn cùng theo dõi.

Giải Toán 10 Bài 1: Mệnh đề sách Chân trời sáng tạo

Phần Thực hành

Thực hành 1 trang 8 Toán 10 tập 1

Xét các câu sau đây:

(1) 1 + 1 = 2

(2) Dân ca Quan họ là di sản văn hóa phi vật thể đại diện của nhân loại.

(3) Dơi là một loài chim.

(4) Nấm có phải là một loài thực vật không?

(5) Hoa hồng đẹp nhất trong các loài hoa.

(6) Hoa hồng đẹp nhất trong các loài hoa!

Trong những câu trên,

a) Câu nào là khẳng định đúng, câu nào là khẳng định sai?

b) Câu nào không phải là khẳng định?

c) Câu nào là khẳng định, nhưng không thể xác định nó đúng hay sai?

Lời giải chi tiết

Ta có:

(1) 1 + 1 = 2 là một khẳng định và khẳng định này đúng.

(2) Dân ca Quan họ là di sản văn hóa phi vật thể đại diện cho nhân loại là một khẳng định đúng (ngày 30/9/2009, dân ca quan họ Bắc Ninh chính thức được UNESCO công nhận là Di sản văn hóa phi vật thể đại diện của nhân loại).

(3) Dơi là một loài chim là một khẳng định sai (Dơi không phải là chim vì dơi đẻ con và nuôi con bằng sữa).

(4) Nấm có là một loài thực vật không? Đây là một câu hỏi không phải khẳng định.

(5) Hoa hồng đẹp nhất trong các loài hoa. Đây là một câu khẳng định nhưng không xác định được tính đúng sai vì mỗi loài hoa có một vẻ đẹp riêng và trong mắt mỗi người cảm nhận khác nhau.

(6) Trời ơi, nóng quá! Đây là một câu cảm thán không phải khẳng định.

a) Các câu là khẳng định đúng là: Câu (1) và câu (2).

Các câu là khẳng định sai là: Câu (3).

b) Câu không phải khẳng định là: Câu (4) và câu (6).

c) Câu là khẳng định nhưng không thể xác định được tính đúng sai của nó là: Câu (5).

Thực hành 2 trang 8 Toán 10 tập 1

Xét câu “n chia hết cho 5” (n là số tự nhiên).

a) Có thể khẳng định câu trên là đúng hay sai không?

b) Tìm hai giá tri của n sao cho câu trên là khẳng định đúng, hai giá trị của n sao cho câu trên là khẳng định sai.

Lời giải chi tiết

a) Với n = 1 không chia hết cho 5

=> Khẳng định sai

Với n = 5 chia hết cho 5

=> Khẳng định đúng

=> Không thể khẳng định câu trên là đúng hay sai.

b) Với n = 10 hoặc n = 15 ta được khẳng định đúng

Với n = 11 hoặc n = 14 ta được khẳng định sai.

Thực hành 3 trang 9 Toán 10 tập 1

Với mỗi mệnh đề chứa biến sau, tìm những giá trị của biến để nhận được một mệnh đề đúng và một mệnh đề sai.

a) P(x): “x² = 2”

b) Q(x):”x² + 1 > 0”

c) R(n): “n + 2 chia hết cho 3” (n là số tự nhiên)

Lời giải chi tiết

a) P(x): “x² = 2”

Với x = 1 => x² = 1² = 1 < 2

=> Với x = 1 ta được mệnh đề P(x) là mệnh đề sai.

Với $x = \sqrt 2 \Rightarrow {x^2} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = 2$ $x = \sqrt 2 \Rightarrow {x^2} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = 2$

=> Với ta được mệnh đề P(x) là mệnh đề sai.

b) Q(x):”x² + 1 > 0”

Ta có x² ≥ 0 với $\forall x \in \mathbb{R}$ $\forall x \in \mathbb{R}$

=> x² + 1 > 1, với $\forall x \in \mathbb{R}$ $\forall x \in \mathbb{R}$

=> Mệnh đề Q(x) đúng với $\forall x \in \mathbb{R}$ $\forall x \in \mathbb{R}$

c) R(n): “n + 2 chia hết cho 3” (n là số tự nhiên)

Với n = 1 => n + 2 = 1 + 2 = 3 chia hết cho 3

=> Với n = 1 mệnh đề R(n) là mệnh đề đúng.

Với n = 2 => n + 2 = 2 + 2 = 4 không chia hết cho 3

=> Với n = 2 mệnh đề R(n) là mệnh đề sai.

Thực hành 4 trang 10 Toán 10 tập 1

Phát biểu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau. Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề và mệnh đề phủ định của nó.

a) Paris là thủ đô của nước Anh;

b) 23 là số nguyên tố;

c) 2 021 chia hết cho 3;

d) Phương trình x2– 3x + 4 = 0 vô nghiệm.

Lời giải chi tiết

a) +) Gọi A: “Paris là thủ đô của nước Anh”

Mệnh đề phủ định của mệnh đề A là $\overline A$ $\overline A$: “Paris không là thủ đô của nước Anh”.

Thủ đô của Anh là Luân Đôn. Do đó mệnh đề A là mệnh đề sai và $\overline A$ $\overline A$ là mệnh đề đúng.

b) +) Gọi B: “23 là số nguyên tố”

Mệnh đề phủ định của mệnh đề b) là “23 không là số nguyên tố”.

Ta có: 23 chỉ có ước là 1 và chính nó

=> 23 là số nguyên tố.

=> Mệnh đề B là mệnh đề đúng và $\overline B$ $\overline B$ là mệnh đề sai.

c) Gọi C: “2 021 chia hết cho 3”

Mệnh đề phủ định của C là $\overline C$ $\overline C$: “2 021 không chia hết cho 3”.

Ta có:

2 + 0 + 2 + 1 = 5 không chia hết cho 3

=> 2 021 không chia hết cho 3.

=> C là mệnh đề sai và $\overline C$ $\overline C$ là mệnh đề đúng.

d) Gọi D: “Phương trình x²– 3x + 4 = 0 vô nghiệm”.

Mệnh đề phủ định của D là $\overline D$ $\overline D$: “Phương trình x² – 3x + 4 = 0 có nghiệm”.

Xét phương trình:

x² – 3x + 4 = 0 có ∆ = (-3)² – 4.4 = 9 – 16 = -7 < 0.

Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.

=> D là mệnh đề đúng và $\overline D$ $\overline D$ là mệnh đề sai.

Thực hành 5 trang 12 Toán 10 tập 1

Xét hai mệnh đề:

P: “Hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau”

Q: “Hai tam giác ABC và A’B’C’ có diện tích bằng nhau”

a) Phát biểu mệnh đề P => Q

b) Mệnh đề P => Q có phải là một định lí không? Nếu có, sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” để phát biểu định lí này theo hai cách khác nhau.

Lời giải chi tiết

a) Phát biểu mệnh đề P => Q

“Nếu hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau thì hai tam giác ABC và A’B’C’ có diện tích bằng nhau”.

b) Mệnh đề P => Q đúng

=> Mệnh đề P => Q là định lí

Hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau là điều kiện đủ để có hai tam giác ABC và A’B’C’ có diện tích bằng nhau.

Hai tam giác ABC và A’B’C’ có diện tích bằng nhau là điều kiện cần để có hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau.

Thực hành 6 trang 13 Toán 10 tập 1

Xét hai mệnh đề:

P: ”Tứ giác ABCD là hình vuông”

Q: ”Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau”.

a) Phát biểu mệnh đề P => Q và mệnh đề đảo của nó.

b) Hai mệnh đề P và Q có tương đương không? Nếu có, sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ” hoặc “khi và chỉ khi” để phát biểu định lí P <=> Q theo hai cách khác nhau.

Lời giải chi tiết

a) Phát biểu mệnh đề P => Q

“Nếu tứ giác ABCD là hình vuông thì tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau”.

Mệnh đề đảo Q => P được phát biểu như sau:

“Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau thì tứ giác ABCD là hình vuông”.

b) Xét mệnh đề P => Q ta có:

ABCD là hình vuông

=> $\widehat A = \widehat B = \widehat C = \widehat D = {90^0}$ $\widehat A = \widehat B = \widehat C = \widehat D = {90^0}$ => ABCD là hình chữ nhật

ABCD là hình vuông

=> ABCD có hai đường chéo vuông góc

=> Mệnh đề P => Q đúng (*)

Xét mệnh đề Q => P ta có:

ABCD là hình chữ nhật

=> ABCD có hai đường chéo bằng nhau

Mà hai đường chéo vuông góc

=> ABCD là hình vuông

=> Mệnh đề Q => P đúng (**)

Từ (*) và (**) => P tương đương với Q

Phát biểu mệnh đề P <=> Q như sau:

“Tứ giác ABCD là hình vuông là điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau”

Hoặc

“Tứ giác ABCD là hình vuông khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau”

Thực hành 7 trang 14 Toán 10 tập 1

Sử dụng kí hiệu ∀, ∃ để viết các mệnh đề sau:

a) Mọi số thực cộng với số đối của nó đều bằng 0;

b) Có một số tự nhiên mà bình phương bằng 9.

Lời giải chi tiết

a) Mọi số thực cộng với số đối của nó đều bằng 0;

Được viết lại như sau: $\forall x \in \mathbb{R},x + \left( { - x} \right) = 0$ $\forall x \in \mathbb{R},x + \left( { - x} \right) = 0$

b) Có một số tự nhiên mà bình phương bằng 9.

Được viết lại như sau: $\exists x \in \mathbb{R},{x^2} = 9$ $\exists x \in \mathbb{R},{x^2} = 9$

Thực hành 8 trang 14 Toán 10 tập 1

Xét tính đúng sai và viết mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:

a) $\forall x \in \mathbb{R},{x^2} > 0$ $\forall x \in \mathbb{R},{x^2} > 0$	b) $\exists x \in \mathbb{R},{x^2} = 5x - 4$ $\exists x \in \mathbb{R},{x^2} = 5x - 4$
c) $\exists x \in \mathbb{Z},2x + 1 = 0$ $\exists x \in \mathbb{Z},2x + 1 = 0$

Lời giải chi tiết

a) $\forall x \in \mathbb{R},{x^2} > 0$ $\forall x \in \mathbb{R},{x^2} > 0$

Nếu x = 0 => x² = 0

=> Mệnh đề sai

=> Mệnh đề phủ định: $\exists x \in \mathbb{R},{x^2} \leqslant 0$ $\exists x \in \mathbb{R},{x^2} \leqslant 0$

b) $\exists x \in \mathbb{R},{x^2} = 5x - 4$ $\exists x \in \mathbb{R},{x^2} = 5x - 4$

Ta có:

$\begin{matrix} {x^2} = 5x - 4 \hfill \\ \Rightarrow {x^2} - 5x + 4 = 0 \hfill \\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {x = 4} \end{array}} \right. \hfill \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} {x^2} = 5x - 4 \hfill \\ \Rightarrow {x^2} - 5x + 4 = 0 \hfill \\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {x = 4} \end{array}} \right. \hfill \\ \end{matrix}$

=> Mệnh đề đúng

=> Mệnh đề phủ định: $\forall x \in \mathbb{R},{x^2} \ne 5x - 4$ $\forall x \in \mathbb{R},{x^2} \ne 5x - 4$

c) $\exists x \in \mathbb{Z},2x + 1 = 0$ $\exists x \in \mathbb{Z},2x + 1 = 0$

Ta có:

2x + 1 = 0 => $x = - \frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}$ $x = - \frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}$

=> Mệnh đề sai

=> Mệnh đề phủ định: $\forall x \in \mathbb{Z},2x + 1 \ne 0$ $\forall x \in \mathbb{Z},2x + 1 \ne 0$

Phần Bài tập

Bài 1 trang 14 Toán 10 tập 1

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là mệnh đề, khẳng định nào là mệnh đề chứa biến

a) 3 + 2 > 5

b) 1 - 2x = 0

c) x - y = 2

$d) 1 - \sqrt 2 < 0$ $d) 1 - \sqrt 2 < 0$

Gợi ý đáp án

Các khẳng định là mệnh đề là:

a) 3 + 2 > 5

$d) 1 - \sqrt 2 < 0$ $d) 1 - \sqrt 2 < 0$

Các khẳng định là mệnh đề chứa biến là:

b) 1 - 2x = 0

c) x - y = 2

Bài 2 trang 14 Toán 10 tập 1

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau và phát biểu mệnh đề phủ định của chúng.

a) 2020 chia hết cho 3

$b) \pi < 3,15$ $b) \pi < 3,15$

c) Nước ta hiện nay có 5 thành phố trực thuộc trung ương.

d) Tam giác có hai góc bằng ${45^o}$ ${45^o}$ là tam giác vuông cân.

Gợi ý đáp án

a) Mệnh đề “2020 chia hết cho 3” sai.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề này là: “2020 không chia hết cho 3”

b) Mệnh đề $“\pi < 3,15”$ $“\pi < 3,15”$ đúng vì $\pi \approx 3,141592654$ $\pi \approx 3,141592654$

Mệnh đề phủ định của mệnh đề này là: $“\pi \ge 3,15”$ $“\pi \ge 3,15”$

c) Mệnh đề “Nước ta hiện nay có 5 thành phố trực thuộc trung ương” đúng (gồm Hà Nội, Đà Nẵng, Hải Phòng, Hồ Chí Minh và Cần Thơ)

Mệnh đề phủ định của mệnh đề này là: “Nước ta hiện nay không phải có 5 thành phố trực thuộc trung ương”

d) Mệnh đề “Tam giác có hai góc bằng ${45^o}$ ${45^o}$ là tam giác vuông cân” đúng.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề này là: “Tam giác có hai góc bằng ${45^o}$ ${45^o}$ không phải là tam giác vuông cân”

Bài 3 trang 14 Toán 10 tập 1

Xét hai mệnh đề:

P: “Tứ giác ABCD là hình bình hành”.

Q: “Tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường”.

a) Phát biểu mệnh đề $P \Rightarrow Q$ $P \Rightarrow Q$ và xét tính đúng sai của nó.

b) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề $P \Rightarrow Q.$ $P \Rightarrow Q.$

Gợi ý đáp án

a) Mệnh đề $P \Rightarrow Q:$ $P \Rightarrow Q:$ “Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì nó có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường”.

Mệnh đề này đúng vì “hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường” là tính chất của hình hình hành.

b) Mệnh đề đảo của mệnh đề $P \Rightarrow Q$ $P \Rightarrow Q$ là mệnh đề $Q \Rightarrow P$ $Q \Rightarrow P$, được phát biểu là: “Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường thì nó là hình bình hành”.

Bài 4 trang 14 Toán 10 tập 1

Cho các định lí:

P: “Nếu hai tam giác bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau”.

Q: “Nếu a < b thì a + c < b + c” $(a,b,c \in \mathbb{R}).$ $(a,b,c \in \mathbb{R}).$

a) Chỉ ra giả thiết và kết luận của mỗi định lí.

b) Phát biểu lại mỗi định lí đã cho, sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần” hoặc “điều kiện đủ”.

c) Mệnh đề đảo của mỗi định lí đó có là định lí không?

Gợi ý đáp án

Mệnh đề P có dạng $R \Rightarrow T$ $R \Rightarrow T$ với R: “Hai tam giác bằng nhau” và T: “Diện tích của hai tam giác bằng nhau”

Giả thiết là mệnh đề R: “Hai tam giác bằng nhau”

Kết luận là mệnh đề T: “Diện tích của hai tam giác bằng nhau”

Mệnh đề Q có dạng $A \Rightarrow B$ $A \Rightarrow B$ với A: “a < b” và B: “a + c < b + c”

Giả thiết là mệnh đề A: “a < b”

Kết luận là mệnh đề B: “a + c < b + c”

+) Mệnh đề P có thể phát biểu lại như sau:

Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để có diện tích của chúng bằng nhau.

Diện tích của hai tam giác bằng nhau là điều kiện cần để hai tam giác bằng nhau.

+) Mệnh đề Q có thể phát biểu lại như sau:

a < b là điều kiện đủ để có a + c < b + c.

a + c < b + clà điều kiện cần để có a < b.

Mệnh đề đảo của mệnh đề P có dạng $T \Rightarrow R,$ $T \Rightarrow R,$ phát biểu là: “Nếu hai tam giác có diện tích bằng nhau thì hai tam giác đó bằng nhau”.

Mệnh đề này sai nên không là định lí.

Bài 5 trang 15 Toán 10 tập 1

Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ”, phát biểu lại các định lí sau:

a) Một phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi biệt thức của nó dương.

b) Một hình bình hành là hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc với nhau và ngược lại.

Gợi ý đáp án

Các định lí trên có thể được phát biểu là:

a) Một phương trình bậc hai có biệt thức dương là điều kiện cần và đủ để có hai nghiệm phân biệt

b) Một hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là điều kiện cần và đủ để nó là hình thoi.

Bài 6 trang 15 Toán 10 tập 1

Cho các mệnh đề sau:

P: “Giá trị tuyệt đối của mọi số thực đều lớn hơn hoặc bằng chính nó”

Q: “Có số tự nhiên sao cho bình phương của nó bằng 10”

R: “Có số thực x sao cho ${x^2} + 2x - 1 = 0”$ ${x^2} + 2x - 1 = 0”$

a) Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề trên.

b) Sử dụng kí hiệu $\forall ,\exists$ $\forall ,\exists$để viết lại các mệnh đề đã cho.

Gợi ý đáp án

a) Mệnh đề P đúng, vì: $\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}x\quad \;\;(x \ge 0)\\ - x\quad (x < 0)\end{array} \right.$ $\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}x\quad \;\;(x \ge 0)\\ - x\quad (x < 0)\end{array} \right.$ nên $\left| x \right| \ge x.$ $\left| x \right| \ge x.$

Mệnh đề Q sai vì chỉ có các số $\pm \sqrt {10}$ $\pm \sqrt {10}$có bình phương bằng 10, nhưng $\sqrt {10}$ $\sqrt {10}$và $- \sqrt {10}$ $- \sqrt {10}$ đều không là số tự nhiên.

Mệnh đề R đúng vì $x = - 1 + \sqrt 2 \in \mathbb{R}$ $x = - 1 + \sqrt 2 \in \mathbb{R}$ thỏa mãn ${x^2} + 2x - 1 = 0.$ ${x^2} + 2x - 1 = 0.$

b) Có thể viết lại các mệnh đề trên như sau:

$P: “\forall x \in \mathbb{R},\;\left| x \right| \ge x”$ $P: “\forall x \in \mathbb{R},\;\left| x \right| \ge x”$

$Q: “\exists n \in \mathbb{N},{n^2} = 10”$ $Q: “\exists n \in \mathbb{N},{n^2} = 10”$

$R: “\exists x \in \mathbb{R},\;{x^2} + 2x - 1 = 0”$ $R: “\exists x \in \mathbb{R},\;{x^2} + 2x - 1 = 0”$