Toán 10 Bài 1: Dấu của tam thức bậc hai Giải SGK Toán 10 trang 9, 10 - Tập 2 sách Chân trời sáng tạo

Tải về Bình luận

Bài trước

Mục lục

Bài sau

Giải Toán lớp 10 trang 9, 10 tập 2 Chân trời sáng tạo giúp các bạn học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để trả lời các câu hỏi bài tập trong SGK bài 1 Dấu của tam thức bậc hai thuộc chương 7 Bất phương trình bậc hai một ẩn.

Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 trang 9, 10 được biên soạn với các lời giải chi tiết, đầy đủ và chính xác bám sát chương trình sách giáo khoa môn Toán lớp 10. Giải Toán lớp 10 trang 9, 10 là tài liệu cực kì hữu ích hỗ trợ các em học sinh trong quá trình giải bài tập. Đồng thời phụ huynh có thể sử dụng để hướng dẫn con em học tập và đổi mới phương pháp giải phù hợp hơn.

Giải Toán 10 trang 9, 10 Chân trời sáng tạo - Tập 2

Bài 1 trang 9

Đa thức nào sau đây là tam thức bậc hai?

$a. 4{{x}^{2}}+3x+1$ $a. 4{{x}^{2}}+3x+1$

$b. {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-1$ $b. {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-1$

$c. 2{{x}^{2}}+4x-1$ $c. 2{{x}^{2}}+4x-1$

Gợi ý đáp án

a. $4{{x}^{2}}+3x+1$ $4{{x}^{2}}+3x+1$ là tam thức bậc hai có a = 4; b = 3; c = 1

b. ${{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-1$ ${{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-1$ không là tam thức bậc hai

c. $2{{x}^{2}}+4x-1$ $2{{x}^{2}}+4x-1$ là tam thức bậc hai có a = 2; b = 4; c = -1

Bài 2 trang 9

Xác định giá trị của m để các đa thức sau là tam thức bậc hai.

$a. (m+1){{x}^{2}}+2x+m$ $a. (m+1){{x}^{2}}+2x+m$

$b. m{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-x+m$ $b. m{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-x+m$

$c. -5{{x}^{2}}+2x-m+1$ $c. -5{{x}^{2}}+2x-m+1$

Gợi ý đáp án

Giá trị của m để các đa thức sau là tam thức bậc hai:

a. $(m+1){{x}^{2}}+2x+m$ $(m+1){{x}^{2}}+2x+m$ là tam thức bậc hai khi $m+1\ne 0\Leftrightarrow m\ne -1$ $m+1\ne 0\Leftrightarrow m\ne -1$

b. $m{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-x+m$ $m{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-x+m$ không là tam thức bậc hai.

c. $-5{{x}^{2}}+2x-m+1$ $-5{{x}^{2}}+2x-m+1$ là tam thức bậc hai với mọi m.

Bài 3 trang 10

Dựa vào đồ thị của các hàm số bậc hai sau đây, hãy lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai tương ứng.

Gợi ý đáp án

a. $f(x)={{x}^{2}}+1,5x-1 có \Delta =\frac{25}{4}>0$ $f(x)={{x}^{2}}+1,5x-1 có \Delta =\frac{25}{4}>0$, hai nghiệm phân biệt là ${{x}_{1}}=-2 ; {{x}_{2}}=\frac{1}{2} và a = 1 > 0$ ${{x}_{1}}=-2 ; {{x}_{2}}=\frac{1}{2} và a = 1 > 0$

Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:

Vậy f(x) dương trong hai khoảng $\left( -\infty ;\frac{1}{2} \right)$ $\left( -\infty ;\frac{1}{2} \right)$ và $\left( -2;+\infty \right)$ $\left( -2;+\infty \right)$ và âm trong khoảng $\left( \frac{1}{2};-2 \right).$ $\left( \frac{1}{2};-2 \right).$

b. $g(x)={{x}^{2}}+x+1$ $g(x)={{x}^{2}}+x+1$ có $\Delta =-3<0$ $\Delta =-3<0$ và a =1 >0 . Vậy f(x) dương với mọi $x\in \mathbb{R}$ $x\in \mathbb{R}$

c. $h(x)=-9{{x}^{2}}-12x-4$ $h(x)=-9{{x}^{2}}-12x-4$ có $\Delta = 0,$ $\Delta = 0,$ nghiệm kép là ${{x}_{o}}=\frac{-2}{3}$ ${{x}_{o}}=\frac{-2}{3}$ và a =-9<0.

Vậy f(x) âm với mọi $x\ne \frac{-2}{3}$ $x\ne \frac{-2}{3}$

d. $f(x)=-0,5{{x}^{2}}+3x-6$ $f(x)=-0,5{{x}^{2}}+3x-6$ có $\Delta =-3<0$ $\Delta =-3<0$ và a =-0,5 . Vậy f(x) âm với mọi $x\in \mathbb{R}$ $x\in \mathbb{R}$

e. $g(x)=-{{x}^{2}}-0,5x+3$ $g(x)=-{{x}^{2}}-0,5x+3$ có $\Delta =\frac{49}{4}>0$ $\Delta =\frac{49}{4}>0$ , hai nghiệm phân biệt là ${{x}_{1}}=-2 ; {{x}_{2}}=\frac{3}{2}$ ${{x}_{1}}=-2 ; {{x}_{2}}=\frac{3}{2}$ và a = -1 < 0

Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:

Vậy f(x) dương trong hai khoảng $\left( -\infty ;-2 \right)$ $\left( -\infty ;-2 \right)$ và $\left( \frac{3}{2};+\infty \right)$ $\left( \frac{3}{2};+\infty \right)$ và âm trong khoảng $\left( -2;\frac{3}{2} \right).$ $\left( -2;\frac{3}{2} \right).$

g. $h(x)={{x}^{2}}+2\sqrt{2}x+2 có \Delta = 0$ $h(x)={{x}^{2}}+2\sqrt{2}x+2 có \Delta = 0$, nghiệm kép là ${{x}_{o}}=-\sqrt{2}$ ${{x}_{o}}=-\sqrt{2}$ và a = -9 < 0.

Vậy f(x) âm với mọi $x\ne -\sqrt{2}$ $x\ne -\sqrt{2}$

Bài 4 trang 10

Xét dấu của tam thức bậc hai sau đây

$a. f(x) = 2x^{2} + 4x + 2$ $a. f(x) = 2x^{2} + 4x + 2$

$b. f(x) = -x^{2} + 2x + 21$ $b. f(x) = -x^{2} + 2x + 21$

$c. f(x) = -2x^{2} + x - 2$ $c. f(x) = -2x^{2} + x - 2$

$d. f(x) = -4x (x+3) - 9$

e. f(x) = (2x+5) (x-3)

Gợi ý đáp án

a. $\Delta = 4^{2} - 4.2.2 = 0$ $\Delta = 4^{2} - 4.2.2 = 0$. Và đa thức có nghiệm $x= \frac{-4}{2.2}=-1$ $x= \frac{-4}{2.2}=-1$

Mặt khác a= 2 > 0 nên f(x) luôn dương với mọi x khác -1

b. $\Delta = 2^{2} - 4(-3).21 = 256 > 0$ $\Delta = 2^{2} - 4(-3).21 = 256 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt : $x= \frac{-2-\sqrt{256}}{2.(-3)} = 3; x = \frac{-7}{3}$ $x= \frac{-2-\sqrt{256}}{2.(-3)} = 3; x = \frac{-7}{3}$ và a= -1 < 0 nên f(x) mang dấu âm khi x nằm trong khoảng $(\frac{-7}{3}; 3)$ $(\frac{-7}{3}; 3)$ và mang dấu dương với mọi x nằm ngoài khoảng $(\frac{-7}{3}; 3)$ $(\frac{-7}{3}; 3)$

c. $\Delta = (-2)^{2} - 4(-2)(-2)= -12< 0$ $\Delta = (-2)^{2} - 4(-2)(-2)= -12< 0$ và a= -2 < 0 nên f(x) luôn âm với mọi x

$d. f(x)= -4x^{2} - 12x -9$ $d. f(x)= -4x^{2} - 12x -9$.

$\Delta = (-12)^{2} - 4(-4)(-9) = 0$ $\Delta = (-12)^{2} - 4(-4)(-9) = 0$ nên có nghiệm kép là x = -1,5 và a= -4

\Rightarrow f(x) mang dấu âm với mọi x khác -1,5

e. f(x) = 2x^{2} - x - 15.

$\Delta = (-1)^{2} - 4.2.15= -119 < 0$ $\Delta = (-1)^{2} - 4.2.15= -119 < 0$, và a= 2 > 0 nên f(x) âm

Bài 5 trang 10

Độ cao ( tính bằng mét) của quả bóng so với vành rổ khi bóng di chuyển được x mét theo phương ngang được mô phỏng theo hàm số $h(x) = -0,1x^{2} + x -1.$ $h(x) = -0,1x^{2} + x -1.$Trong các khoảng nào của x thì bóng nằm: cao hơn vành rổ, thấp hơn vành rổ, và ngang vành rổ. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Gợi ý đáp án

Hàm số h(x) có $\Delta = 1^{2} -4(-0,1)(-1) = 0,6 >0$ $\Delta = 1^{2} -4(-0,1)(-1) = 0,6 >0$ nên sẽ có hai nghiệm phân biệt : $x_{1} = 9, x_{2} = 1. và a = -0,1<0$ $x_{1} = 9, x_{2} = 1. và a = -0,1<0$

Vây :

Bóng nằm cao hơn vành rổ khi bóng nằm trong khoảng (1;9)
Bóng nằm thấp hơn vành rổ khi bóng nằm trong khoảng $(-\infty ; 1)$ $(-\infty ; 1)$ và $( 9; +\infty )$ $( 9; +\infty )$
Bóng nằm ngang vành rổ khi bóng ở độ cao 1m hoặc 9m

Bài 6 trang 10

Một khung dây thép hình chữ nhật có chiều dài 20cm và chiều rộng 15cm được uốn lại thành khung hình chữ nhật mới có kích thước (20 +x) và (15-x) cm. Với x nằm trong khoảng nào thì diện tích của khung sau khi uốn: tăng lên, không thay đổi, giảm đi.

Gợi ý đáp án

Diện tích của khung dây thép khi chưa uốn là : 20.15 = 300 ( $cm^{2}$ $cm^{2}$)

Diện tích của khung dây thép khi đã uốn là : $(20 + x). (15-x) = 300 - 5x - x^{2}$ $(20 + x). (15-x) = 300 - 5x - x^{2}$. Như vậy diện tích của khung sau khi uốn tùy thuộc vào giá trị của hàm số $f(x) = 5x + x^{2}.$ $f(x) = 5x + x^{2}.$

Xét hàm số f(x) có $\Delta = 5^{2} - 4.1.0 = 25 > 0 \Rightarrow$ $\Delta = 5^{2} - 4.1.0 = 25 > 0 \Rightarrow$có hai nghiệm phân biệt :

$x_{1} = \frac{-5-\sqrt{25}}{2. 1}= -5; x_{2} = \frac{-5+\sqrt{25}}{2. 1}= 0$ $x_{1} = \frac{-5-\sqrt{25}}{2. 1}= -5; x_{2} = \frac{-5+\sqrt{25}}{2. 1}= 0$ và có a = 1 > 0. Nên :

f(x) mang dấu dương khi x thuộc (-5;0) $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ Diện tích khung hình sau khi uốn nhỏ hơn trước khi uốn (giảm đi )
f(x) mang dấu âm khi x thuộc $(-\infty ; -5) và (0 ; +\infty ) \Rightarrow$ $(-\infty ; -5) và (0 ; +\infty ) \Rightarrow$ Diện tích khung hình sau khi uốn lớn hơn trước khi uốn (tăng lên )
f(x) = 0 khi x = 0 hoặc x = -5 $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ Diện tích khung hình sau khi uốn và trước khi uốn là không thay đổi

Bài 7 trang 10

Chứng minh rằng với mọi số thực m ta luôn có : $9m^{2} + 2m > -3$ $9m^{2} + 2m > -3$

Xét hàm số $f(m) = 9m^{2} + 2m + 3$ $f(m) = 9m^{2} + 2m + 3$. Ta có $\Delta = 2^{2}- 4.9.3 = -104 < 0$ $\Delta = 2^{2}- 4.9.3 = -104 < 0$ và có a = 9 > 0. Nên f(m) > 0 với mọi m nghĩa là $9m^{2} + 2m > 3$ $9m^{2} + 2m > 3$

Bài 8 trang 10

Tìm giá trị của m để :

a $. 2x^{2} + 3x + m + 1 > 0$ $. 2x^{2} + 3x + m + 1 > 0$ với mọi $x\epsilon \mathbb{R}$ $x\epsilon \mathbb{R}$

b. $mx^{2} + 5x - 3 \leq 0$ $mx^{2} + 5x - 3 \leq 0$ với mọi $x\epsilon \mathbb{R}$ $x\epsilon \mathbb{R}$

Gợi ý đáp án

a. Hàm số $2x^{2} + 3x + m + 1$ $2x^{2} + 3x + m + 1$ có $\Delta = 3^{2} - 4.2(m+1) = 1- 8m$ $\Delta = 3^{2} - 4.2(m+1) = 1- 8m$. và a= 2 > 0 nên:

Để $2x^{2} + 3x + m + 1 > 0$ $2x^{2} + 3x + m + 1 > 0$ với mọi $x\epsilon \mathbb{R}$ $x\epsilon \mathbb{R}$ thì $\Delta < 0 \Rightarrow 1 - 8m < 0 \Rightarrow m> \frac{1}{8}$ $\Delta < 0 \Rightarrow 1 - 8m < 0 \Rightarrow m> \frac{1}{8}$

b. Xét hàm số $mx^{2} + 5x - 3$ $mx^{2} + 5x - 3$ có : $\Delta = 5^{2} - 4.m.(-3) = 25 + 12m$ $\Delta = 5^{2} - 4.m.(-3) = 25 + 12m$

Để $mx^{2} + 5x - 3 \leq 0$ $mx^{2} + 5x - 3 \leq 0$ với mọi $x\epsilon \mathbb{R} thì :$ $x\epsilon \mathbb{R} thì :$

$\Delta < 0$ $\Delta < 0$ và $m < 0 \Rightarrow m < \frac{-25}{12}$ $m < 0 \Rightarrow m < \frac{-25}{12}$

Lý thuyết Dấu của tam thức bậc hai

1. Tam thức bậc hai

Đa thức bậc hai $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$ $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$ với a, b, c là hệ số, $a \ne 0$ $a \ne 0$ và x là biến số được gọi là tam thức bậc hai.

* Cho tam thức bậc hai $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$ $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$ $a \ne 0$ $a \ne 0$. Khi thay x bằng giá trị x₀ vào ƒ(x), ta được $f\left( {{x_0}} \right) = a{x_0}^2 + b{x_0} + c$ $f\left( {{x_0}} \right) = a{x_0}^2 + b{x_0} + c$, gọi là giá trị của tam thức bậc lai tại x₀.

+ Nếu $f\left( {{x_0}} \right) > 0$ $f\left( {{x_0}} \right) > 0$ thì ta nói f(x) đương tại x₀;

+ Nếu $f\left( {{x_0}} \right) < 0$ $f\left( {{x_0}} \right) < 0$ thì ta nói f(x) âm tại x₀;

+ Nếu f(x) đương (âm) tại mọi điểm x thuộc một khoảng hoặc một đoạn thì ta nói f(x) dương (âm) trên khoảng hoặc đoạn đó.

* Cho tam thức bậc hai $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$ $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$ $a \ne 0$ $a \ne 0$. Khi đó

+ Nghiệm của phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c$ $a{x^2} + bx + c$ là nghiệm của f(x).

+ Biểu thức $\Delta = {b^2} - 4{\rm{a}}c và \Delta$ $\Delta = {b^2} - 4{\rm{a}}c và \Delta ' = {\left( {\frac{b}{2}} \right)^2} - ac$ lần lượt là biệt thức và biệt thức thu gọn của f(x).

Ví dụ: Biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai? Nếu là tam thức bậc hai, hãy xét đâu của nó tại x=2

$\begin{array}{l} a)f(x) = - {x^2} + x + 3\\ b)g(x) = - 3x + \frac{{13}}{2} \end{array}$ $\begin{array}{l} a)f(x) = - {x^2} + x + 3\\ b)g(x) = - 3x + \frac{{13}}{2} \end{array}$

Giải

a) Biểu thức f(x) = $- {x^2} + x + 3$ $- {x^2} + x + 3$ là một tam thức bậc hai.

f(2) = $- {2^2} + 2 + 3 = 1 > 0$ $- {2^2} + 2 + 3 = 1 > 0$ nên f(x) đương tại x = 2.

b) Biểu thức g(x) = $- 3x + \frac{{13}}{2}$ $- 3x + \frac{{13}}{2}$ không phải lả một tam thức bậc hai

Chia sẻ bởi: