Toán 10 Bài 3: Phương trình quy về bậc hai Giải SGK Toán 10 trang 17 - Tập 2 sách Chân trời sáng tạo

Bài trước

Mục lục

Bài sau

Giải Toán lớp 10 trang 17 tập 2 Chân trời sáng tạo giúp các bạn học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để trả lời các câu hỏi bài tập trong SGK bài 3 Phương trình quy về bậc hai thuộc chương 7 Bất phương trình bậc hai một ẩn.

Toán 10 Chân trời sáng tạo trang 17 được biên soạn với các lời giải chi tiết, đầy đủ và chính xác bám sát chương trình sách giáo khoa môn Toán lớp 10. Giải Toán lớp 10 trang 17 sẽ là tài liệu cực kì hữu ích hỗ trợ các em học sinh trong quá trình giải bài tập. Đồng thời phụ huynh có thể sử dụng để hướng dẫn con em học tập và đổi mới phương pháp giải phù hợp hơn. Vậy sau đây là trọn bộ bài giải Toán 10 bài 3: Phương trình quy về bậc hai mời các bạn cùng theo dõi.

Toán 10 Bài 3: Phương trình quy về bậc hai

Giải Toán 10 trang 17 Chân trời sáng tạo Tập 2

Bài 1 trang 17

Giải các phương trình sau:

$a. \sqrt{11{{x}^{2}}-14x-12}=\sqrt{3{{x}^{2}}+4x-7}$ $a. \sqrt{11{{x}^{2}}-14x-12}=\sqrt{3{{x}^{2}}+4x-7}$

$b. \sqrt{{{x}^{2}}+x-42}=\sqrt{2x-30}$ $b. \sqrt{{{x}^{2}}+x-42}=\sqrt{2x-30}$

$c. 2\sqrt{{{x}^{2}}-x-1}=\sqrt{{{x}^{2}}+2x+5}$ $c. 2\sqrt{{{x}^{2}}-x-1}=\sqrt{{{x}^{2}}+2x+5}$

$d. 3\sqrt{{{x}^{2}}+x-1}-\sqrt{7{{x}^{2}}+2x-5}=0$ $d. 3\sqrt{{{x}^{2}}+x-1}-\sqrt{7{{x}^{2}}+2x-5}=0$

Gợi ý đáp án

$a. \sqrt{11{{x}^{2}}-14x-12}=\sqrt{3{{x}^{2}}+4x-7}$ $a. \sqrt{11{{x}^{2}}-14x-12}=\sqrt{3{{x}^{2}}+4x-7}$

$\Rightarrow 11{{x}^{2}}-14x-12=3{{x}^{2}}+4x-7$ $\Rightarrow 11{{x}^{2}}-14x-12=3{{x}^{2}}+4x-7$

$\Rightarrow 8{{x}^{2}}-18x-5=0$ $\Rightarrow 8{{x}^{2}}-18x-5=0$

$\Rightarrow \left[ \begin{align}& x=\frac{5}{2} \\ & x=\frac{-1}{4} \\\end{align} \right.$ $\Rightarrow \left[ \begin{align}& x=\frac{5}{2} \\ & x=\frac{-1}{4} \\\end{align} \right.$

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy, chỉ có $x=\frac{5}{2}$ $x=\frac{5}{2}$ thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x=\frac{5}{2}$ $x=\frac{5}{2}$

$b. \sqrt{{{x}^{2}}+x-42}=\sqrt{2x-30}$ $b. \sqrt{{{x}^{2}}+x-42}=\sqrt{2x-30}$

$\Rightarrow {{x}^{2}}+x-42=2x-30$ $\Rightarrow {{x}^{2}}+x-42=2x-30$

$\Rightarrow {{x}^{2}}-x-12=0 \Rightarrow \left[ \begin{align}& x=4 \\ & x=-3 \\\end{align} \right.$ $\Rightarrow {{x}^{2}}-x-12=0 \Rightarrow \left[ \begin{align}& x=4 \\ & x=-3 \\\end{align} \right.$

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy, x = 4 và x =-3 không thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

$c. 2\sqrt{{{x}^{2}}-x-1}=\sqrt{{{x}^{2}}+2x+5} \Rightarrow4({{x}^{2}}-x-1)={{x}^{2}}+2x+5$ $c. 2\sqrt{{{x}^{2}}-x-1}=\sqrt{{{x}^{2}}+2x+5} \Rightarrow4({{x}^{2}}-x-1)={{x}^{2}}+2x+5$

$\Rightarrow3{{x}^{2}}-6x-9=0 \Rightarrow\left[ \begin{align}& x=3 \\ & x=-1 \\\end{align} \right.$ $\Rightarrow3{{x}^{2}}-6x-9=0 \Rightarrow\left[ \begin{align}& x=3 \\ & x=-1 \\\end{align} \right.$

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy, x = 3 và x =-1 thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x =3 hoặc x = -1.

$d. 3\sqrt{{{x}^{2}}+x-1}-\sqrt{7{{x}^{2}}+2x-5}=0$ $d. 3\sqrt{{{x}^{2}}+x-1}-\sqrt{7{{x}^{2}}+2x-5}=0$

$\Rightarrow 3\sqrt{{{x}^{2}}+x-1}=\sqrt{7{{x}^{2}}+2x-5} \Rightarrow 9({{x}^{2}}+x-1)=7{{x}^{2}}+2x-5$ $\Rightarrow 3\sqrt{{{x}^{2}}+x-1}=\sqrt{7{{x}^{2}}+2x-5} \Rightarrow 9({{x}^{2}}+x-1)=7{{x}^{2}}+2x-5$

$\Rightarrow 2{{x}^{2}}+7x-4 \Rightarrow \left[ \begin{align}& x=-4 \\& x=\frac{1}{2} \\\end{align} \right.$ $\Rightarrow 2{{x}^{2}}+7x-4 \Rightarrow \left[ \begin{align}& x=-4 \\& x=\frac{1}{2} \\\end{align} \right.$

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy, chỉ có x = -4 thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x =-4

Bài 2 trang 17

Giải các phương trình sau:

$a. \sqrt{{{x}^{2}}+3x+1}=3$ $a. \sqrt{{{x}^{2}}+3x+1}=3$

$b. \sqrt{{{x}^{2}}-x-4}=x+2$ $b. \sqrt{{{x}^{2}}-x-4}=x+2$

$c. 2+\sqrt{12-2x}=x$ $c. 2+\sqrt{12-2x}=x$

$d. \sqrt{2{{x}^{2}}-3x-10}=-5$ $d. \sqrt{2{{x}^{2}}-3x-10}=-5$

Gợi ý đáp án

$a. \sqrt{{{x}^{2}}+3x+1}=3 \Rightarrow {{x}^{2}}+3x+1=9 \Rightarrow {{x}^{2}}+3x-8=0$ $a. \sqrt{{{x}^{2}}+3x+1}=3 \Rightarrow {{x}^{2}}+3x+1=9 \Rightarrow {{x}^{2}}+3x-8=0$

$\Rightarrow \left[ \begin{align}& x=\frac{-3+\sqrt{41}}{2} \\& x=\frac{-3-\sqrt{41}}{2} \\\end{align} \right.$ $\Rightarrow \left[ \begin{align}& x=\frac{-3+\sqrt{41}}{2} \\& x=\frac{-3-\sqrt{41}}{2} \\\end{align} \right.$

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy $x=\frac{-3+\sqrt{41}}{2} ; x=\frac{-3-\sqrt{41}}{2}$ $x=\frac{-3+\sqrt{41}}{2} ; x=\frac{-3-\sqrt{41}}{2}$ thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x=\frac{-3+\sqrt{41}}{2} hoặc x=\frac{-3-\sqrt{41}}{2}$ $x=\frac{-3+\sqrt{41}}{2} hoặc x=\frac{-3-\sqrt{41}}{2}$

$b. \sqrt{{{x}^{2}}-x-4}=x+2 \Rightarrow {{x}^{2}}-x-4={{x}^{2}}+4x+4$ $b. \sqrt{{{x}^{2}}-x-4}=x+2 \Rightarrow {{x}^{2}}-x-4={{x}^{2}}+4x+4$

$\Rightarrow 5x=-8 \Rightarrow x=\frac{-8}{5}$ $\Rightarrow 5x=-8 \Rightarrow x=\frac{-8}{5}$

Thay $x=\frac{-8}{5}$ $x=\frac{-8}{5}$vào phương trình đã cho ta thấy $x=\frac{-8}{5}$ $x=\frac{-8}{5}$ thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=\frac{-8}{5} .$ $x=\frac{-8}{5} .$

$c. 2+\sqrt{12-2x}=x \Leftrightarrow \sqrt{12-2x}=x-2$ $c. 2+\sqrt{12-2x}=x \Leftrightarrow \sqrt{12-2x}=x-2$

$\Rightarrow 12-2x={{x}^{2}}-4x+4 \Rightarrow {{x}^{2}}-2x-8=0$ $\Rightarrow 12-2x={{x}^{2}}-4x+4 \Rightarrow {{x}^{2}}-2x-8=0$

$\Rightarrow \left[ \begin{align}& x=4 \\& x=-2 \\\end{align} \right.$ $\Rightarrow \left[ \begin{align}& x=4 \\& x=-2 \\\end{align} \right.$

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy x=4 thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x=4

$d. \sqrt{2{{x}^{2}}-3x-10}=-5 (d)$ $d. \sqrt{2{{x}^{2}}-3x-10}=-5 (d)$

Có: $VT(d) \ge 0$ $VT(d) \ge 0$

mà VT(d) <0

$\Rightarrow VT(d) \ne VP(d)$ $\Rightarrow VT(d) \ne VP(d)$

Vậy phương trình vô nghiệm

Bài 3 trang 17

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB ngắn hơn 4C là 2 cm.

a. Biểu diễn độ dài cạnh huyền BC theo AB

b. Biết chu vi của tam giác ABC là 24 cm. Tìm độ dài ba cạnh của tam giác đó.

Gợi ý đáp án

a. Xét tam giác vuông ABC có: $(\widehat{BAC}={{90}^{o}})$ $(\widehat{BAC}={{90}^{o}})$

$B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}={{x}^{2}}+{{(x+2)}^{2}}$ $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}={{x}^{2}}+{{(x+2)}^{2}}$

$\Rightarrow BC=\sqrt{{{x}^{2}}+{{(x+2)}^{2}}}=\sqrt{2{{x}^{2}}+4x+4}$ $\Rightarrow BC=\sqrt{{{x}^{2}}+{{(x+2)}^{2}}}=\sqrt{2{{x}^{2}}+4x+4}$

b. Chu vi của tam giác ABC là:

$x+x+2+\sqrt{2{{x}^{2}}+4x+4}=24$ $x+x+2+\sqrt{2{{x}^{2}}+4x+4}=24$

$\Leftrightarrow \sqrt{2{{x}^{2}}+4x+4}=22-2x$ $\Leftrightarrow \sqrt{2{{x}^{2}}+4x+4}=22-2x$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 22-2x\ge 0 \\ & 2{{x}^{2}}+4x+4=484-88x+4{{x}^{2}} \\\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 22-2x\ge 0 \\ & 2{{x}^{2}}+4x+4=484-88x+4{{x}^{2}} \\\end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x\le 11 \\ & 2{{x}^{2}}-92x+480=0 \\\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x\le 11 \\ & 2{{x}^{2}}-92x+480=0 \\\end{align} \right.$

$\left[ \begin{align}& x=40 \\ & x=6 \\\end{align} \right. (x\le 11) \Leftrightarrow x=6$ $\left[ \begin{align}& x=40 \\ & x=6 \\\end{align} \right. (x\le 11) \Leftrightarrow x=6$

Vậy độ dài ba cạnh AB, AC, BC lần lượt là: 6cm; 8cm; 10 cm

Bài 4 trang 17

Một con tàu biển M rời cảng O và chuyển động thẳng theo phương tạo với bờ biển một góc 60°. Trên bờ biển có hai đài quan sát 4 và B nằm về hai phía so với cảng O và lần lượt cách cảng O khoảng cách 1 km và 2 km (Hình 2).

a. Đặt độ dài của MO là x km. Biểu diễn khoảng cách từ tàu đến A và từ tàu đến B theo x.

b. Tìm x để khoảng cách từ tàu đến B bằng \frac{4}{5} khoảng cách từ tàu đến A.

c. Tìm x để khoảng cách tử tàu đến B nhỏ hơn khoảng cách từ tàu đến O đảng 500 m. (Lưu ý: Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.)

Gợi ý đáp án

a. Xét tam giác MOB có:

$M{{B}^{2}}=M{{O}^{2}}+O{{B}^{2}}-2OM.OB.\cos {{60}^{o}}$ $M{{B}^{2}}=M{{O}^{2}}+O{{B}^{2}}-2OM.OB.\cos {{60}^{o}}$

$M{{B}^{2}}={{x}^{2}}+{{2}^{2}}-2.x.2.\frac{1}{2}$ $M{{B}^{2}}={{x}^{2}}+{{2}^{2}}-2.x.2.\frac{1}{2}$

$M{{B}^{2}}={{x}^{2}}-2x+4 MB=\sqrt{{{x}^{2}}-2x+4}$ $M{{B}^{2}}={{x}^{2}}-2x+4 MB=\sqrt{{{x}^{2}}-2x+4}$

Xét tam giác MOA có:

$M{{A}^{2}}=M{{O}^{2}}+O{{A}^{2}}-2OM.OA.\cos ({{180}^{o}}-{{60}^{o}})$ $M{{A}^{2}}=M{{O}^{2}}+O{{A}^{2}}-2OM.OA.\cos ({{180}^{o}}-{{60}^{o}})$

$M{{A}^{2}}={{x}^{2}}+{{1}^{2}}-2.x.1.\left( -\frac{1}{2} \right) M{{A}^{2}}={{x}^{2}}+x+1$ $M{{A}^{2}}={{x}^{2}}+{{1}^{2}}-2.x.1.\left( -\frac{1}{2} \right) M{{A}^{2}}={{x}^{2}}+x+1$

$MA=\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}$ $MA=\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}$

b. Theo đề bài ta có:

$MB=\frac{4}{5}MA \sqrt{{{x}^{2}}-2x+4}=\frac{4}{5}.\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}$ $MB=\frac{4}{5}MA \sqrt{{{x}^{2}}-2x+4}=\frac{4}{5}.\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}$

$\left[ \begin{align}& x=\frac{11+\sqrt{37}}{3}\approx 5,7 \\ & x=\frac{11-\sqrt{37}}{3}\approx 1,64 \\\end{align} \right.$ $\left[ \begin{align}& x=\frac{11+\sqrt{37}}{3}\approx 5,7 \\ & x=\frac{11-\sqrt{37}}{3}\approx 1,64 \\\end{align} \right.$

Vậy $x\approx 5,7$ $x\approx 5,7$ hoặc $x\approx 1,64$ $x\approx 1,64$ thì thỏa mãn đề bài.

c. Theo đề ta có:

$OM~\text{ }=\text{ }MB\text{ }+\text{ }5$ $OM~\text{ }=\text{ }MB\text{ }+\text{ }5$

$x=\sqrt{{{x}^{2}}-2x+4}+5 x-5=\sqrt{{{x}^{2}}-2x+4}$ $x=\sqrt{{{x}^{2}}-2x+4}+5 x-5=\sqrt{{{x}^{2}}-2x+4}$

$\Rightarrow {{x}^{2}}-10x+25={{x}^{2}}-2x+4$ $\Rightarrow {{x}^{2}}-10x+25={{x}^{2}}-2x+4$

$\Rightarrow x=\frac{21}{8}=2,625$ $\Rightarrow x=\frac{21}{8}=2,625$

Vậy x = 2,625 thì thỏa mãn yêu cầu đề.

Lý thuyết Phương trình quy về bậc hai

1. Phương trình dạng $\sqrt{ax^{2}+bx+c}=\sqrt{dx^{2}+ex+f}$ $\sqrt{ax^{2}+bx+c}=\sqrt{dx^{2}+ex+f}$

Để giải phương trình $\sqrt{ax^{2}+bx+c}=\sqrt{dx^{2}+ex+f}$ $\sqrt{ax^{2}+bx+c}=\sqrt{dx^{2}+ex+f}$ ta làm như sau:

Bước 1: Bình phương hai về của phương trình để được phương trình $a{x^2} + bx + c = d{x^2} + ex + f$ $a{x^2} + bx + c = d{x^2} + ex + f$

Bước 2: Giải phương trình nhận được ở Bước 1

Bước 3: Thử lại xem các giá trị x tìm được ở Bước 2 có thoả mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình $\sqrt {2{x^2} - 6x - 8} = \sqrt {{x^2} - 5x - 2}$ $\sqrt {2{x^2} - 6x - 8} = \sqrt {{x^2} - 5x - 2}$

Giải

Bình phương hai về của phương trình đã cho, ta được:

$\begin{array}{l} 2{x^2} - 6x - 8 = {x^2} - 5x - 2\\ \Rightarrow {x^2} - x - 6 = 0 \end{array}$ $\begin{array}{l} 2{x^2} - 6x - 8 = {x^2} - 5x - 2\\ \Rightarrow {x^2} - x - 6 = 0 \end{array}$

⇒ x = -2 hoặc x = 3.

Thay lần lượt các giả trị trên vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có x = -2 thoả mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x= -2.

2. Phương trình dạng $\sqrt{ax^{2}+bx+c}= dx+e$ $\sqrt{ax^{2}+bx+c}= dx+e$

Để giải phương trình $\sqrt{ax^{2}+bx+c}= dx+e$ $\sqrt{ax^{2}+bx+c}= dx+e$, ta làm như sau:

Bước 1: Bình phương hai về của phương trình đề được phương trình $a{x^2} + bx + c = {\left( {dx + e} \right)^2}$ $a{x^2} + bx + c = {\left( {dx + e} \right)^2}$

Bước 2: Giải phương trình nhận được ở Bước 1

Bước 3: Thử lại xem các giá trị x tìm được ở Bước 2 có thoả mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình $\sqrt {3{x^2} + 5x - 13} = x + 1$ $\sqrt {3{x^2} + 5x - 13} = x + 1$

Giải

Bình phương hai về của phương trình đã cho, ta được:

$\begin{array}{l} 3{x^2} + 5x - 13 = {\left( {x + 1} \right)^2}\\ \Rightarrow 3{x^2} + 5x - 13 = {x^2} + 2{\rm{x}} + 1\\ \Rightarrow 2{x^2} + 3{\rm{x}} - 14 = 0 \end{array}$ $\begin{array}{l} 3{x^2} + 5x - 13 = {\left( {x + 1} \right)^2}\\ \Rightarrow 3{x^2} + 5x - 13 = {x^2} + 2{\rm{x}} + 1\\ \Rightarrow 2{x^2} + 3{\rm{x}} - 14 = 0 \end{array}$

$x = - \frac{7}{2}$ $x = - \frac{7}{2}$ hoặc x = 2.

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho, ta thây chỉ có x = 2 thoả mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x= 2.

Chia sẻ bởi: