Toán 10 Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ Giải SGK Toán 10 trang 62 - Tập 2 sách Chân trời sáng tạo

Bài trước

Mục lục

Bài sau

Giải Toán lớp 10 trang 62, 63 tập 2 Chân trời sáng tạo giúp các bạn học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để trả lời các câu hỏi bài tập trong SGK bài 3 Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ thuộc Chương 9 Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng.

Toán 10 Chân trời sáng tạo trang 62, 63 được biên soạn với các lời giải chi tiết, đầy đủ và chính xác bám sát chương trình sách giáo khoa môn Toán lớp 10. Giải Toán lớp 10 trang 62, 63 Chân trời sáng tạo sẽ là tài liệu cực kì hữu ích hỗ trợ các em học sinh trong quá trình giải bài tập. Đồng thời phụ huynh có thể sử dụng để hướng dẫn con em học tập và đổi mới phương pháp giải phù hợp hơn. Vậy sau đây là trọn bộ bài giải Toán 10 bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ mời các bạn cùng theo dõi.

Toán 10 Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Giải Toán 10 trang 62, 63 Chân trời sáng tạo - Tập 2

Bài 1 trang 62

Phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn? Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

$a.x^2+y^2-6x-8y+21=0;$

$b. x^{2} + y^{2} - 2x + 4y + 2 = 0;$ $b. x^{2} + y^{2} - 2x + 4y + 2 = 0;$

$c. x^{2} + y^{2} - 3x + 2y + 7 = 0;$ $c. x^{2} + y^{2} - 3x + 2y + 7 = 0;$

$d. 2x^{2} + 2y^{2} + x + y - 1 = 0$ $d. 2x^{2} + 2y^{2} + x + y - 1 = 0$

Gợi ý đáp án

a. Phương trình có dạng $x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by + c = 0$ $x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by + c = 0$ với a = 3, b = 4, c = 21

Ta có: $a^{2} + b^{2} - c = 3^{2} + 4^{2} - 21 = 4 > 0$ $a^{2} + b^{2} - c = 3^{2} + 4^{2} - 21 = 4 > 0$. Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I(3; 4) và có bán kính $R = \sqrt{4} = 2.$ $R = \sqrt{4} = 2.$

b. Phương trình có dạng $x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by + c = 0$ $x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by + c = 0$ với a = 1, b = -2, c = 2

Ta có: $a^{2} + b^{2} - c = 1^{2} + (-2)^{2} - 2 = 3 > 0$ $a^{2} + b^{2} - c = 1^{2} + (-2)^{2} - 2 = 3 > 0$. Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I(1; -2) và có bán kính $R = \sqrt{3}.$ $R = \sqrt{3}.$

c. Phương trình có dạng $x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by + c = 0$ $x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by + c = 0$ với $a = \frac{3}{2}, b = -1, c = 7$ $a = \frac{3}{2}, b = -1, c = 7$

Ta có: $a^{2} + b^{2} - c = (\frac{3}{2})^{2} + (-1)^{2} - 74 = -\frac{15}{4} < 0$ $a^{2} + b^{2} - c = (\frac{3}{2})^{2} + (-1)^{2} - 74 = -\frac{15}{4} < 0$. Vậy đây không phải là phương trình đường tròn.

d. Ta có: $2x^{2} + 2y^{2} + x + y - 1 = 0 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y - \frac{1}{2} = 0.$ $2x^{2} + 2y^{2} + x + y - 1 = 0 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y - \frac{1}{2} = 0.$

Phương trình có dạng $x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by + c = 0$ $x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by + c = 0$ với $a = -\frac{1}{4}, b = -\frac{1}{4} , c = -\frac{1}{2}$ $a = -\frac{1}{4}, b = -\frac{1}{4} , c = -\frac{1}{2}$

Ta có: $a^{2} + b^{2} - c = (-\frac{1}{4})^{2} + (-\frac{1}{4})^{2} + \frac{1}{2} = \frac{5}{8} > 0.$ $a^{2} + b^{2} - c = (-\frac{1}{4})^{2} + (-\frac{1}{4})^{2} + \frac{1}{2} = \frac{5}{8} > 0.$

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm $I(-\frac{1}{4}; -\frac{1}{4})$ $I(-\frac{1}{4}; -\frac{1}{4})$ và bán kính $R = \frac{\sqrt{10}}{4}$ $R = \frac{\sqrt{10}}{4}$

Bài 2 trang 62

Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a. (C) có tâm I(1; 5) và có bán kính r = 4;

b. (C) có đường kính MN với M(3; -1) và N(9; 3);

c. (C) có tâm I(2; 1) và tiếp xúc với đường thẳng 5x - 12y + 11 = 0;

d. (C) có tâm A(1; -2) và đi qua điểm B(4; -5).

Gợi ý đáp án

a. Phương trình đường tròn (C) tâm I(1; 5) và bán kính r = 4 là:

$(x - 1)^{2} + (y - 5)^{2} = 16$ $(x - 1)^{2} + (y - 5)^{2} = 16$

b. Tâm I của đường tròn (C) là trung điểm của $MN \Rightarrow I = (\frac{3+9}{2}; \frac{-1+3}{2}) \Rightarrow I = (6; 1)$ $MN \Rightarrow I = (\frac{3+9}{2}; \frac{-1+3}{2}) \Rightarrow I = (6; 1)$

Ta có: $R = MI = \sqrt{(6 - 3)^{2} + (1 + 1)^{2}} = \sqrt{13}$ $R = MI = \sqrt{(6 - 3)^{2} + (1 + 1)^{2}} = \sqrt{13}$

Phương trình đường tròn (C) tâm I(6; 1) và bán kính $R = \sqrt{13}$ $R = \sqrt{13}$ là:

$(x - 6)^{2} + (y - 1)^{2} = 13$ $(x - 6)^{2} + (y - 1)^{2} = 13$

c. Ta có: $R = d(I, d) = \frac{|5. 2 - 12. 1 + 11|}{\sqrt{5^{2} + (-12)^{2}}} = \frac{9}{13}$ $R = d(I, d) = \frac{|5. 2 - 12. 1 + 11|}{\sqrt{5^{2} + (-12)^{2}}} = \frac{9}{13}$

Phương tròn đường tròn (C) tâm I(2; 1) và bán kính $R = \frac{9}{13}$ $R = \frac{9}{13}$ là:

$(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = \frac{81}{169}$ $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = \frac{81}{169}$

d. Ta có $R = AB = \sqrt{(4 - 1)^{2} + (-5 + 2)^{2}} = 3\sqrt{2}$ $R = AB = \sqrt{(4 - 1)^{2} + (-5 + 2)^{2}} = 3\sqrt{2}$

Phương trình đường tròn (C) tâm A(1; -2) và bán kính $R = 3\sqrt{2}$ $R = 3\sqrt{2}$ là:

$(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 18$ $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 18$

Bài 3 trang 62

Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có tọa độ các đỉnh là:

a. M(2; 5), N(1; 2), P(5; 4);

b. A(0; 6), B(7; 7), C(8; 0)

Gợi ý đáp án

a. Phương trình đường tròn có dạng $x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by + c = 0.$ $x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by + c = 0.$

Thay tọa độ các đỉnh M(2; 5), N(1; 2), P(5, 4) vào phương trình đường tròn, ta được hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}2^{2} + 5^{2} - 4a - 10b + c = 0\\ 1^{2} + 2^{2} - 2a - 4b + c = 0\\ 5^{2} + 4^{2} - 10a - 8b + c = 0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}4a + 10b - c = 29\\ 2a + 4b - c = 5\\ 10a + 8b - c = 41\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a = 3\\ b = 3\\ c = 13 \end{matrix}\right.$ $\left\{\begin{matrix}2^{2} + 5^{2} - 4a - 10b + c = 0\\ 1^{2} + 2^{2} - 2a - 4b + c = 0\\ 5^{2} + 4^{2} - 10a - 8b + c = 0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}4a + 10b - c = 29\\ 2a + 4b - c = 5\\ 10a + 8b - c = 41\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a = 3\\ b = 3\\ c = 13 \end{matrix}\right.$

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP là:

$x^{2} + y^{2} - 6x - 6y + 13 = 0$ $x^{2} + y^{2} - 6x - 6y + 13 = 0$

b. Phương trình đường tròn có dạng $x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by + c = 0.$ $x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by + c = 0.$

Thay tọa độ các đỉnh A(0; 6), B(7; 7), C(8; 0) vào phương trình đường tròn, ta được hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} 6^{2} - 12b + c = 0\\ 7^{2} + 7^{2} - 14a - 14b + c = 0\\ 8^{2} - 16a + c = 0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}12b - c = 36\\ 14a + 14b - c = 98\\ 16a - c = 64\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a = 4\\ b = 3\\ c = 0\end{matrix}\right.$ $\left\{\begin{matrix} 6^{2} - 12b + c = 0\\ 7^{2} + 7^{2} - 14a - 14b + c = 0\\ 8^{2} - 16a + c = 0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}12b - c = 36\\ 14a + 14b - c = 98\\ 16a - c = 64\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a = 4\\ b = 3\\ c = 0\end{matrix}\right.$

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

$x^{2} + y^{2} - 8x - 6y = 0$ $x^{2} + y^{2} - 8x - 6y = 0$

Bài 4 trang 62

Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục Ox, Oy và đi qua điểm A(4; 2).

Gợi ý đáp án

Gọi I(a; b) là tâm đường tròn (C).

Ta có: $R = d(I; Ox) = d(I; Oy) \Rightarrow R = a = b \Rightarrow (C)$ $R = d(I; Ox) = d(I; Oy) \Rightarrow R = a = b \Rightarrow (C)$ có tâm I(a; a) và bán kính R = a.

$\Rightarrow$ $\Rightarrow$Phương trình đường tròn (C) là: $(x - a)^{2} + (y - a)^{2} = a^{2}$ $(x - a)^{2} + (y - a)^{2} = a^{2}$

Ta có $A(4; 2) \in (C)$ $A(4; 2) \in (C)$nên $(4 - a)^{2} + (2 - a)^{2} = a^{2}$ $(4 - a)^{2} + (2 - a)^{2} = a^{2}$

$\Leftrightarrow 16 - 8a + a^{2} + 4 - 4a + a^{2} = a^{2}$ $\Leftrightarrow 16 - 8a + a^{2} + 4 - 4a + a^{2} = a^{2}$

$\Leftrightarrow a^{2} - 12a + 20 = 0 \Leftrightarrow a = 10$ $\Leftrightarrow a^{2} - 12a + 20 = 0 \Leftrightarrow a = 10$ hoặc a = 2

Vậy $(C): (x - 10)^{2} + (y - 10)^{2} = 100 hoặc (x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} = 4$ $(C): (x - 10)^{2} + (y - 10)^{2} = 100 hoặc (x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} = 4$

Bài 5 trang 62

Cho đường tròn (C) có phương trình $x^{2} + y^{2} - 2x - 4y - 20 = 0.$ $x^{2} + y^{2} - 2x - 4y - 20 = 0.$

a. Chứng tỏ rằng điểm M(4; 6) thuộc đường tròn (C).

b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(4; 6).

c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng 4x + 3y + 2022 = 0

Gợi ý đáp án

a. Ta có: $4^{2} + 6^{2} - 2. 4 - 4. 6 - 20 = 0$ $4^{2} + 6^{2} - 2. 4 - 4. 6 - 20 = 0$

Vậy điểm M(4; 6) thuộc đường tròn (C).

b. Đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính $R = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 20} = 5$ $R = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 20} = 5$

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(4; 6) là:

$(1 - 4)(x - 4) + (2 - 6)(y - 6) = 0 \Leftrightarrow -3x - 4y + 36 = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 36 = 0$ $(1 - 4)(x - 4) + (2 - 6)(y - 6) = 0 \Leftrightarrow -3x - 4y + 36 = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 36 = 0$

c. Tiếp tuyến $\Delta$ $\Delta$ của (C) song song với đường thẳng 4x + 3y + 2022 = 0 có dạng

$\Delta: 4x + 3y + c = 0 (c \neq 2022)$ $\Delta: 4x + 3y + c = 0 (c \neq 2022)$

Ta có: $R = d(I; \Delta) \Leftrightarrow \frac{|4.1 + 3. 2 + c|}{\sqrt{4^{2} + 3^{2}}} = 5 \Leftrightarrow \frac{|10 + c|}{5}$ $R = d(I; \Delta) \Leftrightarrow \frac{|4.1 + 3. 2 + c|}{\sqrt{4^{2} + 3^{2}}} = 5 \Leftrightarrow \frac{|10 + c|}{5}$

$= 5 \Leftrightarrow |10 + c| = 25 \Leftrightarrow c = 15 hoặc c = -35$ $= 5 \Leftrightarrow |10 + c| = 25 \Leftrightarrow c = 15 hoặc c = -35$

Vậy $\Delta: 4x + 3y + 15 = 0$ $\Delta: 4x + 3y + 15 = 0$ hoặc $\Delta: 4x + 3y - 35 = 0$ $\Delta: 4x + 3y - 35 = 0$

Bài 6 trang 62

Một cái cổng hình bán nguyệt rộng 8,4m, cao 4,2m như Hình 5. Mặt đường dưới cổng được chia thành hai làn xe ra vào.

a. Viết phương trình mô phỏng cái cổng.

b. Một chiếc xe tải rộng 2,2 m và cao 2,6m đi đúng làn đường quy định có thể đi qua cổng mà không làm hư hỏng cổng hay không?

Gợi ý đáp án

a. Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ.

Ta có phương trình đường tròn tâm O(0; 0) bán kính $R = 4,2 là: x^{2} + y^{2} = 17,64$ $R = 4,2 là: x^{2} + y^{2} = 17,64$

\Rightarrow Phương trình mô phỏng cái cổng là: $x^{2} + y^{2} = 17,64 (y \geq 0)$ $x^{2} + y^{2} = 17,64 (y \geq 0)$

b. Thay x = 2,2 vào phương trình đường tròn, ta được $y = \sqrt{17, 64 - 2,2^{2}} \approx 3,58 > 2,6$ $y = \sqrt{17, 64 - 2,2^{2}} \approx 3,58 > 2,6$

Vậy xe tải rộng 2,2m và cao 2,6m đi đúng làn đường quy định có thể đi qua cổng mà không làm hư hỏng cổng.

Lý thuyết Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

1. Phương trình đường tròn

Điểm $M\left( {x;y} \right)$ $M\left( {x;y} \right)$ thuộc đường tròn (C), tâm ((a; b), bán kính R khi và chỉ khi

${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}. (1)$ ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}. (1)$

Ta gọi (1) là phương trình của đường tròn (C).

Ví dụ: Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C) có phương trình: ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 16$ ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 16$. Viết phương trình đường tròn (C') có tâm J(2; - 1) và có bán kinh gấp đôi bán kính đường tròn (C).

Giải

Ta viết phương trình của (C) ở dạng ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - \left( { - 3} \right)} \right)^2} = {4^2}$ ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - \left( { - 3} \right)} \right)^2} = {4^2}$

Vậy (C) có tâm I = (2;- 3) và bán kính R= 4.

Đường tròn (C') có tâm J(2; - 1) và có bán kinh R'= 2R= 8, nên có phương trình ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 64$ ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 64$.

Nhận xét: Phương trình (1) tương đương với ${x^2} + {y^2} - 2{\rm{a}}x - 2by + \left( {{{\rm{a}}^2} + {b^2} - {R^2}} \right) = 0$ ${x^2} + {y^2} - 2{\rm{a}}x - 2by + \left( {{{\rm{a}}^2} + {b^2} - {R^2}} \right) = 0$.

Phương trình ${x^2} + {y^2} - 2{\rm{a}}x - 2by + c = 0$ ${x^2} + {y^2} - 2{\rm{a}}x - 2by + c = 0$ là phương trình của một đường tròn (C) khi và chỉ khi ${a^2} + {b^2} - c > 0$ ${a^2} + {b^2} - c > 0$. Khi đó, (C) có tâm I(a; b) và bán kính R = $\sqrt {{a^2} + {b^2} - c}$ $\sqrt {{a^2} + {b^2} - c}$

Ví dụ: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm A(2; 0), B(0; 4), C(-7: 3).

Giải

Các đoạn thẳng AB, AC tương ứng có trung điểm là M(1 2), $N\left( { - \frac{5}{2};\frac{3}{2}} \right)$ $N\left( { - \frac{5}{2};\frac{3}{2}} \right)$. Đường thẳng trung trực ${\Delta _1}$ ${\Delta _1}$ của đoạn thằng AB đi qua M(1, 2) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {AB} \left( { - 2;{\rm{ }}4} \right)$ $\overrightarrow {AB} \left( { - 2;{\rm{ }}4} \right)$.

Vì $\overrightarrow {AB} \left( { - 2;{\rm{ }}4} \right)$ $\overrightarrow {AB} \left( { - 2;{\rm{ }}4} \right)$ cùng phương với $\overrightarrow n \left( {1; - 2} \right)$ $\overrightarrow n \left( {1; - 2} \right)$ nên ${\Delta _1}$ ${\Delta _1}$ cũng nhận $\overrightarrow n \left( {1; - 2} \right)$ $\overrightarrow n \left( {1; - 2} \right)$ là vectơ pháp tuyến.

Do đó, phương trình của ${\Delta _1}$ ${\Delta _1}$ là

1(x - 1) - 2(y - 2)= 0 hay x - 2y + 3 = 0.

Đường thẳng trung trực ${\Delta _2}$ ${\Delta _2}$ của đoạn thẳng AC đi qua $N\left( { - \frac{5}{2};\frac{3}{2}} \right)$ $N\left( { - \frac{5}{2};\frac{3}{2}} \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {AC} \left( { - 9,{\rm{ }}3} \right)$ $\overrightarrow {AC} \left( { - 9,{\rm{ }}3} \right)$.

Vì A€(-9; 3) cùng phương với n; (3 - 1) nên Az cũng nhận n; (3 - 1) là vectơ pháp tuyến.

Do đó, phương trinh của ${\Delta _2}$ ${\Delta _2}$ là

$3\left( {x + \frac{5}{2}} \right) - 1\left( {y - \frac{3}{2}} \right) = 0$ $3\left( {x + \frac{5}{2}} \right) - 1\left( {y - \frac{3}{2}} \right) = 0$ hay 3x - y + 9 = 0

Tâm I của đường tròn (C) cách đều ba điểm A, B, C nên I là giao điểm của ${\Delta _1}$ ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ ${\Delta _2}$.

Vậy toạ độ của I là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x - 2y + 3 = 0\\ 3x - y + 9 = 0 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} x - 2y + 3 = 0\\ 3x - y + 9 = 0 \end{array} \right.$

Suy ra I(-3; 0). Đường tròn (C) có bán kính là IA = 5. Vậy phương trình của (C) là ${\left( {x + 3} \right)^2} + {y^2} = 25.$ ${\left( {x + 3} \right)^2} + {y^2} = 25.$

Chia sẻ bởi: