Toán 11 Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện Giải Toán 11 Cánh diều trang 89, 90, 91, 92, 93, 94 - Tập 2

Toán lớp 11 trang 94 Cánh diều tập 2 là tài liệu vô cùng hữu ích mà Eballsviet.com muốn giới thiệu đến quý thầy cô cùng các bạn học sinh lớp 11 tham khảo.

Giải Toán 11 Cánh diều Bài 3 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Góc nhị diện được biên soạn đầy đủ, chi tiết trả lời các câu hỏi phần bài tập trang 89, 90, 91, 92, 93, 94. Qua đó giúp các bạn học sinh có thể so sánh với kết quả mình đã làm. Vậy sau đây là nội dung chi tiết giải Toán 11 trang 94 Cánh diều Tập 2, mời các bạn cùng theo dõi tại đây.

Bài 1

Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình thoi cạnh a và AC = a.

a) Tính số đo của góc nhị diện [B, SA, C].

b) Tính số đo của góc nhị diện [B, SA, D].

c) Biết SA = a, tính số đo của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

Gợi ý đáp án

a) SA ⊥ (ABCD) => SA ⊥ AB, SA ⊥ AC

=> \(\widehat{BAC}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [B, SA,C]

Có AB = BC = AC = a

=> Tam giác ABC đều

=> \(\widehat{BAC}\) = \(\widehat{ABC}\) = 60^∘

b) SA ⊥ (ABCD) => SA ⊥ AB, SA ⊥ AD

=> BADˆ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [B, SA,D]

Có ABCD là hình thoi

=> \(\widehat{BAD}\) = 180^∘ − \(\widehat{ABC}\) = 120^∘

c) SA ⊥ (ABCD) => (SC,(ABCD)) = (SC,AC) = \(\widehat{SCA}\)

Tam giác SAC vuông tại A

=> tan\(\widehat{SCA}\) = \(\frac{SA}{AC}\) = \(\frac{a}{a}\) = 1

=> \(\widehat{SCA}\) = 45^∘

Bài 2

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại O, SO ⊥ (ABCD), tam giác SAC là tam giác đều.

a) Tính số đo của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD).
b) Chứng minh rằng AC ⊥ (SBD). Tính số đo của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD).

c) Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Tính số đo của góc nhị diện [M, SO, D].

Gợi ý đáp án

SO ⊥ (ABCD) => (SA,(ABCD)) = (SA,OA) = \(\widehat{SAO}\)

Tam giác SAC là tam giác đều => \(\widehat{SAO}\) = 60^∘

=> \((SA,(ABCD))=60^{\circ}\)

b) ABCD là hình vuông => AC ⊥ BD

SO ⊥ (ABCD) => SO ⊥ AC

=> AC ⊥ (SBD)

=>(SA,(SBD)) = (SA,SO) = \(\widehat{ASO}\) = \(\frac{1}{2}\)\(\widehat{ASC}\) = 30^∘

c) SO ⊥ (ABCD) => SO ⊥ MO, SO ⊥ DO

=> \(\widehat{MOD}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [M,SO,D]

Có ABCD là hình vuông => \(\widehat{AOD}\) = 90^∘

Tam giác AMO vuông cân tại M => \(\widehat{AOM}\) = 45^∘

=> \(\widehat{MOD}\) = \(\widehat{AOM}\) + \(\widehat{AOD}\) = 45^∘ + 90^∘ = 135^∘

Bài 3

Dốc là đoạn đường thẳng nối hai khu vực hay hai vùng có độ cao khác nhau. Độ dốc được xác định bằng góc giữa dốc và mặt phẳng nằm ngang, ở đó độ dốc lớn nhất là 100%, tương ứng với góc 90° (độ dốc 10% tương ứng với góc 9°). Giả sử có hai điểm A, B nằm ở độ cao lần lượt là 200 m, 220 m so với mực nước biển và đoạn dốc AB dài 120 m. Độ dốc đó bằng bao nhiêu phần trăm (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Gợi ý đáp án

Dựa vào hình vẽ, ta có AB là chiều dài con dốc, AE là độ cao của điểm A so với mặt nước biển, BD là độ cao của điểm B so với mực nước biển, BC là chiều cao của con dốc, độ dốc là góc BAC

Ta có: AE = 200, BD = 220, AB = 120

AEDC là hình chữ nhật => AE = CD = 200 => BC = 220 − 200 = 20

Vì tam giác ABC vuông tại C

=> sin\(\widehat{ABC}\) = \(\frac{BC}{AB}\) = \(\frac{1}{6}\)

=> \(\widehat{ABC}\) ≈ 9,59^∘

=> Độ dốc của con dốc đó là 10,66%

Bài 4

Trong Hình 42, máy tính xách tay đang mở gợi nên hình ảnh của một góc nhị diện. Ta gọi số đo góc nhị diện đó là độ mở của màn hình máy tính. Tính độ mở của màn hình máy tính đó, biết tam giác ABC có độ dài các cạnh là AB = AC = 30 cm và BC = 30\(\sqrt{3}\) cm.

Gợi ý đáp án

Gọi d là đường thẳng chứa bản lề của máy tính

=> d ⊥ AB, d ⊥ AC

=> \(\widehat{BAC}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện cần tính

Xét tam giác ABC có

cos\(\widehat{ABC}\) = \(\frac{AB^{2}+AC^{2} -BC^{2} }{2AB.AC}\) = \(-\frac{1}{2}\)

=> \(\widehat{BAC}\) = 120^∘

Bài 5

Trong Hình 43, xét các góc nhị diện có góc phẳng nhị diện tương ứng là \(\hat{B}\), \(\hat{C}\), \(\hat{D}\), \(\hat{E}\) trong cùng mặt phẳng. Lục giác ABCDEG nằm trong mặt phẳng đó có AB = GE = 2 m, BC = DE, \(\hat{A}\) = \(\hat{G}\) = 90, \(\hat{B}\) = \(\hat{E}\) = x, \(\hat{C}\) = \(\hat{D}\) = y . Biết rằng khoảng cách từ C và D đến AG là 4 m, AG = 12 m, CD = 1 m. Tìm x, y (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ).

Gợi ý đáp án

Kẻ CH ⊥ AG (H ∈ AG), DK ⊥ AG (K ∈ AG)

Gọi I = BE ∩ CH, J = BE ∩ DK

ABEG là hình chữ nhật => BE = AB = 12

CDKH,CDJI là hình chữ nhật => IH = JK = AB = 2

AH = GK = BI = EJ = \(\frac{AG-HK}{2}\) = \(\frac{12-1}{2}\) = 5,5

CD = d(C,AG) = 4 => CI = CH − IH = 2

Có tam giác BCI vuông tại I

=> tan\(\widehat{CBI}\) = \(\frac{CI}{BI}\) = \(\frac{2}{5,5}\) = \(\frac{4}{11}\)

=> \(\widehat{CBI}\) ≈ 19,98^∘

=> x = \(\widehat{ABI}\) + \(\widehat{CBI}\) = 90^∘ + 19,98^∘ = 110^∘

=>y = 180^∘ − x = 180^∘ − 110^∘ = 70^∘

Bài 6

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc (ABC). Gọi a là số đo của góc nhị diện [A, BC, S]. Chứng minh rằng tỉ số diện tích của hai tam giác ABC và SBC bằng cosa.

Gợi ý đáp án

Kẻ \(AH\perp BC (H\in BC)\)

=> \(SA\perp (ABC) => SA\perp BC\)

=> \(BC \perp (SAH) => BC\perp SH\)

=> \(\widehat{SHA}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [A,BC,S]

=> \(\widehat{SHA}=\alpha\)

Có \(\frac{S_{\Delta ABC}}{S_{\Delta SBC}}=\frac{\frac{1}{2}BC.AH}{\frac{1}{2}BC.SH}=cos\widehat{SHA}=cos\alpha\)