Toán 11 Bài tập cuối chương II Giải Toán 11 Cánh diều trang 57, 58

Bài trước

Mục lục

Bài sau

Giải Toán lớp 11 trang 57, 58 tập 1 Cánh diều giúp các bạn học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để trả lời các câu hỏi bài tập trong SGK Bài tập cuối chương II.

Toán 11 Cánh diều tập 1 trang 57, 58 được biên soạn với các lời giải chi tiết, đầy đủ và chính xác bám sát chương trình sách giáo khoa môn Toán lớp 11. Giải Toán lớp 11 trang 57, 58 là tài liệu cực kì hữu ích hỗ trợ các em học sinh trong quá trình giải bài tập. Đồng thời phụ huynh có thể sử dụng để hướng dẫn con em học tập và đổi mới phương pháp giải phù hợp hơn.

Giải Toán 11 Bài tập cuối chương II trang 57, 58

Bài tập 1 trang 57

Cho dãy số ( $u_{n}$ $u_{n}$) được xác định bởi: $u_{1}=\frac{1}{3}$ $u_{1}=\frac{1}{3}$ và $u_{n}=3u_{n-1}$ $u_{n}=3u_{n-1}$ với mọi $n\geq 2$ $n\geq 2$. Số hạng thứ năm của dãy số ( $u_{n}$ $u_{n}$) là:

A. $27$

B. $9$

C. $81$

D. $243$

Trả lời: Chọn đáp án A

Bài tập 2 trang 57

Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng?

A. $21, -3, -27, -51,-75$

B. $\frac{1}{2}, \frac{5}{4}, 2, \frac{11}{4},\frac{15}{4}$ $\frac{1}{2}, \frac{5}{4}, 2, \frac{11}{4},\frac{15}{4}$

C. $\sqrt{1},\sqrt{2}, \sqrt{3},\sqrt{4}, \sqrt{5}$ $\sqrt{1},\sqrt{2}, \sqrt{3},\sqrt{4}, \sqrt{5}$

D. $\frac{1}{20}, \frac{1}{30}, \frac{1}{40}, \frac{1}{50}, \frac{1}{60}$ $\frac{1}{20}, \frac{1}{30}, \frac{1}{40}, \frac{1}{50}, \frac{1}{60}$

Trả lời: Chọn đáp án A

Bài tập 3 trang 57

Cho cấp số cộng ( $u_{n}$ $u_{n}$) có số hạng đầu $u_{1}=-5$ $u_{1}=-5$, công sai $d=4$. Công thức của số hạng tổng quát $u_{n}$ $u_{n}$ là:

A. $u_{n}=-5+4n$ $u_{n}=-5+4n$

B. $u_{n}=-1-4n$ $u_{n}=-1-4n$

C. $u_{n}=-5+4n^{2}$ $u_{n}=-5+4n^{2}$

D. $u_{n}=-9+4n$ $u_{n}=-9+4n$

Trả lời: Chọn đáp án D

Bài tập 4 trang 57

Tổng 100 số tự nhiên lẻ đầu tiên tính từ 1 là:

A. 10 000

B. 10 100

C. 20 000

D. 20 200

Trả lời: Chọn đáp án A

Bài tập 5 trang 57

Trong các dãy số ( $u_{n}$ $u_{n}$) cho bằng phương pháp truy hồi sau, dãy số nào là cấp số nhân?

A. Dãy số ( $u_{n}$ $u_{n}$) được xác định bởi: $u_{1}=1$ $u_{1}=1$ và $u_{n}=u_{n-1}(n-1)$ $u_{n}=u_{n-1}(n-1)$ với mọi $n\geq 2$ $n\geq 2$

B. Dãy số ( $u_{n}$ $u_{n}$) được xác định bởi: $u_{1}=1$ $u_{1}=1$ và $u_{n}=2u_{n-1}+1$ $u_{n}=2u_{n-1}+1$ với mọi $n\geq 2$ $n\geq 2$

C. Dãy số ( $u_{n}$ $u_{n}$) được xác định bởi: $u_{1}=1$ $u_{1}=1$ và $u_{n}=u^{2}_{n-1}$ $u_{n}=u^{2}_{n-1}$ với mọi $n\geq 2$ $n\geq 2$

D. Dãy số ( $u_{n}$ $u_{n}$) được xác định bởi: $u_{1}=3$ $u_{1}=3$ và $u_{n}=\frac{1}{3}u_{n-1}$ $u_{n}=\frac{1}{3}u_{n-1}$ với mọi $n\geq 2$ $n\geq 2$

Trả lời: Chọn đáp án D

Bài tập 6 trang 57

Cho cấp số nhân ( $u_{n}$ $u_{n}$) có $u_{1}=-1$ $u_{1}=-1$, công bội $q=-\frac{1}{10}$ $q=-\frac{1}{10}$. Khi đó $\frac{1}{10^{2017}}$ $\frac{1}{10^{2017}}$ là số hạng thứ:

A. 2016

B. 2017

C. 2018

D. 2019

Trả lời: Chọn đáp án C

Bài tập 7 trang 57

Trong các dãy số ( $u_{n}$ $u_{n}$) sau đây, dãy số nào là dãy số tăng?

A. $u_{n}=sinn$ $u_{n}=sinn$

B. $u_{n}=n(-1)^{n}$ $u_{n}=n(-1)^{n}$

C. $u_{n}=\frac{1}{n}$ $u_{n}=\frac{1}{n}$

D. $u_{n}=2^{n+1}$ $u_{n}=2^{n+1}$

Trả lời: Chọn đáp án D

Bài tập 8 trang 58

Xét tính tăng, giảm và bị chặn của mỗi dãy số ( $u_{n}$ $u_{n}$) sau, biết số hạng tổng quát:

a) $u_{n}= \frac{n^{2}}{n+1}$ $u_{n}= \frac{n^{2}}{n+1}$

b) $u_{n}= \frac{2}{5^{n}}$ $u_{n}= \frac{2}{5^{n}}$

c) $u_{n}= (-1)^{n}.n^{2}$ $u_{n}= (-1)^{n}.n^{2}$

Trả lời:

a) Dãy số $(u_{n})$ $(u_{n})$ là dãy số tăng và bị chặn dưới vì $\frac{n^{2}}{n+1}> 0$ $\frac{n^{2}}{n+1}> 0$.

b) Dãy số $(u_{n})$ $(u_{n})$ là dãy số giảm và bị chặn dưới vì $\frac{2}{5^{n}}\geq \frac{2}{5}$ $\frac{2}{5^{n}}\geq \frac{2}{5}$.

c) Dãy số $(u_{n})$ $(u_{n})$ là dãy số không tăng không giảm và không bị chặn.

Bài tập 9 trang 58

Cho cấp số cộng ( $u_{n}$ $u_{n}$). Tìm số hạng đầu $u_{1}$ $u_{1}$, công sai $d$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $u_{2}+u_{5}=42$ $u_{2}+u_{5}=42$ và $u_{4}+u_{9}=66$ $u_{4}+u_{9}=66$

b) $u_{2}+u_{4}=22$ $u_{2}+u_{4}=22$ và $u_{1}.u_{5}=21$ $u_{1}.u_{5}=21$.

Trả lời:

Bài tập 10 trang 58

Cho cấp số nhân ( $u_{n}$ $u_{n}$).Tìm số hạng đầu $u_{1}$ $u_{1}$, công bội $q$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $u_{6}=192$ $u_{6}=192$ và $u_{7}=384$ $u_{7}=384$

b) $u_{1}+u_{2}+u_{3}=7$ $u_{1}+u_{2}+u_{3}=7$ và $u_{5}-u_{2}=14$ $u_{5}-u_{2}=14$.

Trả lời:

a) Ta có: $u_{6}=u_{1}.q^{5}=192 \left ( 1 \right )$ $u_{6}=u_{1}.q^{5}=192 \left ( 1 \right )$

$u_{7}=u_{1}.q^{6}=384 \left ( 2 \right )$ $u_{7}=u_{1}.q^{6}=384 \left ( 2 \right )$

Chia $\frac{\left ( 1 \right )}{\left ( 2 \right )}$ $\frac{\left ( 1 \right )}{\left ( 2 \right )}$ ta có: $\frac{u_{1}.q^{5}}{u_{1}.q^{6}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow q=2$ $\frac{u_{1}.q^{5}}{u_{1}.q^{6}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow q=2$

Thay $q=2$ vào (1) ta có: $u_{1}.2^{5}=192\Leftrightarrow u_{1}=6$ $u_{1}.2^{5}=192\Leftrightarrow u_{1}=6$

Chia $\frac{\left ( 1 \right )}{\left ( 2 \right )}$ $\frac{\left ( 1 \right )}{\left ( 2 \right )}$ ta có:

$\frac{1+q+q^{2}}{q^{4}-q}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2(1+q+q^{2})=q^{4}-q\Leftrightarrow (q+1)(q^{3}-q^{2}-q-2)=0$ $\frac{1+q+q^{2}}{q^{4}-q}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2(1+q+q^{2})=q^{4}-q\Leftrightarrow (q+1)(q^{3}-q^{2}-q-2)=0$

Bài tập 11 trang 58

Tứ giác ABCD có số đo bốn góc A, B, C, D theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Biết số đo góc C gấp 5 lần số đo góc A. Tính số đo các góc của tứ giác ABCD theo đơn vị độ.

Trả lời:

Ta có: $u_{1}=\widehat{A};u_{2}=\widehat{B}=\widehat{A}+d;u_{3}=\widehat{C}=\widehat{A}+2d;u_{4}=\widehat{D}=\widehat{A}+3d$ $u_{1}=\widehat{A};u_{2}=\widehat{B}=\widehat{A}+d;u_{3}=\widehat{C}=\widehat{A}+2d;u_{4}=\widehat{D}=\widehat{A}+3d$

Mà: $\widehat{C}=5\widehat{A}=\widehat{A}+2d\Rightarrow d=2\widehat{A}$ $\widehat{C}=5\widehat{A}=\widehat{A}+2d\Rightarrow d=2\widehat{A}$

Vì: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^{\circ}$ $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^{\circ}$ $\Leftrightarrow 16\hat{A} =360^{0}\Leftrightarrow\hat{A} =22.5^{0}$ $\Leftrightarrow 16\hat{A} =360^{0}\Leftrightarrow\hat{A} =22.5^{0}$

$\Rightarrow \widehat{B}=67,5^{\circ};\widehat{C}=112,5^{\circ};\widehat{D}=157,5^{\circ}$ $\Rightarrow \widehat{B}=67,5^{\circ};\widehat{C}=112,5^{\circ};\widehat{D}=157,5^{\circ}$

Bài tập 12 trang 58

Người ta trồng cây theo các hàng ngang với quy luật: ở hàng thứ nhất có 1 cây, ở hàng thứ hai có 2 cây, ở hàng thứ ba có 3 cây, ... ở hàng thứ n có n cây. Biết rằng người ta trồng hết 4 950 cây. Hỏi số hàng cây được trồng theo cách trên là bao nhiêu?

Trả lời:

$u_{1}=1,d=1$ $u_{1}=1,d=1$

Ta có: $S_{n}=n+\frac{n(n-1)}{2}=4950\Leftrightarrow n=99$ $S_{n}=n+\frac{n(n-1)}{2}=4950\Leftrightarrow n=99$

Vậy có 99 hàng cây được trồng theo cách trên.

Bài tập 13 trang 58

Một cái tháp có 11 tầng. Diện tích của mặt sàn tầng 2 bằng nửa diện tích của mặt đáy tháp và diện tích của mặt sàn mỗi tầng bằng nửa diện tích của mặt sàn mỗi tầng ngay bên dưới. Biết mặt đáy tháp có diện tích là $12 288 m^{2}$ $12 288 m^{2}$. Tính diện tích của mặt sàn tầng trên cùng của tháp theo đơn vị mét vuông.

Trả lời:

Ta có: $n=11, u_{1}=12288,q=\frac{1}{2}$ $n=11, u_{1}=12288,q=\frac{1}{2}$

Do đó: $u_{11}=12288.(\frac{1}{2})^{10}=12$ $u_{11}=12288.(\frac{1}{2})^{10}=12$ (mét vuông).

Bài tập 14 trang 58

Một khay nước có nhiệt độ $23^{\circ}C$ $23^{\circ}C$ được đặt vào ngăn đá của tủ lạnh. Biết sau mỗi giờ, nhiệt độ của nước giảm 20%. Tính nhiệt độ của khay nước đó sau 6 giờ theo đơn vị độ C.

Trả lời:

Nhiệt độ của khay nước đó sau 6 giờ là: $u_{6}=23.(1-0,5)^{5}=0,72$ $u_{6}=23.(1-0,5)^{5}=0,72$ (độ C).

Bài tập 15 trang 58

Cho hình vuông $C_{1}$ $C_{1}$ có cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông $C_{2}$ $C_{2}$ (Hình 4). Từ hình vuông $C_{2}$ $C_{2}$ lại làm tiếp tục như trên để có hình vuông $C_{3}$ $C_{3}$ . Cứ tiếp tục quá trình như trên, ta nhận được dãy các hình vuông $C_{1}, C_{2}, C_{3}, ..., C_{n}, ...$ $C_{1}, C_{2}, C_{3}, ..., C_{n}, ...$ Gọi $a_{n}$ $a_{n}$ là độ dài cạnh hình vuông $C_{n}$ $C_{n}$ . Chứng minh rằng dãy số ( $a_{n}$ $a_{n}$ ) là cấp số nhân.

Gợi ý đáp án

Hình vuông C₁ có độ dài cạnh u₁ = 4

Hình vuông C₂ có độ dài cạnh: $u_2=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$ $u_2=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$

Hình vuông C₃ có độ dài cạnh là: $u_3=\sqrt{\left(\frac{3}{4}\sqrt{10}\right)^2+\left(\frac{1}{4}\sqrt{10}\right)^2}=\frac{5}{2}$ $u_3=\sqrt{\left(\frac{3}{4}\sqrt{10}\right)^2+\left(\frac{1}{4}\sqrt{10}\right)^2}=\frac{5}{2}$

Hình vuông C₄ có độ dài cạnh là: $u_4=\sqrt{\left(\frac{3}{4}.\frac{5}{2} \right)^2+\left(\frac{1}{4}.\frac{5}{2}\right)^2}=\frac{5\sqrt{10} }{8}$ $u_4=\sqrt{\left(\frac{3}{4}.\frac{5}{2} \right)^2+\left(\frac{1}{4}.\frac{5}{2}\right)^2}=\frac{5\sqrt{10} }{8}$

...

Ta có: $\frac{\sqrt{10}}{4}=\frac{\frac{5}{2}}{\sqrt{10}}=\frac{\frac{5\sqrt{10}}{8}}{\frac{5}{2}}=\frac{\sqrt{10}}{4}$ $\frac{\sqrt{10}}{4}=\frac{\frac{5}{2}}{\sqrt{10}}=\frac{\frac{5\sqrt{10}}{8}}{\frac{5}{2}}=\frac{\sqrt{10}}{4}$

Do đó, dãy số trên là một cấp số nhân với số hang đầu u₁ = 4 công bội $q=\frac{\sqrt{10}}{4}$ $q=\frac{\sqrt{10}}{4}$.

Bài tập 16 trang 58

: Ông An vay ngân hàng 1 tỉ đồng với lãi suất 12%/năm. Ông đã trả nợ theo cách: Bắt đầu từ tháng thứ nhất sau khi vay, cuối mỗi tháng ông trả ngân hàng cùng số tiền là a (đồng) và đã trả hết nợ sau đúng 2 năm kể từ ngày vay. Hỏi số tiền mỗi tháng mà ông An phải trả là bao nhiêu đồng (làm tròn kết quả đến hàng nghìn)?

Gợi ý đáp án

Giả sử A_n là số tiền ông An còn nợ ngân hàng sau mỗi tháng.

1 năm = 12 tháng, do đó lãi suất mỗi tháng là 1%.

1 tỷ = 1 000 (triệu đồng)

Suy ra số tiền lãi 1 tháng là: 1 000 . 1% = 10 (triệu đồng)

Ta có:

A₀ = 1 000 (triệu đồng)

A₁ = 1 000 + 1 000 . 10% - a = 1 000 + 10 - a (triệu đồng)

A₂ = 1 000 + 10 - a + 10 - a = 1 000 + 2.10 - 2a (triệu đồng)

A₃ = 1 000 + 2.10 - 2a + 10 - a = 1 000 + 3.10 - 3a (triệu đồng)

...

A_n = 1 000 + n.10 - n.a (triệu đồng)