Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số Giải Toán 11 Cánh diều trang 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65

Toán lớp 11 tập 1 trang 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65 Cánh diều là tài liệu vô cùng hữu ích mà Eballsviet.com muốn giới thiệu đến quý thầy cô cùng các bạn học sinh lớp 11 tham khảo.

Giải Toán 11 Cánh diều Bài 1 Giới hạn của dãy số được biên soạn đầy đủ, chi tiết trả lời các câu hỏi phần bài tập cuối bài trang 64, 65. Qua đó giúp các bạn học sinh có thể so sánh với kết quả mình đã làm. Vậy sau đây là nội dung chi tiết Toán 11 tập 1 Bài 1 Giới hạn của dãy số Cánh diều, mời các bạn cùng theo dõi tại đây.

Toán lớp 11 tập 1 trang 64, 65 - Cánh diều

Bài 1 trang 64

Cho hai dãy số \((u_{n}), (v_{n})\) với \(u_{n}=3+\frac{1}{n}; v_{n}=5-\frac{2}{n^{2}}\). Tính các giới hạn sau:

a) \(\lim u_{n}, \lim v_{n}\).

b) \(\lim(u_{n}+v_{n}), \lim(u_{n}-v_{n}), \lim(u_{n}.v_{n}), \lim\frac{u_{n}}{v_{n}}\).

Gợi ý đáp án

a) \(\lim u_{n}=\lim(3+\frac{1}{n})=\lim3+\lim\frac{1}{n}=3\)

\(\lim v_{n}=\lim(5-\frac{2}{n^{2}})=\lim5-\lim\frac{2}{n^{2}}=5\)

b) \(\lim(u_{n}+v_{n})=\lim u_{n}+\lim v_{n}=3+5=8\)

\(\lim(u_{n}-v_{n})=\lim u_{n}-\lim v_{n}=3-5=-2\)

\(\lim(u_{n}.v_{n})=\lim u_{n}.\lim v_{n}=3.5=15\)

\(\lim\frac{u_{n}}{v_{n}}=\frac{\lim u_{n}}{\lim v_{n}}=\frac{3}{5}\)

Bài 2 trang 65

Tính các giới hạn sau:

a) \(\lim\frac{5n+1}{2n}\);

b) \(\lim\frac{6n^{2}+8n+1}{5n^{2}+3}\);

c) \(\lim\frac{\sqrt{n^{2}+5n+3}}{6n+2}\);

d) \(\lim(2-\frac{1}{3^{n}})\);

e) \(\lim\frac{3^{n}+2^{n}}{4.3^{n}}\);

g) \(\lim\frac{2+\frac{1}{n}}{3^{n}}\).

Gợi ý đáp án

a) \(\lim\frac{5n+1}{2n}=\lim\frac{5+\frac{1}{n}}{2}=\frac{5}{2}\);

b) \(\lim\frac{6n^{2}+8n+1}{5n^{2}+3}=\lim\frac{6+\frac{8}{n}+\frac{1}{n^{2}}}{5+\frac{3}{n^{2}}}=\frac{6}{5}\);

c) \(\lim\frac{\sqrt{n^{2}+5n+3}}{6n+2}=\lim\frac{n\sqrt{1+\frac{5}{n}+\frac{3}{n^{2}}}}{n(6+\frac{2}{n})}=\frac{1}{6}\);

d) \(\lim(2-\frac{1}{3^{n}})=\lim2-\lim(\frac{1}{3})^{n}=2\);

e) \(\lim\frac{3^{n}+2^{n}}{4.3^{n}}=\lim\frac{1+(\frac{2}{3})^{n}}{4}=\frac{1}{4}\);

g) \(\lim\frac{2+\frac{1}{n}}{3^{n}}=\lim\frac{2+0}{+\infty}=0\).

Bài 3 trang 65

a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn \((u_{n})\), với \((u_{n})\), với \(u_{1}=\frac{2}{3}, q=-\frac{1}{4}\).

b) Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 1,(6) dưới dạng phân số.

Gợi ý đáp án

a) \(S=\frac{\frac{2}{3}}{1-(-\frac{1}{4})}=\frac{5}{6}\);

b) \(1,(6)=\frac{5}{3}\).

Bài 4 trang 65

Từ hình vuông có độ dài cạnh bằng 1, người ta nối các trung điểm của cạnh hình vuông để tạo ra hình vuông mới như Hình 3. Tiếp tục quá trình này đến vô hạn.

a) Tính diện tích \(S_{n}\) của hình vuông được tạo thành ở bước thứ \(n\);

b) Tính tổng diện tích của tất cả các hình vuông được tạo thành.

Gợi ý đáp án

a) Ta có: \(u_{1}=1, q=\frac{1}{2}\)

Do đó: \(S_{n}=(\frac{1}{2})^{n-1}\)

b) \(S=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2\).

Bài 5 trang 65

Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T= 24 000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người (T được gọi là chu kì bán rã). (Nguồn: Đại số và Giải tích 11, NXBGD Việt Nam, 2021)

Gọi \(u_{n}\) là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n.

a) Tìm số hạng tổng quát \(u_{n}\) của dãy số \((u_{n})\).

b) Chứng minh rằng \((u_{n})\) có giới hạn là 0.

c) Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, biết rằng chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn \(10^{-6}\) g.

Gợi ý đáp án

a) Sau một chu kì bán rã: \(u_{1}=\frac{1}{2}.1=\frac{1}{2}\) (kg).

Sau hai chu kì bán rã: \(u_{2}=\frac{1}{2}.u_{1}=\frac{1}{2^{2}}\).

Tổng quát: Sau n chu kì bán rã: \(u_{n}=\frac{1}{2^{n}}\).

b) \(\lim_{n\rightarrow \infty} u_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty} (\frac{1}{2})^{n}=0\).

c) Đổi \(10^{-6}\) g = \(10^{-9}\) kg

Ta có: \(u_{n}< 10^{-9}\Leftrightarrow \frac{1}{2^{n}}< 10^{-9}\Leftrightarrow 2^{n}>10^{9} \Leftrightarrow n\geq 30\)

Vậy sau 30 chu kì, tức là 30.24000 = 720 000 năm thì 1 kg phóng xạ này không còn độc hại nữa.

Bài 6 trang 65

Gọi \(C\) là nửa đường tròn đường kính \(AB=2R\), \(C_{1}\) là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính \(\frac{AB}{2}\), \(C_{2}\) là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính \(\frac{AB}{4}\), \(C_{n}\) là đường gồm \(2^{n}\) nửa đường tròn đường kính \(\frac{AB}{2^{n}}\),... (Hình 4). Gọi \(p_{n}\) là độ dài của \(C_{n}\), \(S_{n}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(C_{n}\) và đoạn thẳng \(AB\).

a) Tính \(p_{n}, S_{n}\).

b) Tìm giới hạn của các dãy số \((p_{n})\) và \((S_{n})\).

Gợi ý đáp án

a) Ta có: \(p_{n}=2^{n}.\frac{R}{2^{n}}.\pi =\pi R\)

\(S_{n}=2^{n}.(\frac{R}{2^{n}})^{2}.\frac{\pi }{2}=\frac{\pi R^{2}}{2}.\frac{1}{2^{n}}\)

b) Ta có: \(\lim p_{n}=\pi R\), \(\lim S_{n}=0\)