Toán 11 Bài tập cuối chương III Giải Toán 11 Cánh diều trang 79, 80

Giải Toán 11 Bài tập cuối chương III là tài liệu vô cùng hữu ích giúp các em học sinh lớp 11 có thêm nhiều gợi ý tham khảo để giải các bài tập trong SGK Toán 11 Cánh diều tập 1 trang 79, 80.

Toán 11 Cánh diều tập 1 trang 79, 80 được biên soạn đầy đủ, chi tiết trả lời các câu hỏi từ bài 1 đến 6 chương Giới hạn hàm số liên tục giúp các bạn có thêm nhiều nguồn ôn tập đối chiếu với kết quả mình đã làm. Vậy sau đây là nội dung chi tiết giải Toán 11 tập 1 Bài tập cuối chương IIII Cánh diều, mời các bạn cùng theo dõi tại đây.

Toán lớp 11 Cánh diều tập 1 trang 79, 80

Bài tập 1 trang 79

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 ∈ (a; b). Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) liên tục tại x0 là:

A. limx→x0+fx=fx0;

B. limx→x0−fx=fx0;

C. limx→x0+fx=limx→x0−fx;

D. limx→x0+fx=limx→x0−fx=fx0.

Gợi ý đáp án

Chọn đáp án D

Bài tập 2 trang 79

Tính các giới hạn sau:

a) \(\lim \frac{2n^{2}+6n+1}{8n^{2}+5}\);

b) \(\lim \frac{4n^{2}-3n+1}{-3n^{3}+6n^{2}-2}\);

c) \(\lim \frac{\sqrt{4n^{2}-n+3}}{8n-5}\);

d) \(\lim (4-\frac{2^{n+1}}{3^{n}})\);

e) \(\lim \frac{4.5^{n}+2^{n+2}}{6.5^{n}}\);

g) \(\lim \frac{2+\frac{4}{n^{3}}}{6^{n}}\).

Gợi ý đáp án

a) \(\lim \frac{2n^{2}+6n+1}{8n^{2}+5}=\lim \frac{2+\frac{6}{n}+\frac{1}{n^{2}}}{8+\frac{5}{n^{2}}}=\frac{1}{4}\);

b) \(\lim \frac{4n^{2}-3n+1}{-3n^{3}+6n^{2}-2}=\lim \frac{n^{2}(4-\frac{3}{n}+\frac{1}{n^{2}})}{n^{3}(-3+\frac{6}{n}-\frac{2}{n^{3}})}=\lim\frac{1}{n}.(-\frac{4}{3})=0\);

c) \(\lim \frac{\sqrt{4n^{2}-n+3}}{8n-5}=\lim\frac{\sqrt{4-\frac{1}{n}+\frac{3}{n^{2}}}}{8-\frac{5}{n}}=\frac{1}{4}\);

d) \(\lim (4-\frac{2^{n+1}}{3^{n}})=\lim(4-(\frac{2}{3})^{n}.2)=4\);

e) \(\lim \frac{4.5^{n}+2^{n+2}}{6.5^{n}}=\lim (\frac{2}{3}+\frac{2}{3}.(\frac{2}{5})^{n})=\frac{2}{3}\);

g) \(\lim \frac{2+\frac{4}{n^{3}}}{6^{n}}=\frac{2+0}{+\infty}=0\).

Bài tập 3 trang 79

Tính các giới hạn sau:

a) \(\lim_{x\rightarrow -3}(4x^{2}-5x+6)\);

b) \(\lim_{x\rightarrow 2}\frac{2x^{2}-5x+2}{x-2}\);

c) \(\lim_{x\rightarrow 4}\frac{\sqrt{x}-2}{x^{2}-16}\).

Gợi ý đáp án

a) \(\lim_{x\rightarrow -3}(4x^{2}-5x+6)=57\);

b) \(\lim_{x\rightarrow 2}\frac{2x^{2}-5x+2}{x-2}=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x-2)(x-\frac{1}{2})}{x-2}=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\);

c) \(\lim_{x\rightarrow 4}\frac{\sqrt{x}-2}{x^{2}-16}=\lim_{x\rightarrow 4}\frac{\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)(x+4)}=\lim\frac{1}{(\sqrt{x}+2)(x+4)}=\frac{1}{32}\)

Bài tập 4 trang 79

Tính các giới hạn sau:

a) \(\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{6x+8}{5x-2}\);

b) \(\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{6x+8}{5x-2}\);

c) \(\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{\sqrt{9x^{2}-x+1}}{3x-2}\);

d) \(\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\sqrt{9x^{2}-x+1}}{3x-2}\);

e) \(\lim_{x\rightarrow -2^{-}}\frac{3x^{2}+4}{2x+4}\);

g) \(\lim_{x\rightarrow -2^{+}}\frac{3x^{2}+4}{2x+4}\).

Gợi ý đáp án

a) \(\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{6x+8}{5x-2}=\frac{6}{5}\);

b) \(\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{6x+8}{5x-2}=\frac{6}{5}\);

c) \(\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{\sqrt{9x^{2}-x+1}}{3x-2}=1\);

d) \(\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\sqrt{9x^{2}-x+1}}{3x-2}=1\);

e) \(\lim_{x\rightarrow -2^{-}}\frac{3x^{2}+4}{2x+4}=-\infty\);

g) \(\lim_{x\rightarrow -2^{+}}\frac{3x^{2}+4}{2x+4}=+\infty\).

Bài tập 5 trang 79

Cho hàm số

a) Với \(a=0, b=1\), xét tính liên tục của hàm số tại \(x=2\).

b) Với giá trị nào của \(a, b\) thì hàm số liên tục tại \(x=2\)?

c) Với giá trị nào của \(a, b\) thì hàm số liên tục trên tập xác định?

Gợi ý đáp án

a) Ta có: a=0, b=1 thì 

Có: \(f(2)=4\)

\(\lim_{x\rightarrow 2^{-}} f(x)=2.2=4\)

\(\lim_{x\rightarrow 2^{+}} f(x)=-3.2+1=-5\)

Do đó: \(\lim_{x\rightarrow 2^{+}} f(x)\neq \lim_{x\rightarrow 2^{-}} f(x)=f(2)\)

Vậy hàm số không liên tục tại \(x=2\).

b) Ta có: \(f(2)=4\)

\(\lim_{x\rightarrow 2^{-}} f(x)=4+a\)

\(\lim_{x\rightarrow 2^{+}} f(x)=-6+b\)

Để hàm số liên tục tại \(x=2\) thì: \(4+a=-6+b=4\Leftrightarrow a=0; b=10\).

Vậy \(a=10; b=0\) thì hàm số liên tục tại \(x=2\).

c) TXĐ: \(\mathbb{R}\)

Do \(f(x)=2x+a\) nếu \(x< 2\) nên hàm số liên tục trên khoảng \((-\infty,2)\).

Do \(f(x)=-3x+b\) nếu \(x> 2\) nên hàm số liên tục trên khoảng \((2,+\infty)\).

Nếu \(a=0; b=10\) thì hàm số liên tại điểm \(x=2\).

Do đó khi \(a=0; b=10\) thì hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Bài tập 6 trang 80

Từ độ cao 55, 8 m của tháp nghiêng Pisa nước Ý, người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất (Hình 18). Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng \(\frac{1}{10}\) độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Gọi \(S_{n}\) là tổng độ dài quãng đường di chuyển của quả bóng tính từ lúc thả ban đầu cho đến khi quả bóng đó chạm đất \(n\) lần. Tính \(\lim S_{n}\).

Gợi ý đáp án

\(S_{n} = \frac{55,8\left [ 1-(1-\frac{1}{10})^{n} \right ]}{1-(1-\frac{1}{10})}=558(1-0,9^{n})\)

Suy ra: \(\lim S_{n}= \lim 558(1-0,9^{n})=558\)

Bài tập 7 trang 80

Cho một tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a\). Tam giác \(A_{1}B_{1}C_{1}\) có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác \(ABC\), tam giác \(A_{2}B_{2}C_{2}\) có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác \(A_{1}B_{1}C_{1}\), ..., tam giác \(A_{n+1}B_{n+1}C_{n+1}\) có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác \(A_{n}B_{n}C_{n}\), ... Gọi \(p_{1}, p_{2},\) ..., \(p_{n}\), ... và \(S_{1}, S_{2},\) ..., \(S_{n}\), ... theo thứ tự là chu vi và diện tích của các tam giác \(A_{1}B_{1}C_{1}, A_{2}B_{2}C_{2}\), ..., \(A_{n}B_{n}C_{n}\), ... .

a) Tìm giới hạn của các dãy số (\(p_{n}\)) và (\(S_{n}\)).

b) Tìm các tổng \(p_{1}+p_{2}+\)...\(+p_{n}+\)... và \(S_{1}+S_{2}+\)...\(+S_{n}+\)... .

Gợi ý đáp án

a) Ta có: \(p_{1}=\frac{a}{2}+\frac{a}{2}+\frac{a}{2}=\frac{3a}{2}\), \(p_{2}=\frac{3a}{4}\), \(p_{n}=\frac{3a}{2^{n}}\)

Suy ra: \(\lim p_{n}=\lim 3a.\frac{1}{2^{n}}=0\)

Có: \(S_{ABC}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\), \(S_{A_{1}B_{1}C_{1}}=\frac{S}{4}\), \(S_{n}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}.(\frac{1}{4})^{n}\)

Suy ra: \(\lim S_{n}=\lim \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}.(\frac{1}{4})^{n}=0\)

b) \((p_{n})\) là cấp số nhân lùi vô hạn với công bội \(q=\frac{1}{2}\), ta có:

\(p_{1}+p_{2}+\)...\(+p_{n}+\)...=\(\frac{p_{1}}{1-\frac{1}{2}}=2p_{1}=3a\)

(S_{n}) là cấp số nhân lùi vô hạn với công bội \(q=\frac{1}{4}\)

\(S_{1}+S_{2}+\)...\(+S_{n}+\)...=\(\frac{S_{1}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}S_{1}=\frac{S}{3}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{12}\)

Bài tập 8 trang 80

Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là \(f\). Gọi \(d\) và \(d'\) lần lượt là khoảng cách từ một vật thật \(AB\) và từ ảnh \(A'B'\) của nó tới quang tâm O của thấu kính như Hình 19. Công thức thấu kính là \(\frac{1}{d}+\frac{1}{d'}=\frac{1}{f}\).

a) Tìm biểu thức xác đinh hàm số \(d'=\varphi (d)\).

b) Tìm \(\lim_{d\rightarrow f^{+}}\varphi (d), \lim_{d\rightarrow f^{-}}\varphi (d), \lim_{d\rightarrow f}\varphi (d)\). Giải thích ý nghĩa của các kết quả tìm được.

Gợi ý đáp án

a) Thấu kính hội tụ có tiêu cự f

\(\frac{1}{d}+\frac{1}{d'}=\frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{d'}=\frac{1}{f}-\frac{1}{d}=\frac{d-f}{fd}\Rightarrow d'=\frac{fd}{d-f}=\varphi (d)\)

b) - \(\lim_{d\rightarrow f^{+}}\varphi (d)=\lim_{d\rightarrow f^{+}}\frac{fd}{d-f}\)

Ta có: \(\lim_{d\rightarrow f^{+}}(fd)=f^{2}\);

\(\lim_{d\rightarrow f^{+}}(d-f)=0\);

\(d-f> 0\) khi \(d\rightarrow f^{+}\).

Suy ra: \(\lim_{d\rightarrow f^{+}}\varphi (d)=+\infty\).

Ý nghĩa: Khi đặt vật nằm ngoài tiêu cự và tiến dần đến tiêu điểm thì cho ảnh thật ngược chiều với vật ở vô cùng.

- \(\lim_{d\rightarrow f^{-}}\varphi (d)=\lim_{d\rightarrow f^{-}}\frac{fd}{d-f}=-\infty\)

Ý nghĩa: Khi đặt vật nằm trong tiêu cự và tiến dần đến tiêu điểm thì cho ảnh ảo cùng chiều với vật và nằm ở vô cùng.

- \(\lim_{d\rightarrow +\infty}\varphi (d)=\lim_{d\rightarrow +\infty}\frac{fd}{d-f}=\lim_{d\rightarrow +\infty}\frac{f}{1-\frac{f}{d}}=f\)

Ý nghĩa: Khi vật được đặt ở xa vô cùng thì sẽ cho ảnh tại tiêu điểm.