Toán 9 Bài 3: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Giải Toán 9 Cánh diều tập 1 trang 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25

Giải Toán 9 Bài 3: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là tài liệu vô cùng hữu ích giúp các em học sinh lớp 9 có thêm nhiều gợi ý tham khảo để giải các bài tập trong SGK Toán 9 Cánh diều tập 1 trang 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25.

Giải bài tập Toán 9 Cánh diều tập 1 Bài 3 - Chương I: Phương tình và hệ phương trình bậc nhất được trình bày rõ ràng, cẩn thận, dễ hiểu nhằm giúp học sinh nhanh chóng biết cách làm bài. Đồng thời, cũng là tài liệu hữu ích giúp giáo viên thuận tiện trong việc hướng dẫn học sinh học tập. Vậy mời thầy cô và các em theo dõi bài viết dưới đây của Eballsviet.com:

Giải Toán 9 Cánh diều Tập 1 trang 25

Bài 1

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a. \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 0\\3x + 2y = 8\end{array} \right.\)

b. \(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{3}{4}x + \frac{1}{2}y = - 2\\\frac{3}{2}x - y = 4\end{array} \right.\)

c. \(\left\{ \begin{array}{l}4x - 2y = 1\\ - 2x + y = 0\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải

\(a. \left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\3x + 2y = 8\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Từ phương trình (1), ta có: \(x = 2y\) (3)

Thay vào phương trình (2), ta được: \(3.2y + 2y = 8\) (4)

Giải phương trình (4):

\(\begin{array}{l}3.2y + 2y = 8\\6y + 2y = 8\\8y = 8\\y = 1\end{array}\)

Thay giá trị \(y = 1\) vào phương trình (3), ta có: \(x = 2.1 = 2\).

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;1} \right)\).

\(b.\left\{ \begin{array}{l} - \frac{3}{4}x + \frac{1}{2}y = - 2\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\frac{3}{2}x - y = 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Từ phương trình (2), ta có: \(y = \frac{3}{2}x - 4\) (3)

Thay vào phương trình (1), ta được: \(- \frac{3}{4}x + \frac{1}{2}\left( {\frac{3}{2}x - 4} \right) = - 2\) (4)

Giải phương trình (4):

\(\begin{array}{l} - \frac{3}{4}x + \frac{1}{2}\left( {\frac{3}{2}x - 4} \right) = - 2\\ - \frac{3}{4}x + \frac{3}{4}x - 2 = - 2\\0 = 0\end{array}\)

Do đó, phương trình (4) có vô số nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

\(c. \left\{ \begin{array}{l}4x - 2y = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ - 2x + y = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Từ phương trình (2), ta có: \(y = 2x\) (3)

Thay vào phương trình (1), ta được: \(4x - 2.2x = 1\) (4)

Giải phương trình (4):

\(\begin{array}{l}4x - 4x = 1\\0x = 1\end{array}\)

Do đó, phương trình (4) vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 2

Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

\(a. \left\{ \begin{array}{l}2x + y = 4\\x - y = 2\end{array} \right.;\)

\(b. \left\{ \begin{array}{l}4x + 5y = 11\\2x - 3y = 0\end{array} \right.;\)

\(c. \left\{ \begin{array}{l}12x + 18y = - 24\\ - 2x - 3y = 4\end{array} \right.;\)

\(d. \left\{ \begin{array}{l}x - 3y = 5\\ - 2x + 6y = 10\end{array} \right..\)

Hướng dẫn giải

\(a. \left\{ \begin{array}{l}2x + y = 4\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x - y = 2\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình (1) và (2), ta nhận được phương trình:

\(3x = 6\), tức là \(x = 2\)

Thế \(x = 2\) vào phương trình (2), ta nhận được phương trình: \(2 - y = 2\) (3)

Giải phương trình (3), ta có: \(y = 0\).

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;0} \right)\).

\(b. \left\{ \begin{array}{l}4x + 5y = 11\,\,\,\left( 1 \right)\\2x - 3y = 0\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình (2) với 2 và giữ nguyên phương trình (1), ta được hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}4x + 5y = 11\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\\4x - 6y = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\)

Trừ từng vế hai phương trình (3) và (4), ta nhận được phương trình: \(11y = 11\) (5)

Giải phương trình (5), ta có:

\(\begin{array}{l}11y = 11\\\,\,\,\,\,y = 1\end{array}\)

Thế giá trị \(y = 1\) vào phương trình (2), ta được phương trình: \(2x - 3.1 = 0\) (6)

Giải phương trình (6):

\(\begin{array}{l}2x - 3.1 = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2x = 3\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = \frac{3}{2}\end{array}\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{3}{2};1} \right)\).

\(c. \left\{ \begin{array}{l}12x + 18y = - 24\,\,\,\left( 1 \right)\\ - 2x - 3y = 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Chia hai vế của phương trình (1) với \(- 6\) và giữ nguyên phương trình (2), ta được hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l} - 2x - 3y = 4\,\,\,\left( 3 \right)\\ - 2x - 3y = 4\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\)

Trừ từng vế của phương trình (3) và (4), ta nhận được phương trình: \(0x + 0y = 0\) (5)

Do đó phương trình (5) có vô số nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

\(d. \left\{ \begin{array}{l}x - 3y = 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ - 2x + 6y = 10\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\,\)

Chia hai vế của phương trình (2) với \(- 2\) và giữ nguyên phương trình (1), ta được hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y = 5\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\\x - 3y = - 5\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\)

Trừ từng vế của phương trình (3) và (4), ta nhận được phương trình: \(0y = 10\) (5)

Do đó phương trình (5) vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 3

Xác định \(a,b\) để đồ thị của hàm số \(y = ax + b\) đi qua hai điểm \(A,B\) trong mỗi trường hợp sau:

a. \(A\left( {1; - 2} \right)\) và \(B\left( { - 2; - 11} \right)\);

b. \(A\left( {2;8} \right)\) và \(B\left( { - 4;5} \right)\).

Hướng dẫn giải

a.

Do đồ thị của hàm số \(y = ax + b\) đi qua điểm \(A\left( {1; - 2} \right)\) nên ta có phương trình: \(a + b = - 2\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Do đồ thị của hàm số \(y = ax + b\) đi qua điểm \(B\left( { - 2; - 11} \right)\) nên ta có phương trình: \(- 2a + b = - 11\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = - 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ - 2a + b = - 11\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Ta giải hệ phương trình trên:

+ Trừ từng vế của phương trình (1) và (2), ta nhận được phương trình \(3a = 9\), tức là \(a = 3\).

+ Thế giá trị \(a = 3\) vào phương trình (1), ta được phương trình: \(3 + b = - 2\) (3)

+ Giải phương trình (3): \(b = - 5\).

+ Do đó hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left( {a;b} \right) = \left( {3; - 5} \right)\).

Vậy ta có hàm số: \(y = 3x - 5\).

b.

Do đồ thị của hàm số \(y = ax + b\) đi qua điểm \(A\left( {2;8} \right)\) nên ta có phương trình: \(2a + b = 8\,\,\,\left( 1 \right)\)

Do đồ thị của hàm số \(y = ax + b\) đi qua điểm \(B\left( { - 4;5} \right)\) nên ta có phương trình: \(- 4a + b = 5\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2a + b = 8\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ - 4a + b = 5\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Ta giải hệ phương trình trên:

+ Trừ từng vế của phương trình (1) và (2), ta nhận được phương trình \(6a = 3\) tức là \(a = \frac{1}{2}\).

+ Thế giá trị \(a = \frac{1}{2}\) vào phương trình (1), ta được phương trình: \(2.\frac{1}{2} + b = 8\) (3)

+ Giải phương trình (3):

\(\begin{array}{l}1 + b = 8\\\,\,\,\,\,\,b = 7\end{array}\)

+ Do đó hệ phương trình đã cho có nghiệm: \(\left( {a;b} \right) = \left( {\frac{1}{2};7} \right)\).

Vậy ta có hàm số: \(y = \frac{1}{2}x + 7\).

Bài 4

Một ca nô đi xuôi dòng một quãng đường 42km hết 1 giờ 30 phút và ngược dòng đó hết 2 giờ 6 phút. Tính tốc độ của ca nô khi nước yên lặng và tốc độ của dòng nước. Biết rằng tốc độ của ca nô khi nước yên lặng không đổi trên suốt quãng đường và tốc độ của dòng nước cũng không đổi khi ca nô chuyển động.

Hướng dẫn giải

Đổi: 1 giờ 30 phút = \(\frac{3}{2}\) giờ

2 giờ 6 phút = \(\frac{{21}}{{10}}\) giờ

Gọi vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là: \(x\) \(\left( km/h \right)\), vận tốc của dòng nước là: \(y\,\,\left( {km/h,0 < y < x} \right)\).

+ Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là: \(x + y\,\,\left( {km/h} \right)\);

+ Thời gian ca nô xuôi dòng là: \(\frac{{42}}{{x + y}}\) (giờ);

+ Do thời gian ca nô xuôi dòng hết 1 giờ 30 phút nên ta có phương trình: \(\frac{{42}}{{x + y}} = \frac{3}{2}\) (1)

+ Vận tốc của ca nô khi ngược dòng là: \(x - y\,\,\left( {km/h} \right)\);

+ Thời gian ca nô ngược dòng là: \(\frac{{42}}{{x - y}}\) (giờ);

+ Do thời gian ca nô ngược dòng hết 2 giờ 6 phút nên ta có phương trình: \(\frac{{42}}{{x - y}} = \frac{{21}}{{10}}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{42}}{{x + y}} = \frac{3}{2}\,\,\,\left( 1 \right)\\\frac{{42}}{{x - y}} = \frac{{21}}{{10}}\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Ta giải hệ phương trình trên:

Từ phương trình (1), ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{42}}{{x + y}} = \frac{3}{2}\\3x + 3y = 84\end{array}\)

\(x + y = 28\) (3)

Từ phương trình (2), ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{42}}{{x - y}} = \frac{{21}}{{10}}\\21x - 21y = 420\end{array}\)

\(x - y = 20\) (4)

Cộng từng vế của phương trình (3) và (4), ta được: \(2x = 48\) tức là \(x = 24\).

Thay giá trị \(x = 24\) vào phương trình (4), ta được: \(24 + y = 28\) (5)

Giải phương trình (5): \(y = 4\).

Do đó hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {24;4} \right)\).

Vậy vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là 24km/h;

Vận tốc của dòng nước là 4km/h.

Bài 5

Bác Phương chia số tiền 800 triệu đồng của mình cho hai khoản đầu tư. Sau một năm, tổng tiền lãi thu được là 54 triệu đồng. Lãi suất cho khoản đầu tư thứ nhất là 6%/năm và khoản đầu tư thứ hai là 8%/năm. Tính số tiền bác Phương đầu tư cho mỗi khoản.

Hướng dẫn giải

Gọi \(x,y\) (triệu đồng) là số tiền bác Phương đầu tư cho mỗi khoản \(\left( {0 < x,y < 800} \right)\).

Do bác Phương gửi tổng 800 triệu đồng cho hai khoản đầu tư nên ta có phương trình:

\(x + y = 800\) (1)

Lãi suất cho khoản đầu tư thứ nhất là 6%/năm, số tiền là: \(6\% .x = 0,06x\)

Lãi suất cho khoản đầu tư thứ hai là 8%/năm, số tiền là: \(8\% y = 0,08y\)

Tổng số tiền lãi thu được là 54 triệu đồng, nên ta có phương trình:

\(0,06x + 0,08y = 54\)

Hay \(6x + 8y = 5400\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 800\\6x + 8y = 5400\end{array} \right.\)

Nhân phương trình (1) với 3, chia phương trình (2) cho 2 ta có hệ phương trình mới:

\(\left\{ \begin{array}{l}3x + 3y = 2400\,\,\,\left( 3 \right)\\3x + 4y = 2700\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\)

Trừ từng vế của phương trình (4) cho phương trình (3), ta được: \(y = 300\).

Thế \(y = 300\) vào phương trình (1) ta được\(x + 300 = 800\), tức là: \(x = 500\)

Vậy số tiền bác Phương đầu tư cho khoản thứ nhất là 500 triệu đồng, khoản thứ hai là 300 triệu đồng.

Bài 6

Nhân dịp ngày Giố Tổ Hùng Vương, một siêu thị điện máy đã giảm giá nhiều mặt hàng để kích cầu mua sắm. Giá niêm yết của một chiếc tủ lạnh và một chiếc máy giặt có tổng số tiền là 25,4 triệu đồng. Tuy nhiên, trong dịp này tủ lạnh giảm 40% giá niêm yết và máy giặt giảm 25% giá niêm yết. Vì thế, cô Liên đã mua hai mặt hàng trên với tổng số tiền là 16,77 triệu đồng. Hỏi giá niêm yết của mỗi mặt hàng trên là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Gọi \(x\) (triệu đồng) là giá niêm yết của tủ lạnh \(\left( {0 < x < 25,4} \right)\);

Gọi \(y\) (triệu đồng) là giá niêm yết của tủ lạnh \(\left( {0 < y < 25,4} \right)\).

Giá niêm yết một tủ lạnh và một máy giặt có tổng số tiền là 25,4 triệu đồng nên ta có phương trình: \(x + y = 25,4\,\,\left( 1 \right)\)

Giá của tủ lạnh sau khi được giảm là: \(x - 40\% x = 60\% x = 0,6x\) (triệu đồng)

Giá của máy giặt sau khi được giảm là: \(y - 25\% y = 75\% y = 0,75y\) (triệu đồng)

Cô Liên đã mua hai mặt hàng trên với tổng số tiền là 16,77 triệu đồng nên ta có:

\(0,6x + 0,75y = 16,77\) hay \(60x + 75y = 1677\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 25,4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\60x + 75y = 1677\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Nhân phương trình (1) với 60 và giữ nguyên phương trình (2) ta được hệ phương trình mới:

\(\left\{ \begin{array}{l}60x + 60y = 1524\,\,\,\,\left( 3 \right)\\60x + 75y = 1677\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\)

Trừ từng vế của phương trình (4) cho phương trình (3), ta được \(15y = 153\), tức là \(y = 10,2\).

Thay \(y = 10,2\) vào phương trình (1) ta được \(x + 10,2 = 25,4\) hay \(x = 15,2\).

Vậy giá lúc đầu của tủ lạnh là 15,2 (triệu đồng);

Giá lúc đầu của máy giặt là 10,2 (triệu đồng).

Bài 7

Nhân dịp ngày Giố Tổ Hùng Vương, một siêu thị điện máy đã giảm giá nhiều mặt hàng để kích cầu mua sắm. Giá niêm yết của một chiếc tủ lạnh và một chiếc máy giặt có tổng số tiền là 25,4 triệu đồng. Tuy nhiên, trong dịp này tủ lạnh giảm 40% giá niêm yết và máy giặt giảm 25% giá niêm yết. Vì thế, cô Liên đã mua hai mặt hàng trên với tổng số tiền là 16,77 triệu đồng. Hỏi giá niêm yết của mỗi mặt hàng trên là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Gọi \(x\) (triệu đồng) là giá niêm yết của tủ lạnh \(\left( {0 < x < 25,4} \right)\);

Gọi \(y\) (triệu đồng) là giá niêm yết của tủ lạnh \(\left( {0 < y < 25,4} \right)\).

Giá niêm yết một tủ lạnh và một máy giặt có tổng số tiền là 25,4 triệu đồng nên ta có phương trình: \(x + y = 25,4\,\,\left( 1 \right)\)

Giá của tủ lạnh sau khi được giảm là: \(x - 40\% x = 60\% x = 0,6x\) (triệu đồng)

Giá của máy giặt sau khi được giảm là: \(y - 25\% y = 75\% y = 0,75y\) (triệu đồng)

Cô Liên đã mua hai mặt hàng trên với tổng số tiền là 16,77 triệu đồng nên ta có:

\(0,6x + 0,75y = 16,77\) hay \(60x + 75y = 1677\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 25,4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\60x + 75y = 1677\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Nhân phương trình (1) với 60 và giữ nguyên phương trình (2) ta được hệ phương trình mới:

\(\left\{ \begin{array}{l}60x + 60y = 1524\,\,\,\,\left( 3 \right)\\60x + 75y = 1677\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\)

Trừ từng vế của phương trình (4) cho phương trình (3), ta được \(15y = 153\), tức là \(y = 10,2\).

Thay \(y = 10,2\) vào phương trình (1) ta được \(x + 10,2 = 25,4\) hay \(x = 15,2\).

Vậy giá lúc đầu của tủ lạnh là 15,2 (triệu đồng);

Giá lúc đầu của máy giặt là 10,2 (triệu đồng).