So sánh biểu thức với một số Ôn tập Toán 9

So sánh biểu thức với một số là một trong những kiến thức trọng tâm trong chương trình Toán 9.

So sánh giá trị biểu thức với một số hoặc biểu thức bao gồm cách so sánh, phương pháp kèm theo một số ví dụ minh họa. Thông qua tài liệu này sẽ giúp cho các em ôn tập kiến thức một cách hiệu quả, định hướng đúng trong quá trình ôn tập và giúp các em tiết kiệm tối đa thời gian học tập. Đặc biệt là biết cách so sánh biểu thức với một số. Ngoài ra các bạn tham khảo thêm rất nhiều tài liệu hay khác tại chuyên mục Toán 9.

So sánh giá trị biểu thức với một số hoặc một biểu thức khác

I. Cách so sánh biểu thức chứa căn với một số

+) So sánh biểu thức A với một số m

- Xét hiệu A – m

- Dùng các điều kiện của biến x, Các bất đẳng thức, hằng đẳng thức để đánh giá hiệu A – m

Nếu A – m > 0 thì A > m
Nếu A – m < 0 thì A < m

+) So sánh biểu thức A với một biểu thức khác

- So sánh biểu thức A với A

Nếu 0 < A < 1 thì A < A
Nếu A > 1 thì A > A

- So sánh biểu thức A với A

Vì A≤A với mọi A
Nếu A≥0 thì A=A
Nếu A < 0 thì A < |A|

+) Tìm x để A > m (A < m, A m, A m).

- Xét A > m

- Quy đồng mẫu (chú ý không được khử mẫu)

- Xét dấu tử số và mẫu số, tìm được x

- So sánh với điều kiện đầu bài rồi kết luận.

II. Phương pháp so sánh biểu thức chứa căn với một số

- Để so sánh hai biểu thức A đã rút gọn với một số k, ta xét hiệu: A – k

+ Nếu A – k > 0 thì A > k

+ Nếu A – k < 0 thì A < k

III. Ví dụ so sánh biểu thức chứa căn với một số

Ví dụ 1: Cho biểu thức : $P = \dfrac{{2x + 2}}{{\sqrt x }} + \dfrac{{x\sqrt x - 1}}{{x - \sqrt x }} - \dfrac{{x\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x }}$ $P = \dfrac{{2x + 2}}{{\sqrt x }} + \dfrac{{x\sqrt x - 1}}{{x - \sqrt x }} - \dfrac{{x\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x }}$

a) Rút gọn biểu thức P

b) So sánh P với 5

Gợi ý đáp án

$\begin{array}{l} P = \dfrac{{2x + 2}}{{\sqrt x }} + \dfrac{{x\sqrt x - 1}}{{x - \sqrt x }} - \dfrac{{x\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x }}\\ P = \dfrac{{2x + 2}}{{\sqrt x }} + \dfrac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \dfrac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\ P = \dfrac{{2x + 2}}{{\sqrt x }} + \dfrac{{\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x }} - \dfrac{{\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x }}\\ P = \dfrac{{2x + 2 + x + \sqrt x + 1 - x + \sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} = \dfrac{{2x + 2 + 2\sqrt x }}{{\sqrt x }} \end{array}$ $\begin{array}{l} P = \dfrac{{2x + 2}}{{\sqrt x }} + \dfrac{{x\sqrt x - 1}}{{x - \sqrt x }} - \dfrac{{x\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x }}\\ P = \dfrac{{2x + 2}}{{\sqrt x }} + \dfrac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \dfrac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\ P = \dfrac{{2x + 2}}{{\sqrt x }} + \dfrac{{\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x }} - \dfrac{{\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x }}\\ P = \dfrac{{2x + 2 + x + \sqrt x + 1 - x + \sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} = \dfrac{{2x + 2 + 2\sqrt x }}{{\sqrt x }} \end{array}$

b) Xét hiệu $P - 5 = \dfrac{{2x + 2 + 2\sqrt x }}{{\sqrt x }} - 5 = \dfrac{{2x + 2 + 2\sqrt x - 5\sqrt x }}{{\sqrt x }} = \dfrac{{2x + 2 - 3\sqrt x }}{{\sqrt x }}$ $P - 5 = \dfrac{{2x + 2 + 2\sqrt x }}{{\sqrt x }} - 5 = \dfrac{{2x + 2 + 2\sqrt x - 5\sqrt x }}{{\sqrt x }} = \dfrac{{2x + 2 - 3\sqrt x }}{{\sqrt x }}$

Ta có:

$\begin{array}{l} 2x - 3\sqrt x + 1 = 2\left( {x - \dfrac{3}{2}\sqrt x + 1} \right)\\ = 2\left( {x - 2.\dfrac{3}{4}\sqrt x + {{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)}^2} + \dfrac{7}{{16}}} \right) = 2\left[ {{{\left( {\sqrt x - \dfrac{3}{4}} \right)}^2} + \dfrac{7}{{16}}} \right] \end{array}$ $\begin{array}{l} 2x - 3\sqrt x + 1 = 2\left( {x - \dfrac{3}{2}\sqrt x + 1} \right)\\ = 2\left( {x - 2.\dfrac{3}{4}\sqrt x + {{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)}^2} + \dfrac{7}{{16}}} \right) = 2\left[ {{{\left( {\sqrt x - \dfrac{3}{4}} \right)}^2} + \dfrac{7}{{16}}} \right] \end{array}$

$\begin{array}{l} {\left( {\sqrt x - \dfrac{3}{4}} \right)^2} \ge 0\\ \Rightarrow {\left( {\sqrt x - \dfrac{3}{4}} \right)^2} + \dfrac{7}{{16}} \ge \dfrac{7}{{16}}\\ 2\left[ {{{\left( {\sqrt x - \dfrac{3}{4}} \right)}^2} + \dfrac{7}{{16}}} \right] \ge \dfrac{7}{8} > 0 \end{array}$ $\begin{array}{l} {\left( {\sqrt x - \dfrac{3}{4}} \right)^2} \ge 0\\ \Rightarrow {\left( {\sqrt x - \dfrac{3}{4}} \right)^2} + \dfrac{7}{{16}} \ge \dfrac{7}{{16}}\\ 2\left[ {{{\left( {\sqrt x - \dfrac{3}{4}} \right)}^2} + \dfrac{7}{{16}}} \right] \ge \dfrac{7}{8} > 0 \end{array}$

Lại có $\sqrt x > 0$ $\sqrt x > 0$ nên $\dfrac{{2x + 2 - 3\sqrt x }}{{\sqrt x }} > 0 \Rightarrow P - 5 > 0 \Rightarrow P > 5$ $\dfrac{{2x + 2 - 3\sqrt x }}{{\sqrt x }} > 0 \Rightarrow P - 5 > 0 \Rightarrow P > 5$

Ví dụ 2: Cho biểu thức $M = \left( {\dfrac{1}{{x - \sqrt x }} + \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{x - 2\sqrt x + 1}}$ $M = \left( {\dfrac{1}{{x - \sqrt x }} + \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{x - 2\sqrt x + 1}}$ với $x > 0;\,\,x \ne 1$ $x > 0;\,\,x \ne 1$

a) Rút gọn biểu thức

b) So sánh M với 1

Gợi ý đáp án

$\begin{array}{l} M = \left( {\dfrac{1}{{x - \sqrt x }} + \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{x - 2\sqrt x + 1}}\\ M = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x .\left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x .\left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right):\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}\\ M = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x .\left( {\sqrt x - 1} \right)}}:\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x .\left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\dfrac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x + 1}} = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} \end{array}$ $\begin{array}{l} M = \left( {\dfrac{1}{{x - \sqrt x }} + \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{x - 2\sqrt x + 1}}\\ M = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x .\left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x .\left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right):\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}\\ M = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x .\left( {\sqrt x - 1} \right)}}:\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x .\left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\dfrac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x + 1}} = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} \end{array}$

b) Xét hiệu $M - 1 = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} - 1 = \dfrac{{\sqrt x - 1 - \sqrt x }}{{\sqrt x }} = \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt x }}$ $M - 1 = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} - 1 = \dfrac{{\sqrt x - 1 - \sqrt x }}{{\sqrt x }} = \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt x }}$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} - 1 < 0\\ \sqrt x > 0 \end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt x }} < 0 \Rightarrow M - 1 < 0 \Rightarrow M < 1$ $\left\{ \begin{array}{l} - 1 < 0\\ \sqrt x > 0 \end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt x }} < 0 \Rightarrow M - 1 < 0 \Rightarrow M < 1$

Ví dụ 3

So sánh các số sau:

a) 9 và √80

b) √15 - 1 và √10

Gợi ý đáp án

a) Ta có: 9 = √81. Vì √81 > √80 nên 9 > √80

b) Ta có: √15 - 1 < √16 - 1 = 3

√10 > √9 = 3

Vậy √15-1 < √10

Ví dụ 4

a) 2 và 1 + √2

b) 1 và √3 - 1