Tìm giá trị x nguyên để A nhận giá trị nguyên Ôn tập Toán 9

Tìm giá trị x nguyên để A nhận giá trị nguyên là một trong những dạng toán trọng tâm thường xuất hiện trong các bài kiểm tra, bài thi học kì môn Toán lớp 9.

Cách tìm giá trị x nguyên để A nhận giá trị nguyên tổng hợp toàn bộ kiến thức về cách tính kèm theo ví dụ minh họa và một số bài tập tự luyện. Thông qua tài liệu này giúp học sinh củng cố, nắm vững chắc kiến thức nền tảng, vận dụng với các bài tập cơ bản để đạt được kết quả cao trong kì thi vào lớp 10 sắp tới. Vậy sau đây là Tìm giá trị x nguyên để A nhận giá trị nguyên, mời các bạn cùng theo dõi tại đây.

Tìm giá trị x nguyên để A nhận giá trị nguyên

I. Cách tìm giá trị của x để biểu thức nguyên

1. Dạng 1: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên

+ Thông thường biểu thức A sẽ có dạng \(A = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\) trong đó f(x) và g(x) là các đa thức và g(x) ≠ 0

+ Cách làm:

- Bước 1: Tách về dạng \(A = m\left( x \right) + \frac{k}{{g\left( x \right)}}\) trong đó m(x) là một biểu thức nguyên khi x nguyên và k có giá trị là số nguyên

- Bước 2: Để A nhận giá trị nguyên thì \(\frac{k}{{g\left( x \right)}}\)nguyên hay \(k \vdots g\left( x \right)\) nghĩa là g(x) thuộc tập ước của k

- Bước 3: Lập bảng để tính các giá trị của x

- Bước 4: Kết hợp với điều kiện đề bài, loại bỏ những giá trị không phù hợp, sau đó kết luận bài toán

2. Dạng 2: Tìm giá trị của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên

+ Đây là một dạng nâng cao hơn của dạng bài tập tìm gá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên bởi ta chưa xác định giá trị của biến x có nguyên hay không để biến đổi biểu thức A về dạng \(A = m\left( x \right) + \frac{k}{{g\left( x \right)}}\). Bởi vậy, để làm được dạng bài tập này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

- Bước 1: Áp dụng điều kiện cùng với các bất đẳng thức đã được, chứng minh m < A < M trong đó m, M là các số nguyên

- Bước 2: Trong khoảng từ m đến M, tìm các giá trị nguyên

- Bước 3: Với mỗi giá trị nguyên ấy, tìm giá trị của biến x

- Bước 4: Kết hợp với điều kiện đề bài, loại bỏ những giá trị không phù hợp rồi kết luận

II. Ví dụ tìm giá trị x nguyên để A nhận giá trị nguyên

Ví dụ 1: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức \(D = \frac{7}{{\sqrt x + 3}}\) nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định \(x \geqslant 0\)

Để biểu thức D nhận giá trị nguyên \(\sqrt x + 3 \in U\left( 7 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 7} \right\}\)

Do

\(\begin{matrix} x \geqslant 0 \Rightarrow \sqrt x + 3 \geqslant 3 \hfill \\ \Rightarrow \sqrt x + 3 = 7 \hfill \\ \Rightarrow \sqrt x = 4 \Rightarrow x = 16\left( {tm} \right) \hfill \\ \end{matrix}\)

Vậy x = 16 thì D nhận giá trị nguyên.

Ví dụ 2: Tìm x ∈ \(\mathbb{Z}\) để biểu thức \(E = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}}\) nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: \(x \geqslant 0\)

Ta có: \(E = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x + 1 + 1}}{{\sqrt x + 1}} = 1 + \frac{1}{{\sqrt x + 1}}\)

Để E nhận giá trị nguyên \(\frac{1}{{\sqrt x + 1}} \in \mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt x + 1}} \in U\left( 1 \right) = \left\{ { \pm 1} \right\}\)

Mà \(\sqrt x + 1 \geqslant 1 \Rightarrow \sqrt x + 1 = 1 \Rightarrow x = 0\)

Vậy x = 0 thì E nhận giá trị nguyên.

III. Bài tập tìm giá trị x nguyên để A nhận giá trị nguyên

Bài 1: Tìm x ∈ \(\mathbb{Z}\) để biểu thức sau nhận giá trị nguyên:

Bài 2: Tìm giá trị của x nguyên để các biểu thức sau có giá trị nguyên:

Bài 3: Cho biểu thức:

\(A = \frac{1}{{\sqrt {4{x^2} + 4x + 1} }};B = \frac{{2x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 1} }}\)

Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức \(Q = \frac{{2A + B}}{3}\) cũng có giá trị nguyên.

Bài 4: Cho biểu thức:

\(P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{3}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{6\sqrt x - 4}}{{x - 1}};\left( {x \geqslant 0,x \ne 1} \right)\)

a. Rút gọn P

b. Tìm x để P = -1

c. Tìm giá trị của x nguyên để P nhận giá trị nguyên.