Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định Điểm cố định của hàm số

Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định tổng hợp toàn bộ kiến thức về cách tính, ví dụ minh họa kèm theo 7 bài tập tự luyện.

Cách tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua là một trong những kiến thức cơ bản trong chương trình Toán lớp 9 hiện hành và thường xuất hiện trong các bài thi vào 10. Qua đó giúp các bạn học sinh tham khảo, hệ thống lại kiến thức để giải nhanh các bài tập về đồ thị hàm số. Ngoài ra để nâng cao kiến thức môn Toán thật tốt các bạn xem thêm một số tài liệu như: chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m, chuyên đề Giải phương trình bậc 2 chứa tham số, bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng.

I. Bài toán tìm điểm cố định với mọi m

+ Với một giá trị của tham số m ta được một đồ thị hàm số (d_m) tương ứng. Như vậy khi m thay đổi thì đồ thị hàm số (d_m) cũng thay đổi theo hai trường hợp:

- Hoặc mọi điểm của (d_m) đều di động

- Hoặc có một vài điểm của (d_m) đứng yên khi m thay đổi

+ Những điểm đứng yên khi m thay đổi gọi là điểm cố định của đồ thị hàm số (d_m). Đó là những điểm mà đồ thị hàm số đều đi qua với mọi giá trị của m

+ Phương trình ax + b = 0 nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi a = 0 và b = 0

II. Ví dụ về bài toán cách tìm điểm cố định

Bài 1: Chứng tỏ rằng với mọi m họ các đường thẳng (d) có phương trình y = (m + 1)x + 2x - m luôn đi qua một điểm cố định.

Gợi ý đáp án

Gọi điểm M(x₀; y₀) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua, sau đó tìm giá trị x₀ và y₀ thỏa mãn.

Gợi ý đáp án

Gọi M(x₀; y₀) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. Khi đó ta có:

⇔ y₀ = (m + 1)x₀ + 2x₀ - m với mọi m

⇔ y₀ = mx₀ + x₀ + 2x₀ - m với mọi m

⇔ y₀ - mx₀ - 3x₀ - m = 0 với mọi m

⇔ m(-x₀ - 1) + (y₀ - 3x₀) = 0 với mọi m

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {x_o} + 1 = 0\\ {y_0} - 3{x_0} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_0} = 1\\ {y_0} = 3 \end{array} \right. \Rightarrow M\left( {1;3} \right)\)

Vậy với mọi m, họ các đường thẳng (d) có phương trình y = (m + 1)x + 2x - m luôn đi qua một điểm M cố định có tọa độ M(1; 3)

Bài 2: Cho hàm số y = (2m - 3)x + m - 1. Chứng minh rằng đồ thị hàm số đi qua điểm cố định với mọi giá trị của m. Tìm điểm cố định ấy.

Gợi ý đáp án

Gọi M(x₀; y₀) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. Khi đó ta có:

y₀ = (2m - 3)x₀ + m - 1 với mọi m

⇔ y₀ = 2mx₀ - 3x₀ + m - 1 với mọi m

⇔ y₀ - 2mx₀ - 3x₀ + m - 1 = 0 với mọi m

⇔ m(-2x₀ + 1) + (y₀ - 3x₀ - 1) = 0 với mọi m

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2{x_o} + 1 = 0\\ {y_0} - 3{x_0} - 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_0} = \frac{1}{2}\\ {y_0} = \frac{5}{2} \end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right)\)

Vậy với mọi m, họ các đường thẳng (d) có phương trình y = (m + 1)x + 2x - m luôn đi qua một điểm M cố định có tọa độ _{\(M\left( {\frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right)\)}

Bài 3: Cho hàm số y = mx + 3m - 1. Tìm tọa độ của điểm mà đường thẳng luôn đi qua với mọi m

Gợi ý đáp án

Gọi M(x₀; y₀) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. Khi đó ta có:

y₀ = mx₀ + 3m - 1 với mọi m

⇔ y₀ - mx₀ - 3m + 1 = 0 với mọi m

⇔ m(-x₀ - 3) + (y₀ + 1) = 0 với mọi m

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {x_0} - 3 = 0\\ {y_0} + 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_0} = - 3\\ {y_0} = - 1 \end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 3; - 1} \right)\)

Vậy với mọi m, họ các đường thẳng (d) có phương trình y = (m + 1)x + 2x - m luôn đi qua một điểm M cố định có tọa độ M(-3; -1)

Bài 4: Cho hàm số y = (m - 1)x + 2020. Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi giá trị của m

Gợi ý đáp án

Gọi M(x₀; y₀) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. Khi đó ta có:

y₀ = (m - 1)x₀ + 2020 với mọi m

⇔ y₀ - mx₀ - x₀ - 2020 = 0 với mọi m

⇔ -mx₀ + (y₀ - x₀ - 2020) = 0 với mọi m

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_0} = 0\\ {y_0} - {x_0} - 2020 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_0} = 0\\ {y_0} = 2020 \end{array} \right. \Rightarrow M\left( {0;2020} \right)\)

Vậy với mọi m, họ các đường thẳng (d) có phương trình y = (m + 1)x + 2x - m luôn đi qua một điểm M cố định có tọa độ M(0; 2020)

III. Bài tập đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định

Bài :1 Cho hàm số y = mx - 2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 2: Tìm điểm cố định mà mỗi đường thẳng sau luôn đi qua với mọi giá trị của m:

a, y = (m - 2)x + 3

b, y = mx + (m + 2)

c, y = (m - 1)x + (2m - 1)

Bài 3: Cho hàm số y = (2m - 3)x + m - 5. Chứng minh họ đường thẳng luôn đi qua điểm cố định khi m thay đổi. Tìm điểm cố định ấy.

Bài 4: Cho hàm số y = (m + 2)x + 2m - 1. Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi. Tìm điểm cố định ấy.

Bài 5: Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = (m + 2)x + m - 1 luôn đi qua một điểm cố định với mọi m, hãy xác định điểm đó

Bài 6: Cho hàm số bậc nhất y = (m + 1)x - 2m (d_m). Chứng minh rằng đồ thị hàm số (d_m) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m

Bài 7: Cho hàm số y = (m - 1)x + m + 3. Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi m

Bài 8: Chứng minh đồ thị hàm số y = mx - m - 3 luôn đi qua điểm cố định với mọi giá trị của m