Hệ phương trình đối xứng loại 1 Giải hệ phương trình

Hệ phương trình đối xứng loại 1 là một trong những dạng toán trọng tâm thường xuất hiện trong các bài kiểm tra, bài thi vào lớp 10 môn Toán.

Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1 tổng hợp toàn bộ kiến thức về khái niệm, cách giải kèm theo một số bài tập tự luyện. Thông qua tài liệu này giúp học sinh củng cố, nắm vững chắc kiến thức nền tảng, vận dụng với các bài tập cơ bản để đạt được kết quả cao trong kì thi vào lớp 10 sắp tới. Vậy sau đây là Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1 mời các bạn cùng theo dõi tại đây.

1. Hệ đối xứng loại 1 là gì?

Định nghĩa: Một hệ phương trình ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại 1 nếu mỗi phương trình ta đổi vai trò của x, y cho nhau thì phương trình đó không đổi.

Tính chất: Nếu \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là một nghiệm của hệ phương trình thì \(\left( {{y_0};{x_0}} \right)\) cũng là nghiệm của phương trình

2. Cách giải hệ đối xứng loại 1

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {S = x + y} \\ {P = xy} \end{array}} \right.;\left( {{S^2} \geqslant 4P} \right)\) ta quy hệ phương trình vế 2 ẩn S, P

+ Khi đó x, y là nghiệm của phương trình \({X^2} – SX + P = 0 (1).\)

Chú ý: Trong một số hệ phương trình đôi khi tính đối xứng chỉ thể hiện trong một phương trình. Ta cần dựa vào phương trình đó để tìm quan hệ S, P từ đó suy ra quan hệ x, y.

3. Ví dụ giải hệ đối xứng loại 1

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y + 2xy = 2} \\ {{x^3} + {y^3} = 8} \end{array}} \right.\)

Hướng dẫn giải

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {S = x + y} \\ {P = xy} \end{array}} \right.;\left( {{S^2} \geqslant 4P} \right)\) hệ phương trình đã cho trở thành

\(\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {S + 2P = 2} \\ {S\left( {{S^2} - 3P} \right) = 8} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {P = \dfrac{{2 - S}}{2}} \\ {S\left( {{S^2} - \dfrac{{6 - 3S}}{2}} \right) = 8} \end{array}} \right. \hfill \\ \Rightarrow 2{S^3} + 3{S^2} - 6S - 16 = 0 \hfill \\ \Rightarrow \left( {S - 2} \right)\left( {2{S^2} + 7S + 8} \right) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow S = 2 \Rightarrow P = 0 \hfill \\ \end{matrix}\)

=> x, y là hai nghiệm của phương trình

\({X^2} - 2X = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {X = 0} \\ {X = 2} \end{array}} \right.\)

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm (x; y) = (0; 2) = (2; 0)

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y - \sqrt {xy} = 3} \\ {\sqrt {x + 1} + \sqrt {y + 1} = 4} \end{array}} \right.\)

Hướng dẫn giải

Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {xy \geqslant 0} \\ {x,y \geqslant - 1} \end{array}} \right.\)

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {S = x + y} \\ {P = xy} \end{array}} \right.;\left( {{S^2} \geqslant 4P} \right)\) hệ phương trình đã cho trở thành:

\(\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {S - \sqrt P = 3} \\ {S + 2 + 2\sqrt {S + P + 1} = 16} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {P = {{\left( {S - 3} \right)}^2};\left( {S \geqslant 3} \right)} \\ {2\sqrt {S + {{\left( {S - 3} \right)}^2} + 1} = 14 - S} \end{array}} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {P = {{\left( {S - 3} \right)}^2};\left( {3 \leqslant S \leqslant 14} \right)} \\ {4\left( {{S^2} + 8S + 10} \right) = 196 - 28S + {S^2}} \end{array}} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {P = {{\left( {S - 3} \right)}^2};\left( {3 \leqslant S \leqslant 14} \right)} \\ {{S^2} + 30S - 52 = 0} \end{array}} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {S = 6} \\ {P = 9} \end{array} \Rightarrow x = y = 3} \right. \hfill \\ \end{matrix}\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (3; 3)

Ví dụ 3: Tìm tập nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2\left( {x + y} \right) = 3\left( {\sqrt[3]{{{x^2}y}} + \sqrt[3]{{x{y^2}}}} \right)} \\ {\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 6} \end{array}} \right.\)

Hướng dẫn giải

Đặt \(a = \sqrt[3]{x};b = \sqrt[3]{y}\) hệ đã cho trở thành \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2\left( {{a^3} + {b^3}} \right) = 3\left( {{a^2}b + {b^2}a} \right)} \\ {a + b = 6} \end{array}} \right.\)

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {S = x + y} \\ {P = xy} \end{array}} \right.;\left( {{S^2} \geqslant 4P} \right)\) hệ phương trình đã cho trở thành:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2\left( {{S^3} - 3SP} \right) = 3SP} \\ {S = 6} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2\left( {36 - 3P} \right) = 3P} \\ {S = 6} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {P = 8} \\ {S = 6} \end{array}} \right.\)

Suy ra a, b là hai nghiệm của phương trình

\({M^2} - 6M + 8 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{M_1} = 2} \\ {{M_2} = 4} \end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 2 \Rightarrow x = 8} \\ {b = 4 \Rightarrow y = 64} \end{array}} \right.} \\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 4 \Rightarrow x = 64} \\ {b = 2 \Rightarrow y = 8} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.} \right.\)

Vậy hệ phương trình đã cho có hai cặp nghiệm (x; y) = (8; 64) = (64; 8)

4. Bài tập luyện tập giải hệ đối xứng loại 1

Bài 1: Giải hệ phương trình:

Bài 2: Tìm tập nghiệm của các hệ phương trình sau đây

Bài 3. Tìm m để hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} x + y + xy = m\\ {x^2} + {y^2} = m \end{array} \right.\)(*) có nghiệm.

Bài 4. Cho x, y, z là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} + {z^2} = 8\\ xy + yz + zx = 4 \end{array} \right.\). Chứng minh: \(– \frac{8}{3} \le x,y,z \le \frac{8}{3}.\)

Bài 5. Cho hai số thực x, y thỏa x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(A = {x^3} + {y^3}.\)

Bài 6. Cho các số thực \(x \ne 0,y \ne 0\) thỏa mãn:\(\left( {x + y} \right)xy = {x^2} + {y^2} – xy\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(A = \frac{1}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{y^3}}}.\)