Hệ phương trình đối xứng loại 1 Giải hệ phương trình
Hệ phương trình đối xứng loại 1 là một trong những dạng toán trọng tâm thường xuất hiện trong các bài kiểm tra, bài thi vào lớp 10 môn Toán.
Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1 tổng hợp toàn bộ kiến thức về khái niệm, cách giải kèm theo một số bài tập tự luyện. Thông qua tài liệu này giúp học sinh củng cố, nắm vững chắc kiến thức nền tảng, vận dụng với các bài tập cơ bản để đạt được kết quả cao trong kì thi vào lớp 10 sắp tới. Vậy sau đây là Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1 mời các bạn cùng theo dõi tại đây.
Cách giải Hệ phương trình đối xứng loại 1
1. Hệ đối xứng loại 1 là gì?
Định nghĩa: Một hệ phương trình ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại 1 nếu mỗi phương trình ta đổi vai trò của x, y cho nhau thì phương trình đó không đổi.
Tính chất: Nếu \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là một nghiệm của hệ phương trình thì
\(\left( {{y_0};{x_0}} \right)\) cũng là nghiệm của phương trình
2. Cách giải hệ đối xứng loại 1
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {S = x + y} \\ {P = xy} \end{array}} \right.;\left( {{S^2} \geqslant 4P} \right)\) ta quy hệ phương trình vế 2 ẩn S, P
+ Khi đó x, y là nghiệm của phương trình \({X^2} – SX + P = 0 (1).\)
Chú ý: Trong một số hệ phương trình đôi khi tính đối xứng chỉ thể hiện trong một phương trình. Ta cần dựa vào phương trình đó để tìm quan hệ S, P từ đó suy ra quan hệ x, y.
3. Ví dụ giải hệ đối xứng loại 1
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y + 2xy = 2} \\ {{x^3} + {y^3} = 8}
\end{array}} \right.\)
Hướng dẫn giải
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {S = x + y} \\ {P = xy} \end{array}} \right.;\left( {{S^2} \geqslant 4P} \right)\) hệ phương trình đã cho trở thành
\(\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {S + 2P = 2} \\ {S\left( {{S^2} - 3P} \right) = 8}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {P = \dfrac{{2 - S}}{2}} \\ {S\left( {{S^2} - \dfrac{{6 - 3S}}{2}} \right) = 8} \end{array}} \right. \hfill \\ \Rightarrow 2{S^3} + 3{S^2} - 6S - 16 = 0 \hfill \\ \Rightarrow \left( {S - 2} \right)\left( {2{S^2} + 7S + 8} \right) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow S = 2 \Rightarrow P = 0 \hfill \\ \end{matrix}\)
=> x, y là hai nghiệm của phương trình
\({X^2} - 2X = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {X = 0} \\ {X = 2} \end{array}} \right.\)
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm (x; y) = (0; 2) = (2; 0)
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y - \sqrt {xy} = 3} \\ {\sqrt {x + 1} + \sqrt {y + 1} = 4} \end{array}} \right.\)
Hướng dẫn giải
Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {xy \geqslant 0} \\ {x,y \geqslant - 1} \end{array}} \right.\)
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {S = x + y} \\ {P = xy} \end{array}} \right.;\left( {{S^2} \geqslant 4P} \right)\) hệ phương trình đã cho trở thành:
\(\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {S - \sqrt P = 3} \\ {S + 2 + 2\sqrt {S + P + 1} = 16} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {P = {{\left( {S - 3} \right)}^2};\left( {S \geqslant 3} \right)} \\
{2\sqrt {S + {{\left( {S - 3} \right)}^2} + 1} = 14 - S}
\end{array}} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {P = {{\left( {S - 3} \right)}^2};\left( {3 \leqslant S \leqslant 14} \right)} \\
{4\left( {{S^2} + 8S + 10} \right) = 196 - 28S + {S^2}} \end{array}} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {P = {{\left( {S - 3} \right)}^2};\left( {3 \leqslant S \leqslant 14} \right)} \\
{{S^2} + 30S - 52 = 0}
\end{array}} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {S = 6} \\ {P = 9} \end{array} \Rightarrow x = y = 3} \right. \hfill \\ \end{matrix}\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (3; 3)
Ví dụ 3: Tìm tập nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2\left( {x + y} \right) = 3\left( {\sqrt[3]{{{x^2}y}} + \sqrt[3]{{x{y^2}}}} \right)} \\ {\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 6} \end{array}} \right.\)
Hướng dẫn giải
Đặt \(a = \sqrt[3]{x};b = \sqrt[3]{y}\) hệ đã cho trở thành
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2\left( {{a^3} + {b^3}} \right) = 3\left( {{a^2}b + {b^2}a} \right)} \\
{a + b = 6}
\end{array}} \right.\)
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {S = x + y} \\ {P = xy} \end{array}} \right.;\left( {{S^2} \geqslant 4P} \right)\) hệ phương trình đã cho trở thành:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2\left( {{S^3} - 3SP} \right) = 3SP} \\
{S = 6}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2\left( {36 - 3P} \right) = 3P} \\ {S = 6} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {P = 8} \\ {S = 6} \end{array}} \right.\)
Suy ra a, b là hai nghiệm của phương trình
\({M^2} - 6M + 8 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{M_1} = 2} \\
{{M_2} = 4}
\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 2 \Rightarrow x = 8} \\ {b = 4 \Rightarrow y = 64} \end{array}} \right.} \\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 4 \Rightarrow x = 64} \\ {b = 2 \Rightarrow y = 8} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.} \right.\)
Vậy hệ phương trình đã cho có hai cặp nghiệm (x; y) = (8; 64) = (64; 8)
4. Bài tập luyện tập giải hệ đối xứng loại 1
Bài 1: Giải hệ phương trình:
a) | b) |
Bài 2: Tìm tập nghiệm của các hệ phương trình sau đây
a) | b) |
Bài 3. Tìm m để hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} x + y + xy = m\\ {x^2} + {y^2} = m \end{array} \right.\)(*) có nghiệm.
Bài 4. Cho x, y, z là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} + {z^2} = 8\\ xy + yz + zx = 4 \end{array} \right.\). Chứng minh:
\(– \frac{8}{3} \le x,y,z \le \frac{8}{3}.\)
Bài 5. Cho hai số thực x, y thỏa x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(A = {x^3} + {y^3}.\)
Bài 6. Cho các số thực \(x \ne 0,y \ne 0\) thỏa mãn:
\(\left( {x + y} \right)xy = {x^2} + {y^2} – xy\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(A = \frac{1}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{y^3}}}.\)
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Chủ đề liên quan
Có thể bạn quan tâm
-
Văn mẫu lớp 12: Phân tích giá trị nhân đạo trong Chiếc thuyền ngoài xa
-
Tập làm văn lớp 5: Tả cảnh mùa thu trên quê em
-
Viết bài văn kể lại sự việc có thật liên quan đến Trần Quốc Toản (Dàn ý + 6 mẫu)
-
Văn mẫu lớp 12: Đoạn văn nghị luận về sống có ích (Dàn ý + 12 Mẫu)
-
Đoạn trích Tức nước vỡ bờ - Trích chương XVIII, tác phẩm Tắt đèn
-
Văn mẫu lớp 12: Phân tích nhân vật Phùng trong Chiếc thuyền ngoài xa
-
Đoạn văn nghị luận về lời xin lỗi (Dàn ý + 16 Mẫu)
-
Văn mẫu lớp 12: Phân tích chi tiết tấm ảnh nghệ thuật trong bộ lịch cuối năm
-
Cảm nghĩ của em về Những ngôi sao xa xôi (Sơ đồ tư duy)
-
Văn mẫu lớp 9: Đoạn văn nghị luận về đức tính khiêm tốn
Mới nhất trong tuần
-
Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m
50.000+ -
Đề kiểm tra học kì II môn Toán lớp 9 - Sở GD và ĐT Đà Nẵng
10.000+ -
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn
100.000+ 1 -
Bộ đề thi thử vào lớp 10 môn Toán năm 2019 - 2020 trường THCS Hồng Hà, Hà Nội
10.000+ -
Bộ đề kiểm tra 1 tiết Chương III Đại số lớp 9 (10 đề)
10.000+ -
Cách chứng minh 3 đường thẳng đồng quy
100.000+ -
Bài tập các hình khối trong thực tiễn (Có đáp án)
100+ -
Các dạng bài tập tần số và tần số tương đối
100+ -
Các dạng bài tập về đa giác đều (Có đáp án)
100+ -
Các dạng bài tập về căn thức (Có đáp án)
100+