Hệ phương trình đẳng cấp: Cách giải, bài tập Ôn tập Toán 9

Hệ phương trình đẳng cấp là một trong những dạng toán trọng tâm thường xuất hiện trong các bài kiểm tra, bài thi vào lớp 10 môn Toán.

Cách giải hệ phương trình đẳng cấp tổng hợp toàn bộ kiến thức về khái niệm, cách giải kèm theo một số bài tập tự luyện. Thông qua tài liệu này giúp học sinh củng cố, nắm vững chắc kiến thức nền tảng, vận dụng với các bài tập cơ bản để đạt được kết quả cao trong kì thi vào lớp 10 sắp tới. Bên cạnh đó các bạn xem thêm cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1. Vậy sau đây là Cách giải hệ phương trình đẳng cấp mời các bạn cùng theo dõi tại đây.

1. Hệ phương trình đẳng cấp là gì?

+ Hệ phương trình đẳng cấp là hệ gồm 2 phương trình 2 ẩn mà ở mỗi phương trình bậc của mỗi ẩn bằng nhau

+ \(\left\{ \begin{array}{l} f\left( {x;y} \right) = {a_1}\\ g\left( {x;y} \right) = {a_2} \end{array} \right.\) với f, g là các hàm số với hai biến x, y có bậc bằng nhau

2. Cách giải hệ phương trình đẳng cấp

Để giải hệ phương trình đẳng cấp này, ta thực hiện các bước sau:ình \(\left\{ \begin{array}{l} f\left( {x;y} \right) = {a_1}\left( 1 \right)\\ g\left( {x;y} \right) = {a_2}\left( 2 \right) \end{array} \right.\)

+ Bước 1: Nhân phương trình (1) với và phương trình (2) với rồi trừ hai phương trình để làm mất hệ số tự do

+ Bước 2: Phương trình có hai ẩn x và y. Xét hai trường hợp:

- Trường hợp 1: x = 0 hoặc y = 0 thay vào phương trình để tìm ra y hoặc x. Thử lại kết quả vừa tìm được bằng cách thay vào hệ phương trình

- Trường hợp 2: x khác 0 hoặc y khác 0, chia cả hai vế của phương trình cho bậc cao nhất của ẩn x hoặc y

+ Bước 3: Giải phương trình với ẩn \(\frac{x}{y}\) hoặc \(\frac{y}{x}\) rồi sau đó tìm được nghiệm của hệ phương trình

3. Ví dụ về giải hệ phương trình đẳng cấp

Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} {x^3} + {y^3} = 1\\ {x^2}y + 2x{y^2} + {y^3} = 2 \end{array} \right.\)

Lời giải:

Có \(\left\{ \begin{array}{l} {x^3} + {y^3} = 1\\ {x^2}y + 2x{y^2} + {y^3} = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2\left( {{x^3} + {y^3}} \right) = 2\left( 1 \right)\\ {x^2}y + 2x{y^2} + {y^3} = 2\left( 2 \right) \end{array} \right.\)

Lấy (1) – (2) ta có:

\(\begin{array}{l} 2{x^3} + 2{y^3} - {x^2}y - 2x{y^2} - {y^3} = 0\\ \Leftrightarrow 2{x^3} - {x^2}y - 2x{y^2} + {y^3} = 0\left( 3 \right) \end{array}\)

Trường hợp 1: với y = 0, thay vào phương trình (3) có x = 0. Với x = 0, y = 0 thay vào phương trình (1) có 0 = 2 (vô lý)

Trường hợp 2: với y khác 0, chia cả hai vế của phương trình (3) cho \(y^3\) ta được:

\(2{\left( {\frac{x}{y}} \right)^3} - {\left( {\frac{x}{y}} \right)^2} - 2\left( {\frac{x}{y}} \right) + 1 = 0\)

Đặt \(t = \frac{x}{y}\)

Phương trình trở thành:

_{\(2{t^3} - {t^2} - 2t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = - 1\\ t = \frac{1}{2} \end{array} \right.\)}

Với \(t = 1 \Rightarrow \frac{x}{y} = 1 \Leftrightarrow x = y\), thay vào phương trình (1) có:

\({x^3} + {x^3} = 1 \Leftrightarrow 2{x^3} = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}} \Rightarrow y = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}\)

Với \(t = - 1 \Rightarrow \frac{x}{y} = - 1 \Leftrightarrow x = - y\), thay vào phương trình (2) có:

\({x^3} - {x^3} = 1 \Leftrightarrow 0{x^3} = 1\)(vô lý)

Với \(t = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{x}{y} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow y = 2x\), thay vào phương trình (2) có:

\({x^3} + 8{x^3} = 1 \Leftrightarrow 9{x^3} = 1 \Leftrightarrow {x^3} = \frac{1}{9} \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\sqrt[3]{9}}} \Rightarrow y = \frac{2}{{\sqrt[3]{9}}}\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{1}{{\sqrt[3]{2}}};\frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}} \right);\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{1}{{\sqrt[3]{9}}};\frac{2}{{\sqrt[3]{9}}}} \right)\)

4. Bài tập tự luyện về hệ phương trình đẳng cấp

Bài 1: Giải các hệ phương trình dưới đây:

1, \(\left\{ \begin{array}{l} 3{x^2} + 2xy + {y^2} = 11\\ {x^2} + 2xy + 3{y^2} = 17 \end{array} \right.\)	2, \(\left\{ \begin{array}{l} {y^2} - 3xy = 4\\ {x^2} - 4xy + {y^2} = 1 \end{array} \right.\)
3, \(\left\{ \begin{array}{l} 2{x^2} + 3xy + {y^2} = 15\\ {x^2} + xy + 2{y^2} = 8 \end{array} \right.\)	4, \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - xy + 3{y^2} = 9\\ 2{x^2} + xy + 4{y^2} = 10 \end{array} \right.\)
5, \(\left\{ \begin{array}{l} 3{x^2} + 5xy - 4{y^2} = 38\\ 5{x^2} - 9xy - 3{y^2} = 15 \end{array} \right.\)	6, \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + xy - {y^2} = 29\\ 5{x^2} - xy - {y^2} = - 11 \end{array} \right.\)
7, \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 3xy + {y^2} = - 1\\ 3{x^2} - xy + 3{y^2} = 13 \end{array} \right.\)	8, \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 2xy + 3{y^2} = 9\\ {x^2} - 4xy + 5{y^2} = 5 \end{array} \right.\)
9, \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + xy - {y^2} = 180\\ {x^2} - xy - {y^2} = - 11 \end{array} \right.\)	10, \(\left\{ \begin{array}{l} 2{x^2} - xy + 3{y^2} = 13\\ {x^2} + 4xy - 2{y^2} = - 6 \end{array} \right.\)

Bài 1: Giải hệ phương trình

a. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {xy + {x^2}\sqrt y - 2 = 0} \\ {2x{y^2} + \left( {{x^3} + 2x - 3} \right)y + {x^3} = 3} \end{array}} \right.\)

b. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} + {y^2} + \dfrac{{8xy}}{{x + y}} = 16} \\ {\dfrac{{{x^2}}}{{8y}} + \dfrac{{2x}}{3} = \sqrt {\dfrac{{{x^3}}}{{3y}} + \dfrac{{{x^2}}}{4}} - \dfrac{y}{2}} \end{array}} \right.\)

Bài 3: Tìm tập nghiệm của các hệ phương trình:

a. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2}\sqrt {y + 1} - 2xy - 2x = 1} \\ {{x^3} - 3x - 3xy = 6} \end{array}} \right.\)

b. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt {{x^2} + 2y + 3} + 2y - 3 = 0} \\ {2\left( {2{y^3} + {x^3}} \right) + 3y{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 6x\left( {x + 1} \right) + 2 = 0} \end{array}} \right.\)