Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện Ôn thi vào lớp 10 môn Toán

Giới thiệu Tải về Bình luận

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện là một trong những kiến thức cơ bản trong chương trình Toán lớp 9 hiện hành và thường xuất hiện trong các bài thi vào 10.

Tìm m để PT có 2 nghiệm PB là dạng toán tương đối khó nó mang tính trừu tượng rất cao. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt gồm kiến thức lý thuyết, ví dụ minh họa giải chi tiết, các dạng bài tập tự luyện kèm theo. Qua đó giúp các bạn học sinh tham khảo, hệ thống lại kiến thức để giải nhanh các bài tập tìm nghiệm của phương trình. Ngoài ra để nâng cao kiến thức môn Toán thật tốt các em xem thêm một số tài liệu như: chuyên đề phương trình nghiệm nguyên, chuyên đề Giải phương trình bậc 2 chứa tham số, bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng.

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện

1. Định lý Vi-ét thuận

Cho phương trình bậc 2 một ẩn: $a{x^2} + bc + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$ $a{x^2} + bc + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$* có hai nghiệm ${x_1},\,\,{x_2}$ ${x_1},\,\,{x_2}$. Khi đó hai nghiệm thỏa mãn hệ thức:

$\left\{ \begin{matrix} S = {x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} \hfill \\ P = {x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} \hfill \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} S = {x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} \hfill \\ P = {x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} \hfill \\ \end{matrix} \right.$

Hệ quả: Dựa vào hệ thức Vi-ét khi phương trình bậc 2 một ẩn có nghiệm, ta có thể nhẩm trực tiếp nghiệm của phương trình trong một số trường hợp đặc biệt sau:

+ Nếu a + b + c = 0 thì phương trình * có 2 nghiệm ${x_1} = 1$ ${x_1} = 1$ và ${x_2} = \frac{c}{a}$ ${x_2} = \frac{c}{a}$

+ Nếu a – b + c = 0 thì phương trình * có 2 nghiệm ${x_1} = - 1$ ${x_1} = - 1$ và ${x_2} = - \frac{c}{a}$ ${x_2} = - \frac{c}{a}$

2. Định lý Vi-ét đảo

Giả sử hai số ${x_1},\,\,{x_2}$ ${x_1},\,\,{x_2}$ thực thỏa mãn hệ thức:

$\left\{ \begin{matrix} {x_1} + {x_2} = S \hfill \\ {x_1}{x_2} = P \hfill \\ \end{matrix} \right.\left( {{S^2} \geqslant 4P} \right)$ $\left\{ \begin{matrix} {x_1} + {x_2} = S \hfill \\ {x_1}{x_2} = P \hfill \\ \end{matrix} \right.\left( {{S^2} \geqslant 4P} \right)$

thì ${x_1},\,\,{x_2}$ ${x_1},\,\,{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình bậc hai ${x^2} - Sx + P = 0$ ${x^2} - Sx + P = 0$

3. Cách giải bài toán tìm m để phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước

+ Tìm điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x₁ và x₂ (thường là $a \ne 0$ $a \ne 0$ và $\Delta \geqslant 0$ $\Delta \geqslant 0$)

+ Áp dụng hệ thức Vi-ét để biến đổi biểu thức nghiệm đã cho

+ Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.

4. Ví dụ về bài toán tìm m để phương trình có 2 nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn điều kiện cho trước

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình ${x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x - 2 = 0$ ${x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x - 2 = 0$ có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn $3{x_1} + 2{x_2} = 4$ $3{x_1} + 2{x_2} = 4$.

Gợi ý đáp án:

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta$ $\Leftrightarrow \Delta ' > 0$

Ta có $\Delta$ $\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4\left( { - 2} \right) = {\left( {m + 1} \right)^2} + 8 > 0\forall m$

Với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

$\left\{ \begin{matrix} {x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a} = - 2\left( {m + 1} \right) \Rightarrow {x_1} = - 2\left( {m + 1} \right) - {x_2} \hfill \\ {x_2}{x_2} = \dfrac{c}{a} = - 2 \hfill \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} {x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a} = - 2\left( {m + 1} \right) \Rightarrow {x_1} = - 2\left( {m + 1} \right) - {x_2} \hfill \\ {x_2}{x_2} = \dfrac{c}{a} = - 2 \hfill \\ \end{matrix} \right.$

Ta có $3{x_1} + 2{x_2} = 4 \Leftrightarrow 3\left[ { - 2\left( {m + 1} \right) - {x_2}} \right] + 2{x_2} = 4$ $3{x_1} + 2{x_2} = 4 \Leftrightarrow 3\left[ { - 2\left( {m + 1} \right) - {x_2}} \right] + 2{x_2} = 4$

$\begin{matrix} \Leftrightarrow - 6\left( {m + 1} \right) - 3{x_2} + 2{x_2} = 4 \hfill \\ \Leftrightarrow {x_2} = - 6\left( {m + 1} \right) - 4 = - 10 - 6m \hfill \\ \Rightarrow {x_1} = - 2\left( {m + 1} \right) + 6\left( {m + 1} \right) + 4 = 4m + 8 \hfill \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} \Leftrightarrow - 6\left( {m + 1} \right) - 3{x_2} + 2{x_2} = 4 \hfill \\ \Leftrightarrow {x_2} = - 6\left( {m + 1} \right) - 4 = - 10 - 6m \hfill \\ \Rightarrow {x_1} = - 2\left( {m + 1} \right) + 6\left( {m + 1} \right) + 4 = 4m + 8 \hfill \\ \end{matrix}$

Có ${x_1}{x_2} = - 2 \Leftrightarrow - \left( {6m + 10} \right)\left( {4m + 8} \right) = - 2$ ${x_1}{x_2} = - 2 \Leftrightarrow - \left( {6m + 10} \right)\left( {4m + 8} \right) = - 2$

$\begin{matrix} \Leftrightarrow \left( {6m + 10} \right)\left( {4m + 8} \right) = 2 \hfill \\ \Leftrightarrow 24{m^2} + 48m + 40m + 80 = 2 \hfill \\ \Leftrightarrow 24{m^2} + 88m + 78 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} m = \dfrac{{ - 3}}{2} \hfill \\ m = \dfrac{{ - 13}}{6} \hfill \\ \end{matrix} \right. \hfill \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} \Leftrightarrow \left( {6m + 10} \right)\left( {4m + 8} \right) = 2 \hfill \\ \Leftrightarrow 24{m^2} + 48m + 40m + 80 = 2 \hfill \\ \Leftrightarrow 24{m^2} + 88m + 78 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} m = \dfrac{{ - 3}}{2} \hfill \\ m = \dfrac{{ - 13}}{6} \hfill \\ \end{matrix} \right. \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy với $m = - \frac{3}{2}$ $m = - \frac{3}{2}$ hoặc $m = \frac{{ - 13}}{6}$ $m = \frac{{ - 13}}{6}$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn $3{x_1} + 2{x_2} = 4$ $3{x_1} + 2{x_2} = 4$.

Ví dụ 2: Cho phương trình ${x^2} - 5x + m = 0$ ${x^2} - 5x + m = 0$. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn $\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 3$ $\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 3$

Gợi ý đáp án:

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta > 0$ $\Leftrightarrow \Delta > 0$

Ta có $\Leftrightarrow 25 - 4m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{{25}}{4}$ $\Leftrightarrow 25 - 4m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{{25}}{4}$

Vậy với $m < \frac{{25}}{4}$ $m < \frac{{25}}{4}$ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

$\left\{ \begin{matrix} {x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 5 \hfill \\ {x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = m \hfill \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} {x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 5 \hfill \\ {x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = m \hfill \\ \end{matrix} \right.$

Có $A = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 3 \Rightarrow {A^2} = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 9$ $A = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 3 \Rightarrow {A^2} = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 9$

$\begin{matrix} \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} = 9 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 9 \hfill \\ \Leftrightarrow 25 - 4m = 9 \Leftrightarrow 4m = 16 \Leftrightarrow m = 4 \hfill \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} = 9 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 9 \hfill \\ \Leftrightarrow 25 - 4m = 9 \Leftrightarrow 4m = 16 \Leftrightarrow m = 4 \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy với m = 4 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn $\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 3$ $\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 3$

Ví dụ 3: Cho phương trình bậc hai ${x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 5 = 0$ ${x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 5 = 0$ (x là ẩn số, m là tham số)

a) Chứng minh phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi m,

b) Tìm m để hai nghiệm x₁, x₂ của phương trình có tổng hai nghiệm bằng 6

Gợi ý đáp án:

a) Ta có: $\Delta$ $\Delta ' = b{'^2} - ac$

$= {\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {2m - 5} \right) = {m^2} - 4m + 6 = {\left( {m - 2} \right)^2} + 2 > 0\forall m$ $= {\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {2m - 5} \right) = {m^2} - 4m + 6 = {\left( {m - 2} \right)^2} + 2 > 0\forall m$

Vậy với mọi m thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂

b, Với mọi m thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

$\left\{ \begin{matrix} {x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 2\left( {m - 1} \right) \hfill \\ {x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = 2m - 5 \hfill \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} {x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 2\left( {m - 1} \right) \hfill \\ {x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = 2m - 5 \hfill \\ \end{matrix} \right.$

Ta có tổng hai nghiệm bằng 6

$\Rightarrow {x_1} + {x_2} = 6 \Leftrightarrow 2\left( {m - 1} \right) = 6 \Leftrightarrow m = 4$ $\Rightarrow {x_1} + {x_2} = 6 \Leftrightarrow 2\left( {m - 1} \right) = 6 \Leftrightarrow m = 4$

Vậy với m = 4 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn tổng hai nghiệm bằng 6.

Ví dụ 4: Cho phương trình ${x^2} - \left( {2m + 3} \right)x + m = 0$ ${x^2} - \left( {2m + 3} \right)x + m = 0$ (x là ẩn số, m là tham số)

a, Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b, Tìm m để hai nghiệm phân biệt của phương trình thỏa mãn $x_1^2 + x_2^2$ có giá trị nhỏ nhất.

Gợi ý đáp án:

a, Ta có $\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( {2m + 3} \right)^2} - 4m = 4{m^2} + 8m + 9 = 4{\left( {m + 1} \right)^2} + 3 > 0\forall m$ $\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( {2m + 3} \right)^2} - 4m = 4{m^2} + 8m + 9 = 4{\left( {m + 1} \right)^2} + 3 > 0\forall m$

Vậy với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂

b, Với mọi m thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

$\left\{ \begin{matrix} {x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 2m + 3 \hfill \\ {x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = m \hfill \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} {x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 2m + 3 \hfill \\ {x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = m \hfill \\ \end{matrix} \right.$

Ta có:

$\begin{matrix} x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} \hfill \\ = 4{m^2} + 12m + 9 - 2m = 4{m^2} + 10m + 9 \hfill \\ = {\left( {2m + \dfrac{5}{2}} \right)^2} + \dfrac{{11}}{4} \geqslant \dfrac{{11}}{4} \hfill \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} \hfill \\ = 4{m^2} + 12m + 9 - 2m = 4{m^2} + 10m + 9 \hfill \\ = {\left( {2m + \dfrac{5}{2}} \right)^2} + \dfrac{{11}}{4} \geqslant \dfrac{{11}}{4} \hfill \\ \end{matrix}$

Dấu “=” xảy ra khi $m = \frac{{ - 5}}{4}$ $m = \frac{{ - 5}}{4}$

Vậy với $m = \frac{{ - 5}}{4}$ $m = \frac{{ - 5}}{4}$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1^2 + x_2^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.

5. Bài tập tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Bài 1: Tìm m để phương trình ${x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} - m + 1 = 0$ ${x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} - m + 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn $x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2} = 3$ $x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2} = 3$

Bài 2 Tìm m để phương trình ${x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - 4 = 0$ ${x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - 4 = 0$ có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn $\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = 3$ $\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = 3$

Bài 3: Tìm m để phương trình $\left( {m - 1} \right){x^2} - 2x + 1 = 0$ $\left( {m - 1} \right){x^2} - 2x + 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 2x1 + 3x2 = -1

Bài 4: Cho phương trình: x² - 14x + 29 = 0 có hai nghiệm x₁, x₂

Hãy tính:

a) ${x_1}^3 + {x_2}^3$ ${x_1}^3 + {x_2}^3$

b) $\frac{{1 - {x_1}}}{{{x_1}}} + \frac{{1 - {x_2}}}{{{x_2}}}$ $\frac{{1 - {x_1}}}{{{x_1}}} + \frac{{1 - {x_2}}}{{{x_2}}}$

Bài 5: Cho phương trình x² - 2(m + 1)x + m - 4 = 0, m là tham số.

a) Giải phương trình khi m = -5.

b) Chứng minh rằng: Phương trình luôn có nghiệm x₁, x₂ với mọi tham số m.

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương.

e) Chứng minh rằng biểu thức A = x₁(1 - x₂) + x₂(x - x₁) không phụ thuộc tham số m.

Bài 6: Cho phương trình ẩn x: (m - a)x² + 2mx + m - 2 = 0

a) Giải phương trình khi m = 5.

b) Tìm m để phương trình có nghiệm $x = \sqrt 2$ $x = \sqrt 2$. Tìm nghiệm còn lại.

c) Tìm m để phương trình có nghiệm? Có 2 nghiệm phân biệt? Vô nghiệm? Có nghiệm kép?

d) Khi phương trình có nghiệm x₁, x₂ hãy tính:

i) A = x²₁ + x²₂ theo tham số m.

ii) Tìm m để A = 1

Bài 7: Cho phương trình ${x^2} + mx + 2m - 4 = 0$ ${x^2} + mx + 2m - 4 = 0$ (m tham số)

a, Chứng minh phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn $x_1^2 + x_2^2 = 4$

Bài 8: Cho phương trình ${x^2} - 2x + m - 1 = 0$ ${x^2} - 2x + m - 1 = 0$

a, Giải phương trình khi m = - 2

b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$ ${x_1};{x_2}$ thỏa mãn ${x_1} = 2{x_2}$ ${x_1} = 2{x_2}$

Bài 9: Tìm m để phương trình $2{x^2} + \left( {2m - 1} \right)x + m - 1 = 0$ $2{x^2} + \left( {2m - 1} \right)x + m - 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn $3{x_1} - 4{x_2} = 11$ $3{x_1} - 4{x_2} = 11$

Bài 10: Cho phương trình x² - 2(m - 1)x + 2m - 5 = 0 (m là tham số).

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn x₁ < 1 < x₂

Bài 11:

Cho phương trình x² + 2x - m² - 1 = 0 (m là tham số)

Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm thỏa mãn x₁ = -3x₂

Bài 12: Cho phương trình x² - 2x - 2m² = 0 với x là ẩn số.

Tìm giá trị của m để hai nghiệm của phương trình thỏa hệ thức x₁² = 4x₂².

Bài 13: Cho phương trình x² – 5x + m = 0 (m là tham số).

Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn |x₁ - x₂| = 3.

Bài 14. Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:

a) x² + 2x + m = 0;

b) – x² + 2mx – m² – m = 0;

c) mx² – 3(m + 1)x + m² – 13m – 6 = 0.

Bài 15. Cho phương trình x² – (– 4m – 1)x + 2(m – 4) = 0. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn:

a) x₂ – x₁ = 17;

b) Biểu thức A = (x₁ – x₂)² có giá trị nhỏ nhất;

c) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.

Bài 16. Cho phương trình x² – 5x + m + 4 = 0 (m là tham số). Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m để phương trình thỏa mãn:

x₁(1 – 3x₂) + x₂(1 – 3x₁) = m² – 23.

Bài 17. Cho phương trình x² – (2m + 1)x + m² + m – 6 = 0.

a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt;

b) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt;

Chia sẻ bởi: