500 bài toán bất đẳng thức chọn lọc Tài liệu môn Toán lớp 9
500 bài toán bất đẳng thức tổng hợp 500 bài tập chọn lọc bao gồm nhiều dạng bài khác nhau về bất đẳng thức. Thông qua bài tập về bất đẳng thức giúp học sinh củng cố, nắm vững chắc kiến thức nền tảng, vận dụng giải đề với các bài tập cơ bản để đạt được điểm số cao trong kì thi vào lớp 10 môn Toán.
Ngoài ra các bạn tham khảo thêm tài liệu: Bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng, chuyên đề Giải phương trình bậc 2 chứa tham số, các dạng bài tập về căn bậc 2. Vậy sau đây là 500 bài tập bất đẳng thức hay nhất, mời các bạn cùng đón đọc nhé.
500 bài toán bất đẳng thức chọn lọc
1. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
\(\sqrt{a^{2}+(1-b)^{2}}+\sqrt{b^{2}+(1-c)^{2}}+\sqrt{c^{2}+(1-a)^{2}} \geq \frac{3 \sqrt{2}}{2}\)
2. [ Dinu Serbănescu ] Cho \(a, b, c \in(0,1)\). Chứng minh rằng
\(\sqrt{a b c}+\sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)}<1 .\)
3. [ Mircea Lascu ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c=1. Chứng minh rằng
\(\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}} \geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\)
Gazeta Matematică
4. Nếu phương trình \(x^{4}+a x^{3}+2 x^{2}+b x+1=0\) có ít nhất một nghiệm thực, thì
\(a^{2}+b^{2} \geq 8 .\)
Tournament of the Towns, 1993
5. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\). Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
\(x^{3}+y^{3}+z^{3}-3 x y z .\)
6. Cho a, b, c, x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x+y+z=1. Chứng minh rằng
\(a x+b y+c z+2 \sqrt{(x y+y z+z x)(a b+b c+c a)} \leq a+b+c\)
7. [ Darij Grinberg] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
\(\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}} \geq \frac{9}{4(a+b+c)} .\)
8. [ Hojoo Lee ] Cho \(a, b, c \geq 0\). Chứng minh rằng
\(\sqrt{a^{4}+a^{2} b^{2}+b^{4}}+\sqrt{b^{4}+b^{2} c^{2}+c^{4}}+\sqrt{c^{4}+c^{2} a^{2}+a^{4}} \geq a \sqrt{2 a^{2}+b c}+b \sqrt{2 b^{2}+c a}+c \sqrt{2 c^{2}+a b}\)
Gazeta Matematică
9. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c=2. Chứng minh rằng
\(a^{3}+b^{3}+c^{3} \geq a \sqrt{b+c}+b \sqrt{c+a}+c \sqrt{a+b} .\)
JBMO 2002 Shortlist
10. [ Ioan Tomescu ] Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng
\(\frac{x y z}{(1+3 x)(x+8 y)(y+9 z)(z+6)} \leq \frac{1}{7^{4}} .\)
11. [ Mihai Piticari, Dan Popescu ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a+b+c=1. Chứng minh rằng
\(5\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) \leq 6\left(a^{3}+b^{3}+c^{3}\right)+1\)
12. [ Mircea Lascu ] Cho \(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} \in \mathbb{R}, n \geq 2, a>0\) sao cho
\(x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}=a, x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{n}^{2} \leq \frac{a^{2}}{n-1}\)
Chứng minh rằng
\(x_{i} \in\left[0, \frac{2 a}{n}\right], i=1,2, \ldots, n .\)
13. [ Adrian Zahariuc ] Cho \(a, b, c \in(0,1)\). Chứng minh rằng
\(\frac{b \sqrt{a}}{4 b \sqrt{c}-c \sqrt{a}}+\frac{c \sqrt{b}}{4 c \sqrt{a}-a \sqrt{b}}+\frac{a \sqrt{c}}{4 a \sqrt{b}-b \sqrt{c}} \geq 1 .\)
14. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện\(a b c \leq 1\). Chứng minh rằng
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq a+b+c .\)
15. [ Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu ] Cho a, b, c, x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện \(a+x \geq b+y \geq c+z, a+b+c=x+y+z\). Chứng minh rằng
\(a y+b x \geq a c+x z .\)
16. [ Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c=1. Chứng minh rằng
\(1+\frac{3}{a+b+c} \geq \frac{6}{a b+b c+c a}\)
..................
Mời các bạn tải File tài liệu để xem thêm nội dung bài tập về bất đẳng thức
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Chủ đề liên quan
Có thể bạn quan tâm
-
Tả cái quạt (22 mẫu) - Tập làm văn lớp 2
-
Văn mẫu lớp 12: Đoạn văn suy nghĩ về ý nghĩa của việc hướng về cội nguồn
-
Soạn bài Thuyết minh về một danh lam thắng cảnh Cánh diều
-
Dàn ý phân tích đoạn 2 Tây Tiến (6 mẫu)
-
Đoạn văn tiếng Anh về chủ đề Shopping (Gợi ý + 12 Mẫu)
-
204 Quốc gia và vùng Lãnh thổ trên Thế giới
-
Đoạn văn tiếng Anh về một thiết bị điện tử mà bạn thấy hữu ích trong cuộc sống hàng ngày
-
30 tình huống sư phạm thường gặp cho giáo viên chủ nhiệm
-
Chứng minh đa thức không có nghiệm
-
Văn mẫu lớp 9: Cảm nhận vẻ đẹp người đồng mình trong bài Nói với con của Y Phương
Mới nhất trong tuần
-
Bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng
50.000+ -
Phân dạng và bài tập Hình học lớp 9
50.000+ 1 -
Tổng hợp các dạng bài tập Đại số lớp 9
50.000+ 1 -
Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định
5.000+ -
Chứng minh đẳng thức: cách chứng minh và bài tập
1.000+ -
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
5.000+ -
Tìm giá trị x để A nhận giá trị nguyên
10.000+ -
Cách tìm tọa độ giao điểm của parabol và đường thẳng
1.000+ -
Các dạng bài tập tần số và tần số tương đối
100+ -
Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước
5.000+