Chứng minh đa thức không có nghiệm Ôn tập Toán 7

Chứng minh đa thức không có nghiệm là một trong những kiến thức cơ bản trong chương trình Toán lớp 7 chương trình mới.

Chứng minh đa thức không có nghiệm tổng hợp toàn bộ kiến thức về lý thuyết, cách chứng minh kèm theo ví dụ minh họa và các dạng bài tập có đáp án và tự luyện kèm theo. Qua đó giúp các bạn học sinh tham khảo, hệ thống lại kiến thức để giải nhanh các bài tập về tính nghiệm của đa thức. Lưu ý tài liệu này được dùng cho cả 3 sách Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo theo chương trình mới.

1. Nghiệm của đa thức một biến

- Giá trị x = a được gọi là nghiệm của đa thức P(x) nếu P(a) = 0

+ Nếu P(a) = 0 thì x = a là nghiệm của đa thức P(x)

• Đa thức bậc nhất chỉ có một nghiệm
• Đa thức bậc hai có không quá hai nghiệm
• Đa thức bậc ba có không quá ba nghiệm; …

Chú ý:

+ Một đa thức (khác đa thức không) có thể có một nghiệm, hai nghiệm,… hoặc không có nghiệm.

+ Số nghiệm của một đa thức (khác đa thức không) không vượt quá bậc của nó. Chẳng hạn: đa thức bậc nhất chỉ có một nghiệm, đa thức bậc hai không quá hai nghiệm,…

Ví dụ: Tìm nghiệm của đa thức P(x) = 2y + 6

Từ 2y + 6 = 0 ⇒ 2y = -6 ⇒ y = -6/2 = -3

Vậy nghiệm của đa thức P(x) là -3.

Ví dụ 2: Giả sử a, b, c là các hằng số sao cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng đa thức f(x) = ax² + bx + c có một nghiệm là x = 1 . Áp dụng để tìm một nghiệm của đa thức f(x) = 8x² - 6x - 2.

2. Cách chứng minh đa thức không có nghiệm

Đa thứ P(x) không có nghiệm khi P(x) ≠ 0 với mọi x.

Áp dụng tính chất để chứng minh đa thức không có nghiệm:

A² ≥ 0; |A| ≥ 0

Khi nhân hai vế với một số âm thì đổi chiều dấu so sánh. Khi nhân hai vế với một số dương thì giữ nguyên dấu so sánh.

- Khi cộng trừ hai vế cho một số thì giữ nguyên dấu so sánh.

3. Ví dụ chứng minh đa thức không có nghiệm

Ví dụ 1: Chứng minh các đa thức sau không có nghiệm

Gợi ý đáp án

a) f(x) = 6x² + 9

Ta có: x² ≥ 0 với mọi x

=> 6x² ≥ 0

=> 6x² + 9 ≥ 9 > 0

=> f(x) ≠ 0 với mọi x

Vậy đa thức f(x) không có nghiệm.

b) f(x) = -x⁴ – 1

Ta có: x⁴ ≥ 0 với mọi x

=> -x⁴ ≤ 0 với mọi x

=> -x⁴ – 1 ≤ -1 < 0

=> f(x) ≠ 0 với mọi x

Vậy đa thức f(x) không có nghiệm.

c) f(x) = -|2x + 1| - 3

Ta có: |2x + 1| ≥ 0 với mọi x

=> -|2x + 1| ≤ 0

=> -|2x + 1|-3 ≤ -3 < 0

=> f(x) ≠ 0 với mọi x

Vậy đa thức f(x) không có nghiệm.

Ví dụ 2: Chứng minh đa thức f(x) = 8x² + 100 không có nghiệm.

Gợi ý đáp án

Ta có: x² ≥ 0 với mọi x

=> 8x² ≥ 0

=> 8x² + 100 ≥ 100 > 0

=> f(x) ≠ 0 với mọi x

Vậy đa thức f(x) không có nghiệm.

4. Bài tập chứng minh đa thức không có nghiệm

Câu 1: Chứng minh đa thức sau không có nghiệm: x² +2x + 2

Câu 2: Chứng minh đa thức sau không có nghiệm: x²+ 4x + 7

Câu 3: Chứng minh đa thức vô nghiệm:

a) 4x² + 4x + 2.

b) x² + x + 1.

c) -x² + 2x - 3

Câu 4: Chứng tỏ rằng đa thức sau không có nghiệm:

Q(x) = y⁴ + 2