Hình chiếu là gì? Cách vẽ hình chiếu trong toán học Hình chiếu trong toán học

Hình chiếu là một trong những kiến thức trọng tâm các em sẽ được học trong chương trình Toán 7 và Toán 8. Hình chiếu là khái niệm đo lường khoảng cách vuông góc từ một điểm đến một đường thẳng hoặc một mặt phẳng. Khi tìm hình chiếu giúp chúng ta biết được vị trí của một điểm trên không gian.

Hình chiếu được áp dụng trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau như đồ họa máy tính, thiết kế kiến trúc, và trong các bài toán đo đạc khoảng cách trong không gian. Nó cũng là một công cụ quan trọng trong việc giáo dục và nghiên cứu toán học, giúp làm rõ mối quan hệ giữa các đối tượng không gian và các đặc điểm hình học của chúng. Vậy sau đây là toàn bộ kiến thức về hình chiếu mời các bạn theo dõi. Ngoài ra các bạn xem thêm các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông.

1. Hình chiếu là gì?

Hình chiếu trong Toán học là khoảng cách giữa 2 đoạn thẳng kẻ từ 2 điểm của đoạn thẳng đó vuông góc với đường thẳng cho trước.

Hình chiếu của một đoạn thẳng nằm trên đường chiếu chính là khoảng cách giữa hai đoạn thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho trước. Hình chiếu của một điểm tức là giao điểm của đường thẳng đã cho trước, và đường thẳng kẻ từ điểm vuông góc.

2. Phân loại hình chiếu trong Toán học

Hình chiếu gồm 2 loại hình chiếu đó là chiếu thẳng góc và hình chiếu trục đo:

- Hình chiếu thẳng góc

Hình chiếu thẳng góc là loại hình chiếu biểu diễn theo cách đơn giản, hình dạng, kích thước của vật thể đã được bảo toàn và cho phép thể hiện hình dạng, kích thước vật thể một cách chính xác.

Với mỗi hình chiếu thẳng góc sẽ chỉ thể hiện được hai chiều. Nên chúng ta cần phải dùng đến nhiều hình chiếu để biểu diễn nhất là đối với những vật thể phức tạp. Có ba hình chiếu phổ biến đó là: hình chiếu đứng, hình chiếu cạnh và hình chiếu bằng.

- Hình chiếu trục đo

Hình chiếu trục đo có thể biểu diễn được hết ba chiều của vật thể lên mặt phẳng chiếu. Và các tia chiếu song song với nhau. Sẽ tùy thuộc và phương chiếu là vuông góc hay góc xiên. Theo sự tương quan của ba chiều, sẽ được phân ra gồm có hai loại hình chiếu là hình chiếu trụ đo vuông góc và hình chiếu trục đo xiên góc và hình chiếu phối cảnh, cụ thể các loại hình chiếu này là:

• Hình chiếu trục đo vuông góc: có đều ba hệ số biến dạng với ba trục bằng nhau; sẽ cân hai trong ba hệ số biến dạng có từng đôi một bằng nhau; sẽ lệch ba hệ số biến dạng, với ba chục không bằng nhau
• Hình chiếu trục đo xiên góc: đo xiên góc đều; đo xiên góc cân; đo xiên góc lệch
• Hình chiếu phối cảnh được sử dụng phép chiếu xuyên tâm, các toa chiếu hội tụ về một điểm gọi là điểm tụ. Dựa vào số lượng điểm tụ mà chia ra hình chiếu phối cảnh 1 điểm tụ, 2 điểm tụ và 3 điểm tụ. Ngoài ra còn có hình chiếu phối cảnh Curvilinnear perpective dùng khung cơ sở là mạng đường cong cho phép thể hiện cả hưởng nhìn từ trên xuống ( bỉd's eye view ) và hướng nhìn từ dưới lên ( worm 's eye view ). Hình chiếu phối cảnh rút gọn khoảng cách foresshoting khiến cho khoảng cách trông có vẻ gần hơn về hướng người xem.

3. Các tính chất quan trọng của hình chiếu

Các tính chất quan trọng của hình chiếu trong toán 8 gồm có:

1. Vị trí: Hình chiếu của một điểm nằm trên đường thẳng cho trước. Nếu điểm nằm trên đường thẳng, thì hình chiếu sẽ trùng với chính điểm đó.

2. Đồng thời: Hình chiếu của hai điểm gần nhau trên đường thẳng sẽ gần nhau và nằm trên cùng một phía so với đường thẳng.

3. Nằm trong: Hình chiếu của một điểm nằm trên đoạn thẳng có thể nằm trong hoặc nằm trên phần mở rộng của đoạn thẳng tùy thuộc vào vị trí của điểm.

4. Khoảng cách: Khoảng cách giữa hai điểm cũng tương đương với khoảng cách giữa các hình chiếu của chúng trên đường thẳng.

5. Vuông góc: Hình chiếu của một điểm nằm trên một đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước.

Đây là một số tính chất quan trọng của hình chiếu trong toán 8. Việc hiểu và áp dụng các tính chất này sẽ giúp chúng ta giải quyết các bài toán liên quan đến hình chiếu một cách chính xác và hiệu quả.

4. Các loại phép chiếu thường gặp

Có 3 loại phép chiếu là:

- Hình chiếu thẳng góc là hình chiếu đơn giản, hình dạng và kích thước của vật thể được bảo toàn.

- Những hình chiếu thẳng góc chỉ thể hiện được 2 chiều nên phải sử dụng nhiều hình chiếu để biểu diễn, đặc biệt đối với những vật thể phức tạp. Thông thường có 3 hình chiếu phổ biến là hình chiếu đứng, hình chiếu cạnh và hình chiếu bằng.

- Hình chiếu trục đo có bản chất là thể hiện 3 chiều của vật thể lên mặt phẳng chiếu, những tia chiếu song song với nhau tùy theo phương chiếu.

- Hình chiếu trục đo có thể biểu diễn được hết ba chiều của vật thể lên mặt phẳng chiếu. Và các tia chiếu song song với nhau. Sẽ tùy thuộc và phương chiếu là vuông góc hay góc xiên. Theo sự tương quan của ba chiều, sẽ được phân ra gồm có hai loại hình chiếu là hình chiếu trụ đo vuông góc và hình chiếu trục đo xiên góc và hình chiếu phối cảnh, cụ thể các loại hình chiếu này là:

• Hình chiếu trục đo vuông góc: có đều ba hệ số biến dạng với ba trục bằng nhau; sẽ cân hai trong ba hệ số biến dạng có từng đôi một bằng nhau; sẽ lệch ba hệ số biến dạng, với ba chục không bằng nhau
• Hình chiếu trục đo xiên góc: đo xiên góc đều; đo xiên góc cân; đo xiên góc lệch
• Hình chiếu phối cảnh được sử dụng phép chiếu xuyên tâm, các toa chiếu hội tụ về một điểm gọi là điểm tụ. Dựa vào số lượng điểm tụ mà chia ra hình chiếu phối cảnh 1 điểm tụ, 2 điểm tụ và 3 điểm tụ.

- Hình chiếu phối cảnh Curvilinnear perpective dùng khung cơ sở là mạng đường cong cho phép thể hiện cả hưởng nhìn từ trên xuống và hướng nhìn từ dưới lên. Hình chiếu phối cảnh rút gọn khoảng cách foresshoting khiến cho khoảng cách trông có vẻ gần hơn về hướng người xem.

Trong hình chiếu trục đo còn có nhiều loại khác như hình chiếu trục đo vuông góc và hình chiếu trục đo xiên góc.

5. Có mấy loại phép chiếu?

Một số loại phép chiếu phổ biến trong toán học bao gồm:

• Phép chiếu vuông góc có các tia chiếu vuông góc với mặt phẳng chiếu.
• Phép chiếu song song có các tia chiếu song song với nhau.
• Phép chiếu xuyên tâm có các tia chiếu hội tụ ở một điểm.

6. Hình chiếu vuông góc là gì?

Hình chiếu vuông góc trên một mặt phẳng là hình chiếu hợp với mặt phẳng một góc bằng 90 độ.

Nếu AH vuông góc với mặt phẳng (Q) tại H thì điểm H gọi là hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (Q).

Các loại hình chiếu vuông góc:

- Hình chiếu đứng nhìn từ mặt trước của mặt phẳng

- Hình chiếu cạnh nhìn từ bên trái hoặc bên phải vật thể

- Hình chiếu bằng nhìn từ trên xuống vật thể.

7. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu

Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng d, kẻ một đường thẳng vuông góc với đường thẳng d tại H. trên d lấy điểm B không trùng với H. khi đó :

- Đoạn thẳng AH : gọi là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kẻ từ A đến đường thẳng d.

- Điểm H : gọi là chân của đường vuông góc hay hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d.

- Đoạn thẳng AB : gọi là đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.

- Đoạn thẳng HB : gọi là hình chiếu của đường xiên AB trên đường thẳng d.

Định lí 1:

Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.

Định lí 2:

Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó :

- Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.

- Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn.

- Hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau, ngược lại, Hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.