270 bài tập nâng cao môn Toán lớp 9 (Có đáp án) Ôn tập Toán 9

TOP 270 bài Toán nâng cao lớp 9 được trình bày rất bài bản các dạng bài tập trọng tâm khác nhau có đáp án kèm theo.

Qua đó giúp học sinh đối chiếu so sánh với kết quả mình đã làm thuận tiện hơn. Đồng thời có thể tự nhận xét được năng lực bản thân, thấy được lỗi sai cần tránh, kịp thời lấp đầy lỗ hổng kiến thức, tìm ra các phương pháp làm bài nhanh. Ngoài ra để nâng cao kiến thức môn Toán thật tốt các em xem thêm một số tài liệu như: tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, bất đẳng thức Cosi, chuyên đề Giải phương trình bậc 2 chứa tham số, bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng.

270 bài tập nâng cao môn Toán lớp 9

I. Bài tập nâng cao Toán 9

1. Chứng minh $\sqrt{7}$ $\sqrt{7}$ là số vô tỉ.

2. a) Chứng minh: $(a c+b d)^{2}+(a d-b c)^{2}=\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)$ $(a c+b d)^{2}+(a d-b c)^{2}=\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)$

b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: $(\mathrm{ac}+\mathrm{bd})^{2} \leq\left(\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}\right)\left(\mathrm{c}^{2}+\mathrm{d}^{2}\right)$ $(\mathrm{ac}+\mathrm{bd})^{2} \leq\left(\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}\right)\left(\mathrm{c}^{2}+\mathrm{d}^{2}\right)$

3. Cho x+y=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $S=x^{2}+y^{2}.$ $S=x^{2}+y^{2}.$

4. a) Cho $\mathrm{a} \geq 0, \mathrm{~b} \geq 0$ $\mathrm{a} \geq 0, \mathrm{~b} \geq 0$. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : $\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{2} \geq \sqrt{\mathrm{ab}}.$ $\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{2} \geq \sqrt{\mathrm{ab}}.$

b) Cho a, b, c>0. Chứng minh rằng : $\frac{b c}{a}+\frac{c a}{b}+\frac{a b}{c} \geq a+b+c$ $\frac{b c}{a}+\frac{c a}{b}+\frac{a b}{c} \geq a+b+c$

c) Cho a, b>0 và 3 a+5 b=12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P=a b.

5. Cho a+b=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : $M=a^{3}+b^{3}.$ $M=a^{3}+b^{3}.$

6. Cho $a^{3}+b^{3}=2$ $a^{3}+b^{3}=2$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : N=a+b.

7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh: $a^{3}+b^{3}+a b c \geq a b(a+b+c)$ $a^{3}+b^{3}+a b c \geq a b(a+b+c)$

8. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng: $|\mathrm{a}+\mathrm{b}|>|\mathrm{a}-\mathrm{b}|$ $|\mathrm{a}+\mathrm{b}|>|\mathrm{a}-\mathrm{b}|$

9. a) Chứng minh bất đẳng thức $(\mathrm{a}+1)^{2} \geq 4 \mathrm{a}$ $(\mathrm{a}+1)^{2} \geq 4 \mathrm{a}$

b) Cho a, b, c>0 và a b c=1. Chứng minh: $(a+1)(b+1)(c+1) \geq 8$ $(a+1)(b+1)(c+1) \geq 8$

10. Chứng minh các bất đẳng thức:

$a) (a+b)^{2} \leq 2\left(a^{2}+b^{2}\right)$ $a) (a+b)^{2} \leq 2\left(a^{2}+b^{2}\right)$

$b) (a+b+c)^{2} \leq 3\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)$ $b) (a+b+c)^{2} \leq 3\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)$

11. Tìm các giá trị của x sao cho:

a) |2 x-3|=|1-x|

$b) x^{2}-4 x \leq 5$ $b) x^{2}-4 x \leq 5$

$c) 2 x(2 x-1) \leq 2 x-1$ $c) 2 x(2 x-1) \leq 2 x-1$

12. Tìm các số a, b, c, d biết rằng : $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=a(b+c+d)$ $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=a(b+c+d)$

13. Cho biểu thức $\mathrm{M}=\mathrm{a}^{2}+\mathrm{ab}+\mathrm{b}^{2}-3 \mathrm{a}-3 \mathrm{~b}+2001$ $\mathrm{M}=\mathrm{a}^{2}+\mathrm{ab}+\mathrm{b}^{2}-3 \mathrm{a}-3 \mathrm{~b}+2001$. Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

14. Cho biểu thức $\mathrm{P}=\mathrm{x}^{2}+x \mathrm{y}+\mathrm{y}^{2}-3(\mathrm{x}+\mathrm{y})+3$ $\mathrm{P}=\mathrm{x}^{2}+x \mathrm{y}+\mathrm{y}^{2}-3(\mathrm{x}+\mathrm{y})+3$. CMR giá trị nhỏ nhất của P bằng 0 .

15. Chứng minh rằng không có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau :

$x^{2}+4 y^{2}+z^{2}-2 a+8 y-6 z+15=0$ $x^{2}+4 y^{2}+z^{2}-2 a+8 y-6 z+15=0$

16. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : $\mathrm{A}=\frac{1}{\mathrm{x}^{2}-4 \mathrm{x}+9}$ $\mathrm{A}=\frac{1}{\mathrm{x}^{2}-4 \mathrm{x}+9}$

17. So sánh các số thực sau (không dùng máy tính):

a) $\sqrt{7}+\sqrt{15}$ $\sqrt{7}+\sqrt{15}$và 7

$b) \sqrt{17}+\sqrt{5}+1$ $b) \sqrt{17}+\sqrt{5}+1$ và $\sqrt{45}$ $\sqrt{45}$

$c) \frac{23-2 \sqrt{19}}{3} và \sqrt{27}$ $c) \frac{23-2 \sqrt{19}}{3} và \sqrt{27}$

$d) \sqrt{3 \sqrt{2}} và \sqrt{2 \sqrt{3}}$ $d) \sqrt{3 \sqrt{2}} và \sqrt{2 \sqrt{3}}$

18. Hãy viết một số hữu tỉ và một số vô tỉ lớn hơn $\sqrt{2}$ $\sqrt{2}$ nhưng nhỏ hơn $\sqrt{3}$ $\sqrt{3}$

19. Giải phương trình : $\sqrt{3 x^{2}+6 x+7}+\sqrt{5 x^{2}+10 x+21}=5-2 x-x^{2}.$ $\sqrt{3 x^{2}+6 x+7}+\sqrt{5 x^{2}+10 x+21}=5-2 x-x^{2}.$

20. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $\mathrm{A}=\mathrm{x}^{2} \mathrm{y}$ $\mathrm{A}=\mathrm{x}^{2} \mathrm{y}$ với các điều kiện $\mathrm{x}, \mathrm{y}>0$ $\mathrm{x}, \mathrm{y}>0$ và 2 $\mathrm{x}+\mathrm{xy} =4.$ $\mathrm{x}+\mathrm{xy} =4.$

21. Cho $\mathrm{S}=\frac{1}{\sqrt{1.1998}}+\frac{1}{\sqrt{2.1997}}+\ldots .+\frac{1}{\sqrt{\mathrm{k}(1998-\mathrm{k}+1)}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{1998-1}}$ $\mathrm{S}=\frac{1}{\sqrt{1.1998}}+\frac{1}{\sqrt{2.1997}}+\ldots .+\frac{1}{\sqrt{\mathrm{k}(1998-\mathrm{k}+1)}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{1998-1}}$.

Hãy so sánh S và $2 \cdot \frac{1998}{1999}.$ $2 \cdot \frac{1998}{1999}.$

22. Chứng minh rằng: Nếu số tự nhiên a không phải là số chính phương thì $\sqrt{\mathrm{a}}$ $\sqrt{\mathrm{a}}$ là số vô tỉ.

23. Cho các số x và y cùng dấu. Chứng minh rằng:

.........................

II. Đáp án bài tập nâng cao Toán 9

1. Giả sử $\sqrt{7}$ $\sqrt{7}$ là số hữu $\mathrm{ti} \Rightarrow \sqrt{7}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}$ $\mathrm{ti} \Rightarrow \sqrt{7}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}$ (tối giản).

Suy ra $7=\frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{n}^2}$ $7=\frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{n}^2}$ hay $7 \mathrm{n}^2=\mathrm{m}^2 (1)$ $7 \mathrm{n}^2=\mathrm{m}^2 (1)$.

Đẳng thức này chứng tỏ $\mathrm{m}^2: 7$ $\mathrm{m}^2: 7$ mà 7 là số nguyên tố nên $\mathrm{m}: 7$ $\mathrm{m}: 7$.

Đặt $\mathrm{m}=7 \mathrm{k} \quad(\mathrm{k} \in Z)$ $\mathrm{m}=7 \mathrm{k} \quad(\mathrm{k} \in Z)$, ta có $\mathrm{m}^2=49 \mathrm{k}^2 (2)$ $\mathrm{m}^2=49 \mathrm{k}^2 (2)$.

Từ (1) và (2) suy ra $7 \mathrm{n}^2=49 \mathrm{k}^2$ $7 \mathrm{n}^2=49 \mathrm{k}^2$ nên $\mathrm{n}^2=7 \mathrm{k}^2 (3)$ $\mathrm{n}^2=7 \mathrm{k}^2 (3)$.

Từ (3) ta lại có $\mathrm{n}^2: 7$ $\mathrm{n}^2: 7$ và vì 7 là số nguyên tố nên $n: 7. \mathrm{m} và \mathrm{n}$ $n: 7. \mathrm{m} và \mathrm{n}$ cùng chia hết cho 7 nên phân số

$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}$ $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}$không tối giản, trái giả thiết. Vậy $\sqrt{7}$ $\sqrt{7}$ không phải là số hữu ti; do đó $\sqrt{7}$ $\sqrt{7}$ là số vô ti.

2. Khai triển vế trái và đặt nhân tử chung, ta được vế phải. Từ a) $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ b) vì $( a d- b c)^2 \geq 0.$ $( a d- b c)^2 \geq 0.$

3. Cách 1: Từ x+y=2 ta có y=2-x. Do đó : $S=x^2+(2-x)^2=2(x-1)^2+2 \geq 2$ $S=x^2+(2-x)^2=2(x-1)^2+2 \geq 2$.

Vậy $\min S=2 \Leftrightarrow x=y=1.$ $\min S=2 \Leftrightarrow x=y=1.$

Cách 2 : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với $\mathrm{a}=\mathrm{x}, \mathrm{c}=1, \mathrm{~b}=\mathrm{y}, \mathrm{d}=1$ $\mathrm{a}=\mathrm{x}, \mathrm{c}=1, \mathrm{~b}=\mathrm{y}, \mathrm{d}=1$,

ta có : $(x+y)^2 \leq\left(x^2+y^2\right)(1+1) \Leftrightarrow 4 \leq 2\left(x^2+y^2\right)=2 S \Leftrightarrow S \geq 2 . \Rightarrow mim$ $(x+y)^2 \leq\left(x^2+y^2\right)(1+1) \Leftrightarrow 4 \leq 2\left(x^2+y^2\right)=2 S \Leftrightarrow S \geq 2 . \Rightarrow mim$ S=2 khi x=y=1

b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số dương $\frac{\mathrm{bc}}{\mathrm{a}}$ $\frac{\mathrm{bc}}{\mathrm{a}}$và $\frac{\mathrm{ca}}{\mathrm{b}} ; \frac{\mathrm{bc}}{\mathrm{a}}$ $\frac{\mathrm{ca}}{\mathrm{b}} ; \frac{\mathrm{bc}}{\mathrm{a}}$ và $\frac{\mathrm{ab}}{\mathrm{c}} ; \frac{\mathrm{ca}}{\mathrm{b}}$ $\frac{\mathrm{ab}}{\mathrm{c}} ; \frac{\mathrm{ca}}{\mathrm{b}}$ và $\frac{\mathrm{ab}}{\mathrm{c}}$ $\frac{\mathrm{ab}}{\mathrm{c}}$, ta lần lươt tó: $\frac{\mathrm{bc}}{\mathrm{a}}+\frac{\mathrm{ca}}{\mathrm{b}} \geq 2 \sqrt{\frac{\mathrm{bc}}{\mathrm{a}} \cdot \frac{\mathrm{ca}}{\mathrm{b}}}=2 \mathrm{c} ; \frac{\mathrm{bc}}{\mathrm{a}}+\frac{\mathrm{ab}}{\mathrm{c}} \geq 2 \sqrt{\frac{\mathrm{bc}}{\mathrm{a}} \cdot \frac{\mathrm{ab}}{\mathrm{c}}}=2 \mathrm{~b} ; \frac{\mathrm{ca}}{\mathrm{b}}+\frac{\mathrm{ab}}{\mathrm{c}} \geq 2 \sqrt{\frac{\mathrm{ca}}{\mathrm{b}} \cdot \frac{\mathrm{ab}}{\mathrm{c}}}=2 \mathrm{a}$ $\frac{\mathrm{bc}}{\mathrm{a}}+\frac{\mathrm{ca}}{\mathrm{b}} \geq 2 \sqrt{\frac{\mathrm{bc}}{\mathrm{a}} \cdot \frac{\mathrm{ca}}{\mathrm{b}}}=2 \mathrm{c} ; \frac{\mathrm{bc}}{\mathrm{a}}+\frac{\mathrm{ab}}{\mathrm{c}} \geq 2 \sqrt{\frac{\mathrm{bc}}{\mathrm{a}} \cdot \frac{\mathrm{ab}}{\mathrm{c}}}=2 \mathrm{~b} ; \frac{\mathrm{ca}}{\mathrm{b}}+\frac{\mathrm{ab}}{\mathrm{c}} \geq 2 \sqrt{\frac{\mathrm{ca}}{\mathrm{b}} \cdot \frac{\mathrm{ab}}{\mathrm{c}}}=2 \mathrm{a}$ cộng từng vế ta được bất đẳng thức cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi $\mathrm{a}=\mathrm{b}=\mathrm{c}.$ $\mathrm{a}=\mathrm{b}=\mathrm{c}.$

c) Với các số dương 3a và 5b, theo bất đẳng thức Cauchy ta có : $\frac{3 \mathrm{a}+5 \mathrm{~b}}{2} \geq \sqrt{3 \mathrm{a} \cdot 5 \mathrm{~b}}.$ $\frac{3 \mathrm{a}+5 \mathrm{~b}}{2} \geq \sqrt{3 \mathrm{a} \cdot 5 \mathrm{~b}}.$

.............

Mời các bạn tải File tài liệu để xem thêm bài tập nâng cao Toán 9

Chia sẻ bởi: