Chuyên đề Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai Lớp 9 Rút gọn biểu thức lớp 9
Rút gọn biểu thức chứa căn thuộc dạng toán cơ bản trọng tâm có trong chương trình Toán lớp 9 hiện hành và thường xuất hiện trong các bài thi vào 10 môn Toán.
Chuyên đề rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai lớp 9 gồm 89 trang được biên soạn với nhiều dạng bài tập khác nhau có đáp án giải chi tiết. Qua đó giúp các bạn học sinh tham khảo, hệ thống lại kiến thức để giải nhanh các bài tập về biểu thức chứa căn để đạt kết quả cao trong các bài kiểm tra, bài thi sắp tới. Ngoài ra để nâng cao kiến thức môn Toán thật tốt các em xem thêm một số tài liệu như: chuyên đề Giải phương trình bậc 2 chứa tham số, bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng.
Chuyên đề rút gọn biểu thức lớp 9
Các công thức biến đổi căn thức
\(1. \quad \sqrt{A^{2}}=|A|=\left\{\begin{array}{l}A \text { nếu } \mathrm{A} \geq 0 \\ -A \text { nếu } \mathrm{A}<0\end{array}\right.\)
\(2. \quad \sqrt{A B}=\sqrt{A} \cdot \sqrt{B} (Với A \geq 0 ; B \geq 0 )\)
\(3. \sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}\) (Với A ≥ B> 0)
\(4. \quad \sqrt{A^{2} B}=|A| \sqrt{B} \quad (Với B \geq 0 )\)
\(5. A \sqrt{B}=\sqrt{A^{2} B}\)(Với
\(A \geq 0\) ;
\(B \geq 0\))
\(6. A \sqrt{B}=-\sqrt{A^{2} B}\) (Với A<0 ;
\(B \geq 0\))
\(7. \sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{1}{|B|} \sqrt{A B} \quad (Với A \geq 0 ; B>0 ) \begin{array}{ll}\text { 8. } \frac{A}{\sqrt{B}} & =\frac{A \sqrt{B}}{B} & \text { (Với } B>0 \text { ) }\end{array}\)
\(9 \quad \frac{C}{\sqrt{A} \pm B}=\frac{C(\sqrt{A} \pm B)}{A-B^{2}} \quad (Với A \geq 0 ; \mathrm{A} \neq \mathrm{B}^{2} )\)
\(10 \quad \frac{C}{\sqrt{A} \pm \sqrt{B}}=\frac{C(\sqrt{A} \pm \sqrt{B})}{A-B} \quad (Với \left.A \geq 0 ; B \geq 0 ; \mathrm{A} \neq \mathrm{B}\right)\)
\(11 (\sqrt[3]{A})^{3}=\sqrt[3]{A^{3}}=A\)
* Cách tìm điều kiện trong bài toán chứa căn thức
\(1. \sqrt{A} \quad Đ K X Đ: A \geq 0 \quad Ví dụ: \sqrt{x-2018} \quad ĐKXĐ: \quad x \geq 2018\)
\(2. \frac{A}{B} \quad \boxminus K X Đ: B \neq 0 \quad Ví dụ: \frac{x+4}{x-7} \quad ĐKXĐ: x \neq 7\)
\(3. \frac{A}{\sqrt{B}} \quad \boxminus K X Đ: B>0 \quad Ví dụ: \frac{x+1}{\sqrt{x-3}} \quad ĐKXĐ: \quad x>3\)
\(4. \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}} \quad ĐKXĐ: A \geq 0 ; B>0 \quad\) Ví dụ:
\(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x-3}} \quad ĐKXĐ: \quad\left\{\begin{array}{l}x \geq 0 \\ x>3\end{array} \Leftrightarrow x>3\right.\)
\(5. \sqrt{\frac{A}{B}} \quad ĐKXĐ: \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}A \leq 0 \\ B<0\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}A \geq 0 \\ B>0\end{array} \quad \text { Ví dụ: } \sqrt{\frac{x+1}{x+2}}\right.\end{array} \quad\right. ĐXĐ: \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x+1 \leq 0 \\ x+2<0\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x+1 \geq 0 \\ x+2>0\end{array}\right.\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x<-2 \\ x \geq 1\end{array}\right.\right.\)
Cho a >0 ta có:
6. \(x^{2}>a \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x>\sqrt{a} \\ x<-\sqrt{a}\end{array} \quad\right.\) Ví dụ:
\(x^{2}>1 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x>\sqrt{a} \\ x<-\sqrt{a}\end{array}\right.\)
*Dạng 1: Các bài toán biến đổi căn thức thường gặp
Thí dụ 1. (Trích đề thi HSG huyện Nghi Xuân Hà Tĩnh)
Tính giá trị của biểu thức: \(A=\sqrt{6-2 \sqrt{5}}+\sqrt{14-6 \sqrt{5}}\)
Lời giải
Ta có: \(\mathrm{A}=\sqrt{6-2 \sqrt{5}}+\sqrt{14-6 \sqrt{5}}=\sqrt{(\sqrt{5}-1)^{2}}+\sqrt{(3-\sqrt{5})^{2}}=\sqrt{5}-1+3-\sqrt{5}=2\)
* Thí dụ 2. (Trích đề thi HSG tỉnh Lâm Đồng năm 2010-2011)
Cho \(\mathrm{E}=(\sqrt[3]{2}+1) \sqrt[3]{\frac{\sqrt[3]{2}-1}{3}}\). Chứng minh rằng E là số nguyên
Lời giải
Ta có:
\(\begin{aligned} E &=\sqrt[3]{(\sqrt[3]{2}+1)^{3} \cdot \frac{(\sqrt[3]{2}-1)}{3}}=\sqrt[3]{[2+1+3 \sqrt[2]{2}(\sqrt[3]{2}+1)] \frac{\sqrt[3]{2}-1}{3}}=\sqrt{(8-3 \sqrt{7})^{2}}-\sqrt{(8+3 \sqrt{7})^{2}} \\ &=\sqrt[3]{(1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{2}-1)}=\sqrt[3]{2-1}=1 \end{aligned}\)
Vậy E là số nguyên
• Thí dụ 3. (Trích đề thi chọn HSG tỉnh Hòa Bình Năm 2010-2011)
Rút gọn: \(A=\frac{\sqrt{\sqrt[4]{8}+\sqrt{\sqrt{2}-1}}-\sqrt{\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}-1}}}{\sqrt{\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}+1}}}.\)
Lời giải
Đặt \(\mathrm{A}=\frac{\mathrm{T}}{\mathrm{M}}. Ta có \mathrm{T}>0 nên \mathrm{T}=\sqrt{\mathrm{T}^{2}}\)
\(\begin{aligned} & \text { Xét } \mathrm{T}^{2}=(\sqrt[4]{8}+\sqrt{\sqrt{2}-1})-2 \cdot \sqrt{\sqrt[4]{8}+\sqrt{\sqrt{2}-1}} \cdot \sqrt{\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}-1}}+(\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}-1}) \\ &=2 \sqrt[4]{8}-2 \sqrt{\sqrt{8}-(\sqrt{2}-1)} \\ &=2 \sqrt[4]{8}-2 \sqrt{\sqrt{2}+1} \\ &=2(\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}+1}) \\ \Rightarrow & \mathrm{T}=\sqrt{2(\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}+1})} \\ \Rightarrow & \mathrm{A}=\sqrt{2} \end{aligned}\)
Thí dụ 4. (Trích đề thi HSG Phú Thọ năm 2012-2013)
Rút gọn biểu thức:\(\mathrm{A}=\sqrt{\frac{2 \sqrt{10}+\sqrt{30}-2 \sqrt{2}-\sqrt{6}}{2 \sqrt{10}-2 \sqrt{2}}}: \frac{2}{\sqrt{3}-1}\)
Lời giải
Ta có:\(\sqrt{\frac{2 \sqrt{10}+\sqrt{30}-2 \sqrt{2}-\sqrt{6}}{2 \sqrt{10}-2 \sqrt{2}}}: \frac{2}{\sqrt{3}-1}=\)
*Thí dụ 5. (Trích đề thi HSG T.P Bắc Giang năm 2016-2017)
Tính giá trị của biểu thức \(N=\frac{\sqrt{4+\sqrt{3}}+\sqrt{4-\sqrt{3}}}{\sqrt{4+\sqrt{13}}}+\sqrt{27-10 \sqrt{2}}\)
Lời giải
Ta có: \(\mathrm{N}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{4+\sqrt{3}}+\sqrt{4-\sqrt{3}})}{\sqrt{8+2 \sqrt{13}}}+\sqrt{25-10 \sqrt{2}+2}\)
\(\begin{aligned} & =\frac{\sqrt{2}(\sqrt{4+\sqrt{3}}+\sqrt{4-\sqrt{3}})}{\sqrt{(4+\sqrt{3})+2 \sqrt{4+\sqrt{3}} \sqrt{4-\sqrt{3}}+(4+\sqrt{3})}}+\sqrt{(5-\sqrt{2})^2} \\ & =\frac{\sqrt{2}(\sqrt{4+\sqrt{3}}+\sqrt{4-\sqrt{3}})}{\sqrt{(\sqrt{4+\sqrt{3}}+\sqrt{4-\sqrt{3}})^2}}+\sqrt{(5-\sqrt{2})^2}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{4+\sqrt{3}}+\sqrt{4-\sqrt{3}})}{\sqrt{4+\sqrt{3}}+\sqrt{4-\sqrt{3}}}+|5-\sqrt{2}| \\ & =\sqrt{2}+5-\sqrt{2}=5 \end{aligned}\)
Thí dụ 6: Không sử dụng máy tính, hãy thực hiện phép tính:
\(A=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}+\sqrt{4-\sqrt{15}}+\sqrt{10}}{\sqrt{23-3 \sqrt{5}}}\)
Lời giải
Ta có: \(A=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}+\sqrt{4-\sqrt{15}}+\sqrt{10}}{\sqrt{23-3 \sqrt{5}}}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2-\sqrt{3}}+\sqrt{4-\sqrt{15}}+\sqrt{10})}{\sqrt{2}(\sqrt{23-3 \sqrt{5}})}\)
\(=\frac{\sqrt{4-2 \sqrt{3}}+\sqrt{8-2 \sqrt{15}}+2 \sqrt{5}}{\sqrt{46-6 \sqrt{5}}}=\frac{\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}+\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}+2 \sqrt{5}}{\sqrt{(3 \sqrt{5}-1)^2}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}-1+\sqrt{5}-\sqrt{3}+2 \sqrt{5}}{3 \sqrt{5}-1}=\frac{3 \sqrt{5}-1}{3 \sqrt{5}-1}=1\)
*Thí dụ 7. (Trích đề thi HSG huyện Nga Sơn-Thanh Hóa năm 2016-2017)
Rút gọn biểu thức: \(\mathrm{B}=\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}\)
Lời giải
Ta có:
\(\begin{aligned} & \frac{B}{\sqrt{2}}=\frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{4+2 \sqrt{3}}}+\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{4-2 \sqrt{3}}}=\frac{2+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}+\frac{2-\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}} \\ & \frac{B}{\sqrt{2}}=\frac{(2+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})+(3+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})}=\frac{3+\sqrt{3}+3-\sqrt{3}}{6} \\ & \frac{B}{\sqrt{2}}=1 \Rightarrow B=\sqrt{2} \end{aligned}\)
*Thí dụ 8. (Trích đề thi HSG huyện Thạch Hà năm 2016-2017)
So sánh \(\sqrt{2017^2-1}-\sqrt{2016^2-1}\) và
\(\frac{2.2016}{\sqrt{2017^2-1}+\sqrt{2016^2-1}}\)
Lời giải
Ta có:\(\sqrt{2015^2-1}-\sqrt{2014^2-1}=\frac{\left(\sqrt{2017^2-1}-\sqrt{2016^2-1}\right)\left(\sqrt{2017^2-1}+\sqrt{2016^2-1}\right)}{\sqrt{2017^2-1}+\sqrt{2016^2-1}}\)
\(=\frac{\left(2015^2-1\right)-\left(2014^2-1\right)}{\sqrt{2017^2-1}+\sqrt{2016^2-1}}=\frac{2017^2-2016^2}{\sqrt{2017^2-1}+\sqrt{2016^2-1}}=\frac{(2017-2016)(2017+2016)}{\sqrt{2017^2-1}+\sqrt{2016^2-1}}\)
\(=\frac{2017+2016}{\sqrt{2017^2-1}+\sqrt{2016^2-1}}>\frac{2.2016}{\sqrt{2017^2-1}+\sqrt{2016^2-1}}\)
Vậy \(\sqrt{2017^2-1}-\sqrt{2016^2-1}>\frac{2.2016}{\sqrt{2017^2-1}+\sqrt{2016^2-1}}\)
*Thí dụ 9. Rút gọn các biểu thức:
\(a) \mathrm{A}=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-12 \sqrt{5}}}}\)
\(b) B=\sqrt[3]{70-\sqrt{4901}}+\sqrt[3]{70+\sqrt{4901}}\)
Lời giải
\(a) \begin{aligned} A & =\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-12 \sqrt{5}}}}=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{(2 \sqrt{5}-3)^2}}} \\ & =\sqrt{\sqrt{5}-(\sqrt{5}-1)}=1 \end{aligned}\)
.................
Chọn file cần tải:
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Chủ đề liên quan
Có thể bạn quan tâm
-
Văn mẫu lớp 12: Phân tích tình huống truyện Chiếc thuyền ngoài xa
-
Dẫn chứng về Cho và nhận - Ví dụ về Cho và Nhận trong cuộc sống
-
Soạn bài Bức tranh của em gái tôi - Cánh Diều 6
-
Bộ đề thi học kì 2 môn Ngữ văn lớp 7 năm 2023 - 2024 (Sách mới)
-
Văn mẫu lớp 12: Nghị luận xã hội Đời phải trải qua giông tố nhưng không được cúi đầu trước giông tố
-
Bài thu hoạch tập huấn tổ chức dạy học trực tuyến cho giáo viên THCS
-
Đề thi giữa học kì 2 môn Tiếng Việt lớp 5 trường Tiểu học An Thạnh năm học 2016 - 2017
-
Văn mẫu lớp 12: Đoạn văn nghị luận về sự cao thượng (5 Mẫu)
-
Viết thư điện tử cho giáo viên để nộp bài tập về nhà
-
Cấu trúc đề thi THPT Quốc gia 2025 - Tất cả các môn
Mới nhất trong tuần
-
Tam giác cân: Khái niệm, tính chất, cách chứng minh và bài tập
100.000+ -
Hướng dẫn tìm công thức truy hồi của dãy số
50.000+ -
Góc giữa hai mặt phẳng: Định nghĩa, cách xác định và Bài tập (có đáp án)
100.000+ -
Tích phân lớp 12
10.000+ -
Toán Tiểu học: Công thức tính diện tích, chu vi, thể tích hình cơ bản
1M+ 13 -
Tổng hợp kiến thức và các dạng bài tập hình học lớp 4
10.000+ -
Tổng hợp kiến thức Toán 9
100.000+ -
Công thức tính đường cao trong tam giác
10.000+ -
Công thức tính chu vi hình tròn
1.000+ -
Công thức hình học và toán chuyển động lớp 5
10.000+