Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng năng suất Cách giải bài toán năng suất công việc

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng năng suất tổng hợp toàn bộ kiến thức về cách giải, công thức tính ví dụ minh họa giải chi tiết và 14 bài tập tự luyện.

Cách giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng năng suất là một trong những bài toán cơ bản trong chương trình lớp 9 hiện hành và thường xuất hiện trong các bài thi vào 10. Qua đó giúp các bạn học sinh tham khảo, hệ thống lại kiến thức để giải nhanh các bài tập Đại số. Ngoài ra để nâng cao kiến thức môn Toán thật tốt các bạn xem thêm một số tài liệu như: tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện, chuyên đề Giải phương trình bậc 2 chứa tham số, bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng.

1. Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Bước 1: Lập hệ phương trình:

+ Đặt ẩn và tìm điều kiện của ẩn (nếu có).

+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

+ Lập hệ phương trình biểu diễn tương quan giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải hệ phương trình.

Bước 3: So sánh với điều kiện và kết luận.

2. Công thức tính năng suất, thời gian

Công thức:

- Thời gian hoàn thành một công việc : \(T = \frac{1}{N}\) (N là năng suất)

- Số công việc hoàn thành trong một đơn vị thời gian T:

Công việc = N. T

3. Cách giải bài toán bằng cách lập HPT dạng năng suất

Ví dụ 1: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.

Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự định xong trong 12 ngày. Họ cùng làm chung với nhau được 8 ngày thì đội 1 được điều đi làm việc khác. Đội 2 tiếp tục làm, do cải tiến kĩ thuật năng suất tăng gấp đôi nên đội 2 đã làm xong phần công việc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi mỗi đội làm một mình thì sau bao lâu sẽ làm xong công việc trên.

Hướng dẫn giải

Gọi x, y là số ngày đội 1, đội 2 làm xong công việc (x, y > 12)

Trong 1 ngày đội 1 làm được: \(\frac{1}{x}\) công việc

Trong 1 ngày đội 2 làm được: \(\frac{1}{y}\) công việc

Trong một ngày cả hai đội làm được: \(\frac{1}{{12}}\) công việc

Ta có phương trình \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}\) (1)

Khi cả hai đội làm chung 8 ngày, cả hai đội làm được 2/3 công việc

Số công việc còn lại để đội 2 làm là 1/3 công việc

Do đội 2 làm với năng suất gấp đôi: \(\frac{2}{y}\)

Theo bài ra: \(3,5.\frac{2}{y} = \frac{1}{3}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3,5.\dfrac{2}{y} = \dfrac{1}{3}} \\ {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{12}}} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 28} \\ {y = 21} \end{array}} \right.\)

Kết luận: Đội thứ nhất hoàn thành công việc một mình trong 28 giờ.

Đội thứ hai hoàn thành công việc một mình trong 21 giờ.

Ví dụ 2: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Một tổ sản xuất phải làm được 600 sản phẩm trong một thời gian quy định với năng suất quy định. Sau khi làm xong 400 sản phẩm tổ sản xuất tăng năng suất lao động, mỗi ngày làm tăng thêm 10 sản phẩm so với quy định. Vì vậy mà công việc được hoàn thành sớm hơn quy định một ngày. Tính xem, theo quy định, mỗi ngày tổ sản xuất phải làm bao nhiêu sản phẩm?

Hướng dẫn giải

Gọi số sản phẩm làm theo quy định trong 1 ngày là x (sản phẩm) (0 < x < 600)

Số sản phẩm làm được khi tăng năng suất là y (sản phẩm) (y > 0)

Ta có y = x + 10 (1)

Thời gian hoàn thành theo quy định là: \(\frac{{600}}{x}\) (ngày)

Thời gian làm 400 sản phẩm đầu là \(\frac{{400}}{x}\) (ngày)

Thời gian làm 200 sản phẩm còn lại là \(\frac{{200}}{y}\) (ngày)

Ta có phương trình: \(\frac{{400}}{x} + \frac{{200}}{y} = \frac{{600}}{x} - 1\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = x + 10} \\ {\dfrac{{400}}{x} + \dfrac{{200}}{y} = \dfrac{{600}}{x} - 1} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 40} \\ {y = 50} \end{array}} \right.\)

Vậy theo quy định mỗi ngày tổ sản xuất phải làm 40 sản phẩm.

4. Bài tập giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Bài 1: Một công nhân dự định làm 72 sản phẩm trong thời gian nhất định. Nhưng thực tế xí nghiệp lại giao 80 sản phẩm, mặc dù người đó mỗi giờ làm thêm 1 sản phẩm so với dự kiến nhưng thời gian hoàn thành vẫn chậm 12 phút so với dự định. Tính năng suất dự kiến mỗi giờ của người đó, biết rằng mỗi giờ người đó làm không quá 20 sản phẩm.

Bài 2: Một nhóm thợ đặt kế hoạch sản xuất 1200 sản phẩm. Trong 12 ngày đầu họ làm theo đúng kế hoạch đề ra, những ngày còn lại họ đã làm vượt mức mỗi ngày 20 sản phẩm, nên hoàn thành kế hoạch sớm 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm.

Bài 3: Một tổ sản xuất dự kiến làm xong một số sản phẩm trong 18 ngày. Nhưng khi làm mỗi ngày tổ làm vượt mức 5 sản phẩm nên sau 16 ngày tổ đã hoàn thành công việc và còn làm thêm được 20 sản phẩm nữa. Tính số sản phẩm dự kiến ban đầu.

Bài 4: Một người lập kế hoạch làm 300 sản phẩm với năng suất dự định. Sau khi làm được 5 ngày, nhờ cải tiến kĩ thuật, người đó đã tăng năng suất thêm 10 sản phẩm một ngày, do đo đã hoàn thành công việc sau 7 ngày. Hãy tính năng suất ban đầu

Bài 5: Hai tổ cùng dệt may một loại áo như nhau. Số áo tổ thứ nhất làm được trong 6 ngày nhiều hơn số áo tổ thứ hai làm được trong 8 ngày là 40 chiếc. Biết rằng năng suất lao động của tổ thứ nhất hơn tổ thứ hai là 30 áo một ngày. Tính năng suất lao động của mỗi tổ.

(Phương trình: 6a – 8(a - 30) = 40 với a là năng suất lao động của tổ thứ nhất)

Bài 6: Một tổ có kế hoạch sản xuất 350 sản phẩm theo năng suất dự kiến. Nếu tăng năng suất 10 sản phẩm một ngày thì tổ đó hoàn thành sản phẩm sớm 2 ngày so với giảm năng suất 10 sản phẩm mỗi ngày. Tính năng suất dự kiến

(Phương trình: \(\frac{{350}}{{a - 10}} - \frac{{350}}{{a + 10}} = 2\) với a là năng suất dự kiến của tổ)

Bài 7: Một xí nghiệp đánh bắt hải sản theo kế hoạch phải đánh được 800 tấn cá. Nhờ tăng năng suất 20 tấn mỗi tháng nên hoàn thành kế hoạch sớm hơn 2 tháng. Tính năng suất mỗi tháng theo kế hoạch của xí nghiệp?

(Phương trình: \(\frac{{800}}{a} - \frac{{800}}{{a + 20}} = 2\)với a là năng suất dự kiến của xí nghiệp)

Bài 8: Một đội sản xuất phải làm 1000 sản phẩm trong 1 thời gian quy định. Nhờ tăng năng suất lao động, mỗi ngày đội làm thêm được 10 sản phẩm so với kế hoạch. Vì vậy chẳng đã làm vượt mức kế hoạch 80 sản phẩm mà còn hoàn thành công việc sớm hơn 2 ngày so với quy định. Tính số sản phẩm mà tổ phải làm 1 ngày theo kế hoạch.

(Phương trình: \(\frac{{1000}}{a} - \frac{{1080}}{{a + 10}} = 2\) với a là năng suất dự kiến của đội)

Bài 9: Một tổ công nhân theo kế hoạch phải làm 140 sản phẩm trong một thời gian quy định. Nhưng khi thực hiện năng suất của tổ đã vượt năng suất dự định 4 sản phẩm mỗi ngày. Do đó tổ hoàn thành công việc sớm hơn dự định 4 ngày. Hỏi thực tế mỗi ngày tổ đã làm được bao nhiêu sản phẩm?

(Phương trình: \(\frac{{140}}{a} - \frac{{140}}{{a + 4}} = 4\) với a là năng suất dự kiến của tổ)

Bài 10: Một tổ sản xuất dự định làm 600 thùng khẩu trang để tặng lực lượng phòng chống dịch COVID - 19 trong thời gian dự định trước. Sau khi làm xong 400 chiếc, tổ sản xuất đã tăng năng suất lao động, mỗi giờ làm thêm được 10 thùng khẩu trang. Vì vậy công việc được hoàn thành sớm hơn dự định một giờ. Hỏi theo dự định, mỗi giờ tổ sản xuất được bao nhiêu thùng khẩu trang?

Bài 11: Hai người làm chung một công việc trong 12 ngày thì xong. Nhưng khi làm chung được 8 ngày thì người thứ nhất đi làm việc khác, người thức hai làm tiếp công việc đó trong 10 ngày nữa thì xong. Hỏi nếu mỗi người làm một mình xong công việc đó hết bao lâu thời gian?

Bài 12: Để làm xong một công việc. Nếu nhân công A và B cùng làm thì mất 6 giờ. Nếu công nhân B và C cùng làm thì mất 4 giờ 30 phút. Nếu công nhân C và A cùng làm thì mất 3 giờ 36 phút. Hỏi nếu cả 3 công nhân cùng làm thì bao lâu xong công việc?

Bài 13 Một công nhân dự định làm 120 sản phẩm trong một thời gian dự định. Sau khi làm được 2 giờ với năng suất dự kiến, người đó đã cải tiến kỹ thuật nên đã tăng năng suất được 3 sản phẩm mỗi giờ và vì vậy người đó đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn dự định 1 giờ 36 phút. Hỏi trong 1 giờ người đó dự kiến làm bao nhiêu sản phẩm?

Bài 14: Hai công nhân làm một cong việc trong 18h thì xong. Nếu người thứ nhất làm 6h và người thứ hai làm 12h thì chỉ hoàn thành 50 phần trăm công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đo trong bao lâu?