Giải hệ phương trình bậc cao Cách giải phương trình bậc cao
Giải hệ phương trình bậc cao là một trong những dạng toán trọng tâm thường xuất hiện trong các bài kiểm tra, bài thi môn Toán lớp 9.
Cách giải hệ phương trình bậc cao tổng hợp toàn bộ kiến thức về cách tính kèm theo ví dụ minh họa và một số bài tập tự luyện. Thông qua tài liệu này giúp học sinh củng cố, nắm vững chắc kiến thức nền tảng, vận dụng với các bài tập cơ bản để đạt được kết quả cao trong kì thi vào lớp 10 sắp tới. Bên cạnh đó các bạn xem thêm giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng năng suất.
Giải hệ phương trình bậc cao
I. Cách giải hệ phương trình bậc cao
Phương pháp: Sử dụng các phương pháp thế, cộng đại số hoặc đặt ẩn phụ để giải hệ phương trình.
II. Ví dụ giải hệ phương trình bậc cao
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {8{x^3}{y^3} + 27 = 18{y^3}} \\ {4{x^2}y + 6x = {y^2}} \end{array}} \right.\)
Hướng dẫn giải
Hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {8{x^3}{y^3} + 27 = 18{y^3}{\text{ }}\left( 1 \right)} \\ {4{x^2}y + 6x = {y^2}{\text{ }}\left( 2 \right)} \end{array}} \right.\)
Với y = 0 không là nghiệm của hệ phương trình.
Chia cả hai vế của phương trình (1) cho y3, phương trình (2) cho y2 ta được:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {8{x^3} + \dfrac{{27}}{{{y^3}}} = 18} \\ {4\dfrac{{{x^2}}}{y} + 6.\dfrac{x}{{{y^2}}} = 1} \end{array}} \right.\)
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x = a} \\ {\dfrac{3}{y} = b} \end{array}} \right.\) hệ phương trình trở thành \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a^3} + {b^3} = 18} \\ {{a^2}b + a{b^2} = 3} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a + b = 3} \\ {ab = 1} \end{array}} \right.\)
a, b là nghiệm của hệ phương trình T2 – 3T + 1 = 0
Từ đó suy ra hệ phương trình có hai nghiệm
\(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{4};\frac{{3 + \sqrt 5 }}{6}} \right) = \left( {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{4};\frac{{3 - \sqrt 5 }}{6}} \right)\)
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} - 2xy + x - 2y + 3 = 0} \\ {{y^2} - {x^2} + 2xy + 2x - 2 = 0} \end{array}} \right.\)
Hướng dẫn giải
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} - 2xy + x - 2y + 3 = 0{\text{ }}\left( 1 \right)} \\ {{y^2} - {x^2} + 2xy + 2x - 2 = 0{\text{ }}\left( 2 \right)} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2{x^2} - 4xy + 2x - 4y + 6 = 0} \\ {{y^2} - {x^2} + 2xy + 2x - 2 = 0} \end{array}} \right.\)
Cộng hai vế của hệ phương trình ta được:
x2 + y2 – 2xy + 4x – 4y + 4 = 0
<=> (x – y + 2)2 = 0
<=> y = x + 2
Thay vào phương trình (1) ta được: x2 + 5x + 1 = 0 => \(x = \frac{{ - 5 \pm \sqrt {21} }}{2}\)
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{ - 5 - \sqrt {21} }}{2};\frac{{ - 1 - \sqrt {21} }}{2}} \right) = \left( {\frac{{ - 5 + \sqrt {21} }}{2};\frac{{ - 1 + \sqrt {21} }}{2}} \right)\)
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt {3 + 2x} + \sqrt {3 - 2y} = x + 4} \\ {\sqrt {3 + 2x} - \sqrt {3 - 2y} = x} \end{array}} \right.\)
Hướng dẫn giải
Điều kiện xác định: \(x \geqslant \frac{{ - 3}}{2};y \leqslant \frac{3}{2}\)
Trừ từng vế của hai phương trình của hệ ta được phương trình:
\(\sqrt {3 - 2y} = 2 \Rightarrow 3 - 2y = 4 \Rightarrow y = \frac{{ - 1}}{2}\left( {tm} \right)\)
Cộng từng vế của hai phương trình của hệ đã cho ta được phương trình:
\(\sqrt {3 + 2x} = x + 2 \Rightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} = 0 \Rightarrow x = - 1\left( {tm} \right)\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm là:
\(\left( {x;y} \right) = \left( { - 1; - \frac{1}{2}} \right)\)
Ví dụ 4 Giải các hệ phương trình sau
\(a) \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt{1+2{{x}^{2}}}}+\frac{1}{\sqrt{1+2{{y}^{2}}}}=\frac{2}{\sqrt{1+2xy}}\\\sqrt{x\left( 1-2x \right)}+\sqrt{y\left( 1-2y \right)}=\frac{2}{9}\end{array} \right.\)
\(b) \left\{ \begin{array}{l}x\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)+{{x}^{2}}=2\sqrt{{{\left( x-{{y}^{2}} \right)}^{3}}}\\76{{x}^{2}}-20{{y}^{2}}+2=\sqrt[3]{4x\left( 8x+1 \right)}\end{array} \right.\)
Giải
a) Điều kiện: \(0\le x,y\le \frac{1}{2}.\)
Đặt \(a=\sqrt{2}x,b=\sqrt{2}y;a,b\in \left[ 0;\frac{1}{\sqrt{2}} \right].\)
Ta có: \(VT=\frac{1}{\sqrt{1+{{a}^{2}}}}+\frac{1}{\sqrt{1+{{b}^{2}}}}\le \sqrt{2\left( \frac{1}{1+{{a}^{2}}}+\frac{1}{1+{{b}^{2}}} \right)}.\)
Ta sử dụng bổ đề với a,b>0 và \(ab\le 1\) ta có bất đẳng thức:
\(\frac{1}{1+{{a}^{2}}}+\frac{1}{1+{{b}^{2}}}\le \frac{2}{1+ab}\Leftrightarrow \frac{{{\left( a-b \right)}^{2}}\left( ab-1 \right)}{\left( 1+ab \right)\left( 1+{{a}^{2}} \right)\left( 1+{{b}^{2}} \right)}\le 0 (đúng).\)
Vậy \(VT\le \frac{2}{\sqrt{1+ab}}=VP.\)
Đẳng thức xảy ra khi x=y. Thay vào (2) ta tìm được nghiệm của phương trình.
Nghiệm của hệ \(\left( x;y \right)=\left( \frac{9-\sqrt{73}}{36};\frac{9-\sqrt{73}}{36} \right),\left( \frac{9+\sqrt{73}}{36};\frac{9+\sqrt{73}}{36} \right).\)
b) Điều kiện: \(x\ge {{y}^{2}}\ge 0.\)
Phương trình (1) tương đương: \({{x}^{3}}+x\left( x-{{y}^{2}} \right)-2\sqrt{{{\left( x-{{y}^{2}} \right)}^{3}}}=0.\)
Đặt \(\sqrt{x-{{y}^{2}}}=u\) phương trình (1) thành:
\(\displaystyle {{x}^{3}}+x{{u}^{2}}-2{{u}^{3}}=0\Leftrightarrow x=u\Leftrightarrow {{y}^{2}}=x-{{x}^{2}}\)
Thay vào (2) ta được: \(96{{x}^{2}}-20x+2=\sqrt[3]{32{{x}^{2}}+4x}.\)
Ta có \(96{{x}^{2}}-20x+2=\sqrt[3]{32{{x}^{2}}+4x}=\sqrt[3]{1.1.\left( 32{{x}^{2}}+4x \right)}\le \frac{32{{x}^{2}}+4x+2}{3}\)
\(\Leftrightarrow 3\left( 96{{x}^{2}}-20x+2 \right)\le 32{{x}^{2}}+4x+2\Leftrightarrow {{\left( 16x-2 \right)}^{2}}\le 0\Leftrightarrow x=\frac{1}{8}\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{7}}{8}\)
Từ đó ta có các nghiệm của hệ là: Vậy hệ có nghiệm \(\left( x;y \right)=\left( \frac{1}{8};\pm \frac{\sqrt{7}}{8} \right).\)
III. Bài tập tự luyện giải phương trình bậc cao
Câu 1: Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2{{x}^{2}}-{{y}^{2}}+xy-5x+y+2=\sqrt{y-2x+1}-\sqrt{3-3x}\\{{x}^{2}}-y-1=\sqrt{4x+y+5}-\sqrt{x+2y-2}\end{array} \right.\)
Câu 2: Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\left| xy-2 \right|=4-{{y}^{2}}(1)\\{{x}^{2}}-xy+1=0(2)\end{array} \right.\)
Câu 3: Giải hệ phương trình \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}8x-y=6\\{{x}^{2}}-y=-6\end{array} \right.\)
Câu 4: Giải hệ phương trình: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{2x}-y=6\\\frac{1}{x}+2y=-4\end{array} \right.\)
Câu 5: Tìm \(\displaystyle x;y\) thỏa mãn :
Link Download chính thức:
Chủ đề liên quan
Có thể bạn quan tâm
-
Tập làm văn lớp 5: Tả cảnh buổi sáng trên cánh đồng
-
Tổng hợp dàn ý bài Câu cá mùa thu (9 Mẫu)
-
Soạn bài Tục ngữ về thiên nhiên, lao động và con người, xã hội (2) - Cánh diều 7
-
Cảm nhận về bài thơ Câu cá mùa thu của Nguyễn Khuyến
-
Mẫu vở tập tô chữ cho bé - Tập tô chữ cái cho bé chuẩn bị vào lớp 1
-
Phân tích bài thơ Câu cá mùa thu của Nguyễn Khuyến (3 Dàn ý + 19 mẫu)
-
Văn mẫu lớp 9: Nghị luận về vai trò của lao động đối với con người
-
Văn mẫu lớp 10: Dàn ý phân tích bài thơ Nắng mới (5 mẫu)
-
Văn mẫu lớp 10: Cảm nhận bài thơ Nắng mới (Dàn ý + 6 Mẫu)
-
Dẫn chứng Thất bại là mẹ thành công
Mới nhất trong tuần
-
Bộ đề thi học sinh giỏi lớp 9 môn Toán cấp Tỉnh, TP
100.000+ -
Tuyển tập 60 đề thi học kì 1 môn Toán lớp 9
50.000+ -
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn
100.000+ 1 -
Các dạng toán về căn bậc hai
100.000+ -
Sơ đồ tư duy môn Toán lớp 9
50.000+ 3 -
Cách chứng minh 3 đường thẳng đồng quy
100.000+ -
Bộ đề kiểm tra 1 tiết Chương I Hình học lớp 9
50.000+ -
Bộ đề kiểm tra 1 tiết Chương II Đại số lớp 9
50.000+ -
Công thức tính đường cao trong tam giác
10.000+ -
Bộ đề thi thử vào lớp 10 năm học 2019 - 2020 trường THPT Thăng Long, Hà Nội
50.000+