Tính giá trị và chứng minh các biểu thức tổ hợp Tài liệu ôn tập môn Toán lớp 11

Tải về Bình luận

Với mong muốn giúp các bạn có thêm tư liệu cho việc tự học, Eballsviet.com xin giới thiệu tài liệu Tính giá trị và chứng minh các biểu thức tổ hợp lớp 11.

Chứng minh đẳng thức và tính giá trị biểu thức trong giải tích tổ hợp là một vấn đề khá rộng, nó có mặt trong những bài thi THPT và cả trong các đề thi HSG Quốc gia. Trong chuyên đề này hầu hết là liên quan đến tổ hợp nên các bạn học sinh lớp 11, 12 cần nắm vững và sử dụng thuần thục 3 công thức liên quan đến tổ hợp. Sau đây là nội dung chi tiết tài liệu, mời các bạn cùng tham khảo và tải tài liệu tại đây.

Tính giá trị và chứng minh các biểu thức tổ hợp

CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC

TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC

Mai Ngọc Thắng – A1 (08-11) THPT NTMK, Tp.HCM

Chứng minh đẳng thức và tính giá trị biểu thức trong giải tích tổ hợp là một vấn đề khá rộng, nó

có mặt trong những bài thi ĐH và cả trong các đề thi HSGQG. Với mong muốn giúp các bạn có

thêm tư liệu cho việc tự học, đây là những kiến thức tôi có được trong quá trình luyện thi với

người thầy kính yêu Vũ Vĩnh Thái và thêm một ít tôi sưu tầm được, tôi xin tổng hợp lại thành

một chuyên đề nho nhỏ cũng nhằm thêm mục đích là lưu trữ. Mọi góp ý xin liên hệ qua email

[email protected] hoặc nick yahoo blackjack2512.

I. Vài công thức cần nhớ:

_ Chỉnh hợp:

( )!

n k





_ Tổ hợp:

!( )!

k n k





_ Tính chất của tổ hợp:

k n k

n n

C C





Hằng đẳng thức Pascal:

1 1

k k k

n n n

C C C

 



 

_ Nhị thức Newton:

( )

n k n k k

a b C a b





 



Trong chuyên đề này hầu hết là liên quan đến tổ hợp nên các bạn cần nắm vững và sử dụng

thuần thục 3 công thức liên quan đến tổ hợp như trên và trong từng mục tôi sẽ nhắc lại công thức

áp dụng trong các bài tập thuộc mục đó.

II. Các phương pháp và ví dụ minh họa:

Các bài tập tôi nêu ra đều minh họa khá rõ cho phương pháp và sẽ có một số bài tập để các bạn

có thể rèn luyện lại. Tôi sẽ cố gắng phân tích hướng giải ở một số bài toán với mong muốn giúp

các bạn hiểu sâu sắc hơn về lời giải của bài toán đó.

Cách 1: Biến đổi đồng nhất, thay các công thức tổ hợp, đôi khi dùng sai phân, thường xuất

phát từ vế phức tạp rồi dùng một số phép biến đổi để đưa biểu thức về giống vế đơn giản.

VD1: Chứng minh các đẳng thức sau:

C n

C n k





 

( , , )n k N n k 

( 1) ( 1)

k k

n n

k k C n n C



  

( , ,2 )n k N k n  

1 1

1 1 1 1

k k k

n n n

n C C C



 

 



 

 



 

( , *, )n k N n k 

(ĐH B 2008)

2 2

1n k n k

C C

  



là một số chính phương

( , , 2)n k N n k  

Giải: 1. Dễ dàng nhận thấy ta sẽ xuất phát từ vế trái và ta biến đổi

( 1)! !( )! 1

!( 1)! ! 1

C n k n k n

C k n k n n k



  

 

   

3. Tương tự câu 1, ta cũng sẽ xuất phát từ vế trái là vế phức tạp

1 1

1 1 1 1 !( 1)! ( 1)!( )!

2 2 ( 1)! ( 1)!

1 !( )!( 1 1) 1 !( )!( 2) !( )! 1

. .

2 ( 1)! 2 ( 1)! !

k k

n n

n n k n k k n k

n C C n n n

n k n k n k k n k n k n k n k

n n n n n C



 

 

     

  

 

   

 

         

   

   

2,4. Xem như bài tập tự luyện.

VD2: (ĐHAN 2001- CĐ 2003)

1. Chứng minh với mọi

2n 

và n nguyên thì ta có:

2 2 2 2

2 3 4

1 1 1 1 1

.....

A A A A n



    

2. Rút gọn biểu thức:

2 3

1 2 1

2 3

.....

n n n

C C nC

F C

C C C



    

Giải: Bài này minh họa cho ý tưởng sai phân, đó là biến đổi số hạng tổng quát theo hiệu 2 biểu

thức rồi thế giá trị và đơn giản từ từ.

1. Với

1,2,3,.....,n n

ta có:

1 ( 2)! 1 1 1

! ( 1) 1

A n n n n n



   

 

Vậy

2 2 2 2

2 3 4

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

..... 1 ... 1

2 2 3 1

A A A A n n n n



             



2. Cũng với ý tưởng sai phân nhưng ta biến đổi có hơi khác so với câu 1

C n

2 ! ( 1)!

2 . 1

2!( 2)! !

C n n



  



3 ! 2!( 2)!

3 . 2

3!( 3)! !

C n n



  



…………………………….

n k



  

…………………………….





Cộng n đẳng thức trên vế theo vế ta được:

2 3

1 2 1

2 3

..... ( 1) ( 2) ..... ( 1) ..... 2 1

n n n

C C nC

F C n n n n k

C C C



                

( 1)

1 2 3 .....

n n



     

(theo công thức tính tổng cấp số cộng)

VD3: Chứng minh:

1. (ĐHKTCN 1998)

1 2 3

3 3

k k k k k

n n n n n

C C C C C

  



   

( , ,3 )n k N k n  

2. (ĐHQGHCM 1997)

1 2 3 4

4 6 4

k k k k k k

n n n n n n

C C C C C C

   



    

( , ,4 )n k N k n  

Giải: Bài này minh họa cho HĐT Pascal:

1 1

k k k

n n n

C C C

 



 

. Công thức này đối với những bạn

chưa làm quen thì hơi khó nhớ, có câu “thần chú” sau của thầy mình giúp các bạn dễ nhớ hơn dù

nghe nó rất là bình thường: “cùng trệt lầu so le, nâng trệt lấy lầu cao”. Với ý tưởng đó ta sẽ nhóm

các số hạng nhằm sử dụng HĐT Pascal:

     

1 2 3 1 1 2 2 3

3 3 2

k k k k k k k k k k

n n n n n n n n n n

C C C C C C C C C C

       

        

   

1 2 1 1 2 1

1 1 1 1 1 1 1 2 2 3

k k k k k k k k k k

n n n n n n n n n n

C C C C C C C C C C

     

         

         

2. Hoàn toàn tương tự câu 1.

VD4: 1. (TTĐTBDCBYTHCM 1998)

Cho 2 số nguyên n, m thỏa

0 m n 

. Chứng minh:

1 1 1 1

1 2 1

.....

m m m m m

n n n m m

C C C C C

   

  

    

2. Cho

, *,n k N n k 

. Rút gọn:

1 2 1

.....

k k k k k

k k k n n

S C C C C C

  

     

Giải: Ở VD trên là dùng HĐT Pascal theo chiều thuận là gom 2 thành 1, còn ở VD này ta sẽ

dùng theo chiều ngược tức là tách 1 thành 2.

1. Ta có:

1 1

1 2 2

1 1 1 1

1 2 1

.......... .....

m m m

n n n

m m m

n n n

m m m m m

n n n m m

m m m

m m

C C C

C C C C C

C C C

C C



 



  

   

  









 



 



     





 



 



2. Hoàn toàn tương tự

Cách 2: Khai triển lũy thừa nhị thức rồi thay biến bằng giá trị thích hợp.

VD1: Chứng minh:

0 1 2 3

..... ( 1) 0

n n

n n n n n

C C C C C      

0 0 1 1 2 2

9 9 9 ..... 9 10

n n n

n n n n

C C C C    

Giải: 1. Ta thấy vế trái của đẳng thức chứa

và

đồng thời mỗi hệ số của tổ hợp là 1 nên ta

sẽ chọn khai triển

(1 )

x

và thấy các số hạng đổi dấu nên sẽ chọn

1x  

Ta có:

0 1 2 2

(1 ) .....

n n n

n n n n

x C C x C x C x     

(1)

Trong (1) thay

1x  

ta được

0 1 2 3

..... ( 1) 0

n n

n n n n n

C C C C C      

Chia sẻ bởi:

Trịnh Thị Thanh

Tải về

Liên kết tải về

Tính giá trị và chứng minh các biểu thức tổ hợp 220,4 KB Tải về

Tìm thêm: Toán 11

Có thể bạn quan tâm

Xem thêm

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!