Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác Ôn tập Toán 11

Giới thiệu Tải về Bình luận

Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác là tài liệu vô cùng hữu ích mà hôm nay Eballsviet.com muốn giới thiệu đến quý thầy cô cùng các bạn học sinh lớp 11 tham khảo.

Tính chẵn lẻ và chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác là một trong những kiến thức quan trọng nằm trong chủ đề hàm số lượng giác. Tài liệu bao gồm cách xác định chu kì của hàm số lượng giác, ví dụ minh họa kèm theo một số bài tập trắc nghiệm có đáp án kèm theo. Qua đó giúp các bạn cách xác định hàm số tuần hoàn, cách tính chu kì cơ sở và cách xác định hàm số chẵn, hàm số lẻ.

Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác

1. Cách xác định chu kì của hàm số lượng giác

Định nghĩa: Hàm số _{$y=f\left( x \right)$} có tập xác định được gọi là hàm số tuần hoàn, nếu tồn tại một số _{$T\ne 0$} sao cho với mọi _{$x\in D$} ta có:

_{$\left\{ \begin{matrix} x-T\in D \\ x+T\in D \\ \end{matrix} \right.$}
_{$f\left( x+T \right)=f\left( x \right)$}

Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó. Người ta chứng minh được:

_{$y=\sin x$} tuần hoàn với chu kì _$T=2\pi$
_{$y=\cos x$} tuần hoàn với chu kì _$T=2\pi$
_{$y=\tan x$} tuần hoàn với chu kì _$T=\pi$
_{$y=\cot x$} tuần hoàn với chu kì _$T=\pi$

Chú ý:

Hàm số _{$y=\sin \left( ax+b \right)$} tuần hoàn với chu kì _{$T=\frac{2\pi }{\left| a \right|}$}

Hàm số _{$y=\cos \left( ax+b \right)$} tuần hoàn với chu kì _{$T=\frac{2\pi }{\left| a \right|}$}

Hàm số _{$y=\tan \left( ax+b \right)$} tuần hoàn với chu kì _{$T=\frac{\pi }{\left| a \right|}$}

Hàm số _{$y=\cot \left( ax+b \right)$} tuần hoàn với chu kì $T=\frac{\pi }{\left| a \right|}$ $T=\frac{\pi }{\left| a \right|}$

Đặc biệt:

i. Hàm số _{$y=a\sin mx+b\cos nx+c,\left( m,n\in \mathbb{Z} \right)$} là hàm số tuần hoàn với chu kì _{$T=\frac{2\pi }{\left( m,n \right)}$} với (m,n) là ước chung lớn nhất

ii. Hàm số _{$y=a\tan mx+b\cot nx+c,\left( m,n\in \mathbb{Z} \right)$} là hàm số tuần hoàn với chu kì _{$T=\frac{\pi }{\left( m,n \right)}$} với (m,n) là ước chung lớn nhất

2. Ví dụ minh họa tính tuần hoàn của hàm số lượng giác

Ví dụ 1: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của hàm số _{$y={{\sin }^{2}}x$}

Hướng dẫn giải

Giả sử hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn

$\exists T>0:f\left( x+T \right)=f\left( x \right)\Leftrightarrow \sin {{\left( x+T \right)}^{2}}=\sin {{x}^{2}},\forall x\in \mathbb{R}$ $\exists T>0:f\left( x+T \right)=f\left( x \right)\Leftrightarrow \sin {{\left( x+T \right)}^{2}}=\sin {{x}^{2}},\forall x\in \mathbb{R}$

$x=0\Leftrightarrow \sin {{T}^{2}}=0\Leftrightarrow {{T}^{2}}=k\pi \Leftrightarrow T=\sqrt{k\pi }$ $x=0\Leftrightarrow \sin {{T}^{2}}=0\Leftrightarrow {{T}^{2}}=k\pi \Leftrightarrow T=\sqrt{k\pi }$

$\Leftrightarrow f\left( x+\sqrt{k\pi } \right)=f\left( x \right),\forall x\in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow f\left( x+\sqrt{k\pi } \right)=f\left( x \right),\forall x\in \mathbb{R}$

Cho _{$x=\sqrt{2k\pi }$} . Ta có: _{$f\left( \sqrt{2k\pi } \right)=\sin {{\left( \sqrt{2k\pi } \right)}^{2}}=0$}

$f\left( x+\sqrt{k\pi } \right)=\sin {{\left( x+\sqrt{k\pi } \right)}^{2}}=\sin \left( 3k\pi +2k\pi \sqrt{2} \right)=\pm \sin \left( 2k\pi \sqrt{2} \right)$ $f\left( x+\sqrt{k\pi } \right)=\sin {{\left( x+\sqrt{k\pi } \right)}^{2}}=\sin \left( 3k\pi +2k\pi \sqrt{2} \right)=\pm \sin \left( 2k\pi \sqrt{2} \right)$

$\Rightarrow f\left( x+\sqrt{k\pi } \right)\ne 0$ $\Rightarrow f\left( x+\sqrt{k\pi } \right)\ne 0$

Vậy hàm số đã không phải là hàm số tuần hoàn

Ví dụ 2: Xét tính tuần hoàn và chu kì cơ sở của các hàm số sau:

$a. y=\sin \left( 2x+1 \right)$ $a. y=\sin \left( 2x+1 \right)$
$b. y=\cos \left( \frac{1}{2}-3x \right)$ $b. y=\cos \left( \frac{1}{2}-3x \right)$

Hướng dẫn giải

a.Hàm số _{$y=\sin \left( 2x+1 \right)$} tuần hoàn với chu kì _{$T=\frac{2\pi }{2}=\pi$}

b.Hàm số _{$y=\cos \left( \frac{1}{2}-3x \right)$} tuần hoàn với chu kì _{$T=\frac{2\pi }{\left| -3 \right|}=\frac{2\pi }{3}$}

Ví dụ 3: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của hàm số:

$a. y=1+{{\sin }^{2}}2x$ $a. y=1+{{\sin }^{2}}2x$

$b. y=\frac{1}{\sin 2x}$ $b. y=\frac{1}{\sin 2x}$

Hướng dẫn giải

a.Ta có:

$y=1+\sin ^{2}(2 x)=1+\frac{1-\cos 4 x}{2}=\frac{3}{2}-\frac{\cos 4 x}{2}$ $y=1+\sin ^{2}(2 x)=1+\frac{1-\cos 4 x}{2}=\frac{3}{2}-\frac{\cos 4 x}{2}$

Giả sử hàm số trên tuần hoàn với chu kì T _{$\Rightarrow f(x+T)=f(x)$}

$\Leftrightarrow \frac{3}{2}-\frac{\cos 4x}{2}=\frac{3}{2}-\frac{\cos 4(x+T)}{2}$ $\Leftrightarrow \frac{3}{2}-\frac{\cos 4x}{2}=\frac{3}{2}-\frac{\cos 4(x+T)}{2}$

_{$\Leftrightarrow \cos 4x=\cos 4(x+T)$} chọn _$x=0$

$\Rightarrow \cos 4\text{T}=1\Leftrightarrow \text{T}=\frac{\text{k}\pi }{2}$ $\Rightarrow \cos 4\text{T}=1\Leftrightarrow \text{T}=\frac{\text{k}\pi }{2}$

Chọn $\mathrm{k}=1 \rightarrow \mathrm{T}=\frac{\pi}{2}$ $\mathrm{k}=1 \rightarrow \mathrm{T}=\frac{\pi}{2}$ vậy chu kì là $\mathrm{T}=\frac{\pi}{2}$ $\mathrm{T}=\frac{\pi}{2}$

b.Giả sử hàm số trên tuần hoàn với chu kì T _{$\Rightarrow f(x+T)=f(x)$}

$\Leftrightarrow \frac{1}{\sin 2\left( x+T \right)}=\frac{1}{\sin 2x}\Leftrightarrow \sin 2\left( x+T \right)=\sin 2x$ $\Leftrightarrow \frac{1}{\sin 2\left( x+T \right)}=\frac{1}{\sin 2x}\Leftrightarrow \sin 2\left( x+T \right)=\sin 2x$

Chọn _{$x=0\Rightarrow \sin T=0\Rightarrow T=k\pi$}

Chọn _{$k=1\Rightarrow T=\pi$}

Vậy hàm số tuần hoàn với chu kì _$T=\pi$