Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác Các dạng bài tập Toán 11
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác là một trong những nội dung quan trọng trong chương trình lớp 11 mà học sinh cần phải ghi nhớ.
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác bao gồm cách tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lượng giác, ví dụ minh họa và một số dạng bài tập có đáp án kèm theo. Qua đó giúp các bạn học sinh có thêm nhiều tư liệu tham khảo, nhanh chóng ghi nhớ được kiến thức để biết cách giải các bài tập Toán 11. Vậy sau đây là nội dung chi tiết tài liệu, mời các bạn theo dõi tại đây.
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác
1. Cách tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lượng giác
Để tìm được giá trị lớn nhất;giá trị nhỏ nhất của hàm số ta cần chú ý:
+ Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ cosx ≤ 1; -1 ≤ sinx ≤ 1
+Với mọi x ta có: 0 ≤ |cosx| ≤ 1 ;0 ≤ |sinx| ≤ 1
+ Bất đẳng thức bunhia –copski: Cho hai bộ số (a1; a2) và (b1;b2) khi đó ta có:
(a1.b1+ a2.b2 )2 ≤ ( a12+ a22 ).( b12+ b22 )
Dấu “=” xảy ra khi: a1/a2 = b1/b2
+ Giả sử hàm số y= f(x) có giá trị lớn nhất là M và giá trị nhỏ nhất là m. Khi đó; tập giá trị của hàm số là [m; M].
+ Phương trình : a. sinx+ b. cosx= c có nghiệm khi và chỉ khi a2 + b2 ≥ c2
2. Ví dụ giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác
Ví dụ 1: Hàm số y= 1+ 2cos2x đạt giá trị nhỏ nhất tại x= x0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.x0=π+k2π, kϵZ .
B.x0=π/2+kπ, kϵZ .
C.x0=k2π, kϵZ .
D.x0=kπ ,kϵZ .
Trả lời.
Chọn B.
Ta có - 1 ≤ cosx ≤ 1 ⇒ - 0 ≤ cos2x ≤ 1 ⇒ 1 ≤ 1+2cos2x ≤ 3
Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 1 .
Dấu ‘=’ xảy ra khi cosx=0 ⇒ x=π/2+kπ, kϵZ .
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= sin2x+ 2cos2x.
A.M= 3 ;m= 0
B. M=2 ; m=0.
C. M=2 ; m= 1.
D.M= 3 ; m= 1.
Trả lời.
Chọn C.
Ta có: y = sin2 x+ 2cos2x = (sin2x+ cos2x) + cos2x = 1+ cos2 x.
Do: -1 ≤ cosx ≤ 1 nên 0 ≤ cos2 x ≤ 1 ⇒ 1 ≤ cos2 x+1 ≤ 2
Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số là M= 2 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là m= 1
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= 4sinx - 3
A.M= 1; m= - 7
B. M= 7; m= - 1
C. M= 3; m= - 4
D. M=4; m= -3
Lời giải
Chọn A
Ta có : - 1 ≤ sinx ≤ 1 nên - 4 ≤ 4sinx ≤ 4
Suy ra : - 7 ≤ 4sinx-3 ≤ 1
Do đó : M= 1 và m= - 7
Ví dụ 4: Tìm tập giá trị T của hàm số y= -2cos2x + 10 .
A. [5; 9]
B.[6;10]
C. [ 8;12]
D. [10; 14]
Trả lời
Chọn C
Với mọi x ta có : - 1 ≤ cos2x ≤ 1 nên-2 ≤ -2cos2x ≤ 2
⇒ 8 ≤ -2cos2x+10 ≤ 12
Do đó tập giá trị của hàm số đã cho là : T= [ 8 ;12]
3. Bài tập giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác
Câu 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: \(y=4\sin x\cos x+1\)
Hướng dẫn giải
Ta có: \(y=4\sin x\cos x+1=2\sin 2x+1\)
Do \(-1\le \sin 2x\le 1\Rightarrow -2\le 2\sin 2x\le 2\Rightarrow -2+1\le 2\sin 2x+1\le 2+1\)
\(\Rightarrow -1\le 2\sin 2x+1\le 3\) hay \(-1\le y\le 3\)
- \(y=3\) khi và chỉ khi \(\sin 2x=1\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi (k\in \mathbb{Z})\)
- \(y=-1\) khi và chỉ khi \(\sin 2x=-1\Rightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\pi (k\in \mathbb{Z})\)
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 2, giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1
Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(y=4-3{{\sin }^{2}}x\)
Hướng dẫn giải
Ta có: \(0\le {{\sin }^{2}}x\le 1\Rightarrow 0\ge -3{{\sin }^{2}}x\ge -3\Rightarrow 4-0\ge y\ge 4-3\Rightarrow 4\ge y\ge 1\)
- \(y=4\) khi và chỉ khi \({{\sin }^{2}}x=1\Rightarrow {{\cos }^{2}}x=0\Rightarrow \cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z})\)
- \(y=1\) khi và chỉ khi \({{\sin }^{2}}x=0\Rightarrow \sin x=0\Rightarrow x=k\pi (k\in \mathbb{Z})\)
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là 4, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 1
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(y=6{{\cos }^{2}}x+2{{\cos }^{2}}2x\)
Hướng dẫn giải
Ta có: \(y=6{{\cos }^{2}}x+{{\cos }^{2}}2x=6{{\cos }^{2}}x+{{(2{{\cos }^{2}}x-1)}^{2}}=4{{\cos }^{4}}x+2{{\cos }^{2}}x+1\)
Đặt \(t={{\cos }^{2}}x, t\in \left[ 0,1 \right]\)ta có hàm số \(y=4{{t}^{2}}+2t+1\)
Giá trị lớn nhất của hàm số là 7 khi \(\cos x=1\Rightarrow x=k2\pi (k\in \mathbb{Z})\)
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1 khi \(\cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+k2\pi (k\in \mathbb{Z})\)
Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
\(a. y=3\sin x+4\cos x+5\)
\(b. y=\sqrt{2\sin x+3}\)
Hướng dẫn giải
a. Xét phương trình \(y=3\sin x+4\cos x+5\Leftrightarrow 3\sin x+4\cos x+5-y=0\)
\(\Rightarrow\) Phương trình có nghiệm
\(\Leftrightarrow {{3}^{2}}+{{4}^{2}}\ge {{(5-y)}^{2}}\Leftrightarrow {{y}^{2}}-10y\le 0\Leftrightarrow 0\le y\le 10\)
Vậy hàm số có giá trị lớn nhất là 10, giá trị nhỏ nhất là 0
b. Ta có: \(-1\le \sin x\le 1\Rightarrow -2\le 2\sin x\le 2\Rightarrow -2+3\le 2\sin x+3\le 2+3\)
\(\Rightarrow 1\le 2\sin x+3\le 5\)
\(\Rightarrow 1\le y\le 5\)
- \(y=5\) khi và chỉ khi \(\sin x=1\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+k2\pi (k\in \mathbb{Z})\)
- \(y=1\) khi và chỉ khi \(\sin x=0\Rightarrow x=k2\pi (k\in \mathbb{Z})\)
Vây giá trị lớn nhất của hàm số là 5
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1
Link Download chính thức:
Chủ đề liên quan
Có thể bạn quan tâm
-
Tổng hợp dàn ý bài Câu cá mùa thu (9 Mẫu)
-
Soạn bài Tục ngữ về thiên nhiên, lao động và con người, xã hội (2) - Cánh diều 7
-
Cảm nhận về bài thơ Câu cá mùa thu của Nguyễn Khuyến
-
Mẫu vở tập tô chữ cho bé - Tập tô chữ cái cho bé chuẩn bị vào lớp 1
-
Phân tích bài thơ Câu cá mùa thu của Nguyễn Khuyến (3 Dàn ý + 19 mẫu)
-
Văn mẫu lớp 9: Nghị luận về vai trò của lao động đối với con người
-
Văn mẫu lớp 10: Dàn ý phân tích bài thơ Nắng mới (5 mẫu)
-
Văn mẫu lớp 10: Cảm nhận bài thơ Nắng mới (Dàn ý + 6 Mẫu)
-
Dẫn chứng Thất bại là mẹ thành công
-
Dẫn chứng về vẻ đẹp tâm hồn - Tấm gương về vẻ đẹp tâm hồn tiêu biểu
Mới nhất trong tuần
-
Hướng dẫn sử dụng máy tính cầm tay giải nhanh trắc nghiệm lượng giác
50.000+ -
Hướng dẫn tìm công thức truy hồi của dãy số
50.000+ -
Góc giữa hai mặt phẳng: Định nghĩa, cách xác định và Bài tập (có đáp án)
100.000+ -
Bộ đề thi khảo sát chất lượng đầu năm môn Toán lớp 11 năm 2023 - 2024
10.000+ -
Phương trình tiếp tuyến
1.000+ -
Toán 11 Bài 17: Hàm số liên tục
100+ -
Phiếu bài tập cuối tuần Toán 11
100+ -
Bài tập đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song
10.000+ -
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác
1.000+ -
Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác
1.000+