Giải Toán 9 Bài 3: Hình cầu. Diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu Giải SGK Toán 9 Hình học Tập 2 (trang 124, 125, 126)

Giải bài tập SGK Toán 9 Tập 2 trang 124, 125, 126 giúp các em học sinh lớp 9 xem gợi ý giải các bài tập của Bài 3: Hình cầu. Diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu. Thông qua đó, các em sẽ biết cách giải toàn bộ các bài tập của bài 3 Chương 4 phần Hình học trong sách giáo khoa Toán 9 Tập 2.

Giải bài tập toán 9 trang 124, 125, 126 tập 2

Bài 30 (trang 124 SGK Toán 9 Tập 2)

Nếu thể tích của một hình cầu là \(113\frac{1}{7}\)cm³ thì trong các kết quả sau đây, kết quả nào là bán kính của nó (lấy \(\displaystyle \pi = {{22} \over 7}\))?

(A) 2 cm

(B) 3 cm

(C) 5 cm

(D) 6 cm ;

(E) Một kết quả khác.

Thể tích hình cầu bán kính R là: \(V=\dfrac{4 }{3}\pi R^3.\)

Gợi ý đáp án

Từ công thức:

\(\displaystyle V = {4 \over 3}\pi {R^3} \Rightarrow R^3 = {{3V} \over {4\pi }} \\\)

\(\Leftrightarrow R^3= \dfrac{3.113 \dfrac{1}{7}}{4.\dfrac{22}{7}}\Leftrightarrow R^3 = 27.\)

Suy ra: R = 3

Vậy chọn B.

Bài 31 (trang 124 SGK Toán 9 Tập 2)

Hãy điền vào các ô trống ở bảng sau:

Gợi ý đáp án

Cách tính

Dòng thứ nhất : S = 4πR² . Thay số vào ta được

R = 0,3 mm ⇒ S = 4.3,14. 0,3² = 1,13 (mm²)

R = 6,21 dm ⇒ S = 4.3,14. 6,21² = 484,37 (dm²)

R = 0,283 m ⇒ S = 4.3,14. 0,283² = 1,01 (m²)

R = 100 km ⇒ S = 4.3,14. 100² = 125600 (km²)

R = 6 hm ⇒ S = 4.3,14. 6² = 452,16 (hm²)

R = 50 dam ⇒ S = 4.3,14. 50 ²= 31400 (dam²)

Dòng thứ hai : V = 4/3 πR³ thay số vào ta được :

R = 0,3 mm ⇒ V = 4/3.3,14.0,3³ = 0,113 (mm³)

R = 6,21 dm ⇒ V = 4/3.3,14. 6,21³ = 1002,64 (dm³)

R = 0,283 m ⇒ V = 4/3.3,14. 0,283 ³= 0,095 (m³)

R = 100 km ⇒ V = 4/3.3,14. 100³ = 4186666,67 (km³)

R = 6 hm ⇒ V = 4/3.3,14. 6³ = 904,32 (hm³)

R = 50 dam ⇒ V = 4/3.3,14. 50³ = 523333,34 (dam³)

Ta được bảng sau:

Bài 32 (trang 125 SGK Toán 9 Tập 2)

Một khối gỗ dạng hình trụ, bán kính đường tròn đáy là r, chiều cao 2r (đơn vị :cm). Người ta khoét rỗng hai nửa hình cầu như hình 108. Hãy tính diện tích bề mặt của khối gỗ còn lại (diện tích cả ngoài lẫn trong).

Gợi ý đáp án

Diện tích phần cần tính gồm diện tích xung quanh của một hình trụ bán kính đường tròn đáy r (cm), chiều cao là 2r (cm) và một mặt cầu bán kính r (cm).

Diện tích xung quanh của hình trụ:

S_xq = 2πrh = 2πr.2r = 4πr²

Diện tích mặt cầu:

S = 4πr²

Diện tích cần tính là:

4πr² + 4πr² = 8πr²

Bài 33 (trang 125 SGK Toán 9 Tập 2)

Dụng cụ thể thao.

Các loại bóng cho trong bảng đều có dạng hình cầu. Hãy điền vào các ô trống ở bảng sau(làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai):

Gợi ý đáp án

Lấy \(\pi \approx 3,14\)

+ Quả bóng gôn: Khi d = 42,7mm = 4,27cm, suy ra \(R \approx 2,14cm\)

- Độ dài đường tròn lớn \(C = \pi d \approx 13,41\left( {cm} \right).\)

- Diện tích \(S = \pi {d^2} = \pi .4,{27^2} \approx 57,25\left( {c{m^2}} \right)\)

- Thể tích \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{4}{3}.3,14.{\left( {2,14} \right)^3} \approx 41,03c{m^3}\)

+ Quả khúc côn cầu: Khi C = 23cm \(\Rightarrow d = \dfrac{C}{\pi } \approx 7,32\left( {cm} \right)\) và \(R \approx 3,66\left( {cm} \right).\)

- Diện tích \(S = \pi {d^2} = 7,{32^2}.3,14 \approx 168,25\left( {c{m^2}} \right)\)

- Thể tích \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{4}{3} \cdot 3,14 \cdot 3,{66^3} \approx 205,26\left( {c{m^3}} \right).\)

+ Quả ten-nít: Khi \(d = 6,5cm \Rightarrow R = 3,25cm.\)

- Độ dài đường tròn lớn \(C = \pi d \approx 20,41\left( {cm} \right).\)

- Diện tích \(S = \pi {d^2} \approx \pi .6,{5^2} \approx 132,67\left( {c{m^2}} \right).\)

- Thể tích \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} \approx \dfrac{4}{3} \cdot 3,14 \cdot 3,{25^3} \approx 143,72\left( {c{m^3}} \right).\)

+ Quả bóng bàn: Khi d = 40mm = 4cm ⇒ R = 2cm.

- Độ dài đường tròn lớn \(C = \pi d \approx 12,56\left( {cm} \right).\)

- Diện tích \(S = \pi {d^2} \approx 3,{14.4^2} \approx 50,24\left( {c{m^2}} \right).\)

- Thể tích \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} \approx \dfrac{4}{3} \cdot 3,14 \cdot {2^3} \approx 33,49\left( {c{m^3}} \right).\)

+ Quả bi-a: Khi d = 61mm = 6,1cm, suy ra \(R = 3,05\left( {cm} \right).\)

- Độ dài đường tròn lớn \(C = \pi d \approx 19,15\left( {cm} \right).\)

- Diện tích \(S = \pi {d^2} \approx 3,14.6,{1^2} \approx 116,84\left( {c{m^2}} \right).\)

- Thể tích \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} \approx \dfrac{4}{3} \cdot 3,14 \cdot 3,{05^3} \approx 118,79\left( {c{m^3}} \right).\)

Điền kết quả vào bảng trên ta có :

Bài 34 (trang 125 SGK Toán 9 Tập 2)

Khinh khí cầu của nhà Mông-gôn-fi-ê (Montgolfier)

Ngày 4-6-1783, anh em nhà Mông-gôn-fi-ê (người Pháp) phát minh ra khinh khí cầu dùng không khí nóng. Coi khinh khí cầu này là hình cầu có đường kính 11m. Hãy tính diện tích mặt khinh khí cầu đó (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Gợi ý đáp án

Diện tích mặt khinh khí cầu là:

S= πd²=3,14.11²=379,94 ( m²)

Giải bài tập toán 9 trang 126 tập 2

Bài 35 (trang 126 SGK Toán 9 Tập 2)

Một cái bồn chứa xăng gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ (h.110).

Hãy tính thể tích của bồn chứa theo các kích thước cho trên hình vẽ.

Gợi ý đáp án

Thể tích cần tính gồm một hình trụ và hai nửa hình cầu.

- Hình cầu có đường kính d = 1,8m ⇒ bán kính R = 0,9m

- Hình trụ có bán kính đáy bằng bán kính hình cầu R = 0,9m; chiều cao h = 3,62m.

Thể tích hình trụ: V₁ = π.R².h ≈ 9,21 (m³).

Thể tích hai nửa hình cầu:. V₂  = 4/3 π.R³≈ 3.05 (m³)

Thể tích bồn chứa xăng: V = V₁ + V₂ ≈ 12,26(m³).

Bài 36 (trang 126 SGK Toán 9 Tập 2)

Một chi tiết máy gồm một hình trụ và hai nửa hình cầu với các kích thước đã cho trên hình 111 (đơn vị: cm).

a) Tìm một hệ thức giữa x và h khi AA' có độ dài không đổi và bằng 2a.

b) Với điều kiện ở a), hãy tính diện tích bề mặt và thể tích của chi tiết máy theo x và a.

Gợi ý đáp án

a) Ta có: AA’ = AO + OO’ + O’A’

hay 2a = x + h + x

hay 2x + h = 2a.

b) Diện tích cần tính gồm diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy là x, chiều cao là h và diện tích mặt cầu có bán kính là x.

- Diện tích xung quanh của hình trụ: \({S_{trụ}} = {\rm{ }}2\pi xh\)

- Diện tích mặt cầu:\({S_{cầu}} = {\rm{ }}4\pi {x^2}\)

Nên diện tích bề mặt của chi tiết máy là:

\(S{\rm{ }} = {\rm{ }}{S_{trụ}} + {S_{cầu}}= 2\pi xh{\rm{ }} + 4\pi {x^{2}}\)

\(= 2\pi x\left( {h + 2x} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}4\pi ax.\)

Thể tích cần tìm gồm thể tích hình trụ và thể tích hình cầu. Ta có:

\({V_{trụ}}{\rm{ }} = \pi {x^2}h\)

\(\displaystyle {V_{cầu}} = {4 \over 3}\pi {x^3}\)

Nên thể tích của chi tiết máy là:

\(\displaystyle V = {V_{trụ}} + {V_{cầu}} = \pi {x^2}h + {4 \over 3}\pi {x^3}\)

mà h+2x=2a (câu a) nên h=2a-2x=2(a-x)

\(\Rightarrow V \displaystyle = 2\pi {x^2}(a - x) + {4 \over 3}\pi {x^3} = 2\pi {x^2}\left( {a - {1 \over 3}x} \right).\)

Bài 37 (trang 126 SGK Toán 9 Tập 2)

Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, Ax và By là hai tiếp tuyến với nửa đường tròn tại A và B. Lấy trên tia Ax điểm M rồi vẽ tiếp tuyến MP cắt By tại N.

a) Chứng minh rằng MON và APB là hai tam giác vuông đồng dạng.

b) Chứng minh rằng AM.BN = R^2

c) Tính tỉ số \(\dfrac{S_{MON}}{S_{APB}}khi AM = \dfrac{R}{2}.\)

d) Tính thể tích của hình do nửa hình tròn APB quay quanh AB sinh ra.

a) Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và tính chất tứ giác nội tiếp

b) Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và hệ thức lượng trong tam giác vuông

c) Sử dụng: “ Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng”

d) Thể tích hình cầu bán kính R là \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}.\)

Gợi ý đáp án

a) + Xét nửa đường tròn \(\left( O \right)\) có MA,MP là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M nên OM là phân giác \(\widehat {AOP} \Rightarrow \widehat {{O_2}} = \widehat {{O_1}} (1)\)

Tương tự ta có NB,NP là hai tiếp tuyến cắt nhau tại N nên ON là phân giác \(\widehat {BOP} \Rightarrow \widehat {{O_3}} = \widehat {{O_4}} (2)\) và

\(\widehat {NPO} = \widehat {NBO} = 90^\circ\)

Mà \(\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} + \widehat {{O_4}} = 180^\circ\) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có \(\widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} = \widehat {{O_1}} + \widehat {{O_4}}\\ = \dfrac{{\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} + \widehat {{O_4}}}}{2} = \dfrac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ\)

Hay \(\widehat {MON} = 90^\circ\)

+ Lại có \(\widehat {APB} = 90^\circ\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

+ Xét tứ giác OPNB có \(\widehat {NPO} = \widehat {NBO} = 90^\circ\)c nên \(\widehat {NPO} + \widehat {NBO} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\)mà hai góc ở vị trí đối nhau nên tứ giác OPNB là tứ giác nội tiếp, suy ra \(\widehat {PBO} = \widehat {PNO}\)(cùng nhìn cạnh PO)

Xét \(\Delta MON\) và \(\Delta APB\) có \(\widehat {MON} = \widehat {APB}\left( { = 90^\circ } \right)\) và \(\widehat {PBA} = \widehat {MNO}\,\left( {cmt} \right)\) nên \(\Delta APB \backsim \Delta MON\left( {g - g} \right)\) (đpcm)

b) + Xét nửa đường tròn \(\left( O \right)\) có MA,MP là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M và NB,NP là hai tiếp tuyến cắt nhau tại N nên MA = MP;NP = NB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

+ Xét tam giác MON vuông tại O có \(OP \bot MN\) (do MN là tiếp tuyến của \(\left( O \right))\) nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có \(O{P^2} = MP.PN\)

Mà MA = MP;NP = NB (cmt) và OP = R nên \(O{P^2} = MP.PN \Leftrightarrow {R^2} = AM.BN\) (đpcm)

c) Vì \(AM = \dfrac{R}{2}\) mà \(AM.BN = {R^2}\) (câu b) nên \(BN = \dfrac{{{R^2}}}{{AM}} = \dfrac{{{R^2}}}{{\dfrac{R}{2}}} = 2R\)

Suy ra \(MP = MA = \dfrac{R}{2};NP = NB = 2R\)

\(MN = MP + NP = \dfrac{R}{2} + 2R = \dfrac{5}{2}R.\)

Vì \(\Delta MON \sim \Delta APB\) (câu a) nên tỉ số đồng dạng là \(k = \dfrac{{MN}}{{AB}} = \dfrac{{\dfrac{5}{2}R}}{{2R}} = \dfrac{5}{4}\)

Suy ra tỉ số diện tích \(\dfrac{{{S_{MON}}}}{{{S_{APB}}}}\, = {k^2} = {\left( {\dfrac{5}{4}} \right)^2} = \dfrac{{25}}{{16}}\) (tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng)

d) Nửa hình tròn APB quay sinh ra hình cầu bán kính R nên thể tích hình cầu là \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}.\)