Đường trung trực: Định nghĩa, tính chất và bài tập Ôn tập toán lớp 7

Giới thiệu Tải về Bình luận

Đường trung trực là một trong những kiến thức trọng tâm các em sẽ được học trong chương trình Toán 7 sách mới. Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng ấy tại trung điểm của nó.

Trong bài học hôm nay Eballsviet.com sẽ giới thiệu đến các bạn chi tiết kiến thức về đường trung trực như: khái niệm, tính chất kèm theo các dạng bài tập có đáp án và lời giải chi tiết. Đây là tài liệu hỗ trợ học sinh lớp 7 trong quá trình học tập, ôn luyện tại nhà được tốt hơn. Bên cạnh đó các em tham khảo thêm: cách vẽ hình chiếu, cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng, bài tập về lũy thừa số hữu tỉ, bài tập Nhân chia số hữu tỉ.

Tổng hợp kiến thức về đường trung trực

I. Đường trung trực là gì?

Đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng gọi là đường trung trực của đoạn thẳng ấy.

Định lý 1: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.

GT: d là trung trực của AB, M ∈ d

=> KL: MA = MB

Định lí 2:

Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó

Nhận xét: Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

II. Tính chất đường trung trực

2.1. Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng

Trên hình vẽ trên, dd là đường trung trực của đoạn thẳng AB.AB. Ta cũng nói: AA đối xứng với BB qua d.d.

Nhận xét:

Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

2.2. Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Trên hình, điểm OO là giao điểm các đường trung trực của ΔABC.ΔABC.

Ta có OA=OB=OC.OA=OB=OC. Điểm OO là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC.ΔABC.

III. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Chứng minh đường trung trực của một đoạn thẳng

- Phương pháp:

Để chúng minh dd là đường trung trực của đoạn thẳng ABAB, ta chứng minh dd chứa hai điểm cách đều AA và BB hoặc dùng định nghĩa đường trung trực.

Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

- Phương pháp:

Ta sử dụng định lý: “Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.”

Dạng 3: Bài toán về giá trị nhỏ nhất

Phương pháp:

- Sử dụng tính chất đường trung trực để thay độ dài một đoạn thẳng thành độ dài một đoạn thẳng khác bằng nó.

- Sử dụng bất đẳng thức tam giác để tìm giá trị nhỏ nhất.

Dạng 4: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Phương pháp:

Sử dụng tính chất giao điểm các đường trung trực của tam giác

Định lý: Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Dạng 5: Bài toán liên quan đến đường trung trực đối với tam giác cân

Phương pháp:

Chú ý rằng trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến , đường phân giác ứng với cạnh đáy này.

Dạng 6: Bài toán liên quan đến đường trung trực đối với tam giác vuông

Phương pháp:

Ta chú ý rằng: Trong tam giác vuông, giao điểm các đường trung trực là trung điểm cạnh huyền

IV. Cách xác định đường trung trực của một đoạn thẳng

Để xác định đường trung trực của một đoạn thẳng, ta thực hiện các bước sau đây:

1. Vẽ đoạn thẳng AB trên mặt phẳng.

2. Tìm trung điểm của đoạn thẳng AB bằng cách chia đoạn AB thành hai phần bằng nhau. Ký hiệu trung điểm là M.

3. Vẽ một đường thẳng nằm qua trung điểm M và vuông góc với đoạn thẳng AB. Đường này chính là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

4. Đường trung trực này cắt đoạn thẳng AB tại trung điểm M và có hướng đi qua trung điểm M là vuông góc đối với đoạn thẳng AB.

5. Kiểm tra lại kết quả bằng cách đo góc giữa đường trung trực và đoạn thẳng AB. Nếu góc này là 90 độ, tức là đường trung trực đã được xác định chính xác.

Đây là cách đơn giản và hiệu quả để xác định đường trung trực của một đoạn thẳng.

V. Một số câu hỏi thường gặp về đường trung trực

Số đường trung trực trong một đoạn thẳng?

Vì đường trung trực là đường thẳng đi qua trung điểm và vuông góc với đoạn thẳng. Mà mỗi đoạn thẳng chỉ có duy nhất một điểm là trung điểm cho nên mỗi đoạn thẳng có duy nhất 1 đường trung trực.

Cách viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng

Khi tìm hiểu về định nghĩa đường trung trực của đoạn thẳng, ta cũng cần biết cách viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng như sau:

Bước 1. Ta tìm vectơ pháp tuyến của đường trung trực và một điểm mà nó đi qua.

Bước 2. Ta dựa vào định lý 1: “Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó. Nghĩa là nếu điểm M thuộc đường thẳng AB thì thì MA = MB.

Ví dụ 1: Gọi M là điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. Nếu MA có độ dài 5cm thì độ dài MB bằng bao nhiêu?

Giải:

Vì điểm M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB nên theo định lí về tính chất của các điểm thuộc đường trung trực ta có MA = MB. Mà MA = 5cm (gt) suy ra MB = 5cm.

Ví dụ 2: Vẽ một đoạn thẳng MN, sau đó hãy dùng thước thẳng và compa để dựng đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Ví dụ 3: Gọi M là điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB, cho đoạn thẳng MA có độ dài 5cm. Hỏi độ dài MB bằng bao nhiêu?

Giải:

Dựa vào định lí về tính chất của các điểm thuộc đường trung trực (định lý thuận): Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.

Điểm M thuộc đường trung trực của AB

⇒ MA = MB (định lí thuận)

Vì MA = 5cm nên MB = 5cm

Ví dụ 3:

Chứng minh đường thẳng PQ được vẽ như trong hình 43 đúng là đường trung trực của đoạn thẳng MN.

Gợi ý: Sử dụng định lí

Giải:

Ta có : Hai cung tròn tâm M và N có bán kính bằng nhau và cắt nhau tại P, Q.

Nên MP = NP và MQ = NQ

⇒ P; Q cách đều hai mút M, N của đoạn thẳng MN

nên theo định lí 2 : P; Q thuộc đường trung trực của MN

hay đường thẳng qua P, Q là đường trung trực của MN.

Vậy PQ là đường trung trực của MN.

Ví dụ 4

Cho ba tam giác cân ABC, DBC, EBC có chung đáy BC. Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng.

Gợi ý đáp án

Vì ΔABC cân tại A ⇒ AB = AC

⇒ A thuộc đường trung trực của BC.

Vì ΔDBC cân tại D ⇒ DB = DC

⇒ D thuộc đường trung trực của BC

Vì ΔEBC cân tại E ⇒ EB = EC

⇒ E thuộc đường trung trực của BC

Do đó A, D, E cùng thuộc đường trung trực của BC

Vậy A, D, E thẳng hàng

Ví dụ 5

Gọi O là giao điểm của ba đường trung trực trong ΔABC. Khi đó O là:

A. Điểm cách đều ba cạnh của ΔABC

B. Điểm cách đều ba đỉnh của ΔABC

C. Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC

D. Đáp án B và C đúng

Gợi ý đáp án

Chọn đáp án D

Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác và là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó

Ví dụ 6:

Nếu một tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác đó là t am giác gì?

A. Tam giác vuông

B. Tam giác cân

C. Tam giác đều

D. Tam giác vuông cân

Gợi ý đáp án

Giả sử ΔABC có AM là trung tuyến đồng thời là đường trung trưc. Ta sẽ chứng minh ΔABC là tam giác cân. Thật vậy, vì AM là trung tuyến của ΔABC (gt) ⇒ BM = MC (tính chất trung tuyến)

Vì AM là trung trực của BC ⇒ AM ⊥ BC

Xét hai tam giác vuông ΔABM và ΔACM có:

BM = CM (cmt)

AM chung

⇒ ΔABM = ΔACM (2 cạnh góc vuông)

⇒ AB = AC (2 cạnh tương ứng) ⇒ ΔABC cân tại A

Chọn đáp án D

Ví dụ 7

Cho đoạn thẳng AB thuộc nửa mặt phẳng bờ d. Xác định điểm M thuộc d sao cho M cách đều hai điểm A, B.

Gợi ý đáp án

Vẽ trung trực xy của đoạn thẳng AB

Giả sử xy cắt d tại điểm M, ta có: MA = MB

+ Nếu AB ⊥ d thì xy // d, ta không xác định được điểm M

+ Ngoài trường hợp AB ⊥ d , ta luôn xác định được điểm M và M là duy nhất.

Ví dụ 8

Cho tam giác ABC có AC > AB, phân giác AD. Trên AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Chứng minh rằng AD vuông góc với BE.

Gợi ý đáp án

Nối BE và ED

Xét ΔADB và ΔADE có:

AD cạnh chung

∠BAD = ∠EAD (AD là tia phân giác góc BAC)

AB = AE (gt)

Do đó: ∠ADB = ∠ADE (c-g-c)

Suy ra DB = DE

Lại có AB = AE (gt)

Do đó AD là đường trung trực của BE

Hay AD vuông góc với BE

Ví dụ 9:

Cho tam giác nhọn ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA và cho O là điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC. Chứng minh rằng MO vuông góc với AB, NO vuông góc với BC và PO vuông góc với AC.

Gợi ý đáp án:

Xét ∆ MOB và ∆ MOA có:

MO chung

OB = OA

MB = MA ( M là trung điểm của AB )

=> ∆ MOB = ∆ MOA (c.c.c)

$=> \widehat{OMB} = \widehat{OMA}$ $=> \widehat{OMB} = \widehat{OMA}$

Mà $\widehat{OMB} + \widehat{OMA} = 180°$ $\widehat{OMB} + \widehat{OMA} = 180°$

$=> 2\widehat{OMB} = 180° => \widehat{OMB} = 90°$ $=> 2\widehat{OMB} = 180° => \widehat{OMB} = 90°$

=> OM ⊥ MB hay OM ⊥ AB

Tương tự ta có: ON ⊥ NB hay ON ⊥ BC

=> O là giao điểm của 2 đường trung trực OM và ON

mà P là trung điểm của AC

=> OP là đường trung trực của AC

=> OP ⊥ AC.

Ví dụ 10

Người ta muốn phục chế lại đĩa cổ hình tròn bị vỡ chỉ còn lại một mảnh (hình 6). Làm thế nào để xác định bán kính bị vỡ của đĩa cổ này?

Gợi ý đáp án:

Lấy 3 điểm A, B, C bất kì thuộc cung tròn.

Xét tam giác ABC

Kẻ 2 đường trung trực của cạnh AB và BC. 2 đường trung trực cắt nhau tại điểm O

=> OA = OB = OC

=> O là tâm đường tròn qua ba điểm A, B, C.

=> OA, OB, OC là bán kính.

Vậy xác định được bán kính của đĩa cổ nãy là OA, OB, OC.

Ví dụ 11:

Cho tam giác ABC và điểm O thỏa mãn OA = OB = OC. Chứng minh rằng O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.

Gợi ý đáp án

Do OA = OB nên O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Do OB = OC nên O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Tam giác ABC có O là giao điểm hai đường trung trực của đoạn thẳng AB và đoạn thẳng BC nên O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.

Ví dụ 12

Tam giác ABC có ba đường trung tuyến cắt nhau tại G. Biết rằng điểm G cũng là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác ABC. Chứng minh tam giác ABC đều.

Gợi ý đáp án

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.

Do G vừa là trọng tâm của tam giác và P là trung điểm của AB nên C, G, P thẳng hàng.

Do G là giao điểm ba đường trung trực của tam giác nên G nằm trên đường trung trực của cạnh AB do đó C nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Suy ra CA = CB.

Thực hiện tương tự ta thu được BA = BC.

Do đó AB = BC = CA.

Tam giác ABC có AB = BC = CA nên tam giác ABC đều.

Ví dụ 13

Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Biết rằng I cũng là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC. Chứng minh tam giác ABC đều.

Gợi ý đáp án

Gọi M, N, P lần lượt là chân đường cao kẻ từ I đến BC, CA, AB.

Do I là giao điểm ba đường phân giác của tam giác ABC nên IM = IN = IP.

Do I là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC nên I nằm trên đường trung trực của các cạnh BC, CA, AB.

Suy ra đường thẳng qua I, vuông góc với BC, CA, AB lần lượt là đường trung trực của các cạnh BC, CA, AB.

Do đó M, N, P lần lượt là đường trung trực của các cạnh BC, CA, AB.

Suy ra M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.

Do AI là đường phân giác của góc BAC nên BAI= CAI.

Xét ∆PAI vuông tại P và ∆NAI vuông tại N có:

AI chung. PAI=NAI (chứng minh trên).

Suy ra ∆PAI = ∆NAI(cạnh huyền - góc nhọn).

Do đó PA = NA (2 cạnh tương ứng).

Mà P là trung điểm của AB nên PA =1/2 BA; N là trung điểm của CA nên NA = 1/2CA.

Suy ra AB = CA.

Thực hiện tương tự ta thu được BA = BC.

Do đó AB = BC = CA.

Tam giác ABC có AB = BC = CA nên tam giác ABC đều.

VI. Bài tập trắc nghiệm đường trung trực

Bài 1: Cho điểm C thuộc trung trực của đoạn thẳng AB. Biết CA = 10 cm. Độ dài đoạn thẳng CB là:

A. CB = 10 cm
B. CB = 20 cm
C. CB = 30 cm
D. CB = 40 cm

Bài 2: Nếu một tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác đó là tam giác gì?

A. Tam giác vuông
B. Tam giác cân
C. Tam giác đều
D. Tam giác vuông cân

Bài 3: Cho ΔABC cân tại A , có ∠A = 40°, đường trung trực của AB cắt BC tại D . Tính ∠CAD

A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 40°

Bài 4 Cho ΔABC vuông tại A, có ∠C = 30°, đường trung trực của BC cắt AC tại M. Em hãy chọn câu đúng:

A. BM là đường trung tuyến của ΔABC
B. BM = AB
C. BM là phân giác của ∠ABC
D. BM là đường trung trực của ΔABC

Bài 5. Cho đoạn thẳng AB. Gọi O là trung điểm của AB. Trong hai nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB lấy hai điểm M và N sao cho MA = MB và NA = NB.

A. Đường thẳng MN đi qua O
B. Đường thẳng MN vuông góc với AB
C. Đường thẳng MN vuông góc với AB tại O
D. Đường thẳng MN song song với AB

Bài 6 Cho ΔABC vuông tại A, có ∠C = 30°, đường trung trực của BC cắt AC tại M. Em hãy chọn câu đúng:

A. BM là đường trung tuyến của ΔABC
B. BM = AB
C. BM là phân giác của ∠ABC
D. BM là đường trung trực của ΔABC

Bài 7

Cho điểm C thuộc trung trực của đoạn thẳng AB. Biết CA = 10 cm. Độ dài đoạn thẳng CB là:

A. CB = 10 cm
B. CB = 20 cm
C. CB = 30 cm
D. CB = 40 cm

VII. Bài tập tự luyện đường trung trực

Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Hai trung tuyến BM, CN cắt nhau tại I. Hai tia phân giác trong của góc B và C cắt nhau tại O.Hai đường trung trực của 2 cạnh AB và AC cắt nhau tại K.

a) Chứng minh: BM = CN.

b) Chứng minh OB = OC

c) Chứng minh các điểm A,O, I, K thẳng hàng.

Bài 2: Trên đường thẳng d là trung trực của đoạn thẳng AB lấy điểm M, N nằm ở hai nữa hai mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng AB.

a) Chứng minh $\widehat{M A N}=\widehat{M B N}$ $\widehat{M A N}=\widehat{M B N}$

b) MN là tia phân giác của AMB.

Bài 3: Cho góc xOy = 50, điểm A nằm trong góc xOy. Vẽ điềm M sao cho Ox là trung trực của đoạn AN, vẽ điểm M sao cho Oy là trung trực của đoạn AM.

a) Chứng minh: OM = ON

b) Tính số đo $\widehat{M O N}$ $\widehat{M O N}$

Bài 4: Cho 2 điểm A và B nằm trên cùng một mặt phảng có bờ là đường thẳng d. Vẽ điểm C sao cho d là trung trực của đường thẳng BC, AC cắt d tai E. Trên d lấy điểm M bất kỳ.

a) So sánh MA + MB và AC

b) Tìm vị trí của M trên d để MA + MB ngắn nhất

Bài 5: Cho tam giác ABC có góc A tù. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O và cắt BC theo thứ tự ở D và E.

a) Các tam giác ABD, ACE là tam giác gì.

b) Đường tròn tâm O bán kinh OA đi qua những điểm nào trên hình vẽ?

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A ,đương cao AH. Vẽ đường trung trục của cạnh AC cát BC tai I và cát AC tai E.

a) Chứng minh IA = IB = IC.

b) Gọi M là trung điểm của đoạn AI, chứng minh MH = ME

c) BE cắt AI tại N, tính tỉ số của đoạn MN và AI

Bài 7: Cho 4 điểm A, B, C, D phân biệt. Với điều kiện nào sau đây thì đường thẳng AC là đường trung trực của đoạn thẳng BD ?

Bài 8: Gọi M là điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB . Cho MA =5cm. Hỏi độ dài MB bằng ?

Bài 9: Cho hai điểm M, N nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. Chứng minh ∆AMN = ∆BMN